Metodi Matematici per la Fisica
buongiorno a tutti, il mio problema è molto semplice, non riesco a capire come si fa a vedere se un operatore lineare in uno spazio di hilbert è definito solamente su un sonc oppure su tutto lo spazio.
Penso si debba vedere l' immagine, ad esempio avendo l' operatore Tf=gf se sono su H = L^2(a,b) devo vedere se gf appartiene a tale spazio ?
ho un pò di confusione @_@
Penso si debba vedere l' immagine, ad esempio avendo l' operatore Tf=gf se sono su H = L^2(a,b) devo vedere se gf appartiene a tale spazio ?
ho un pò di confusione @_@
Risposte
In effetti sì; devi verificare per quali \(f\in H\) ottieni che \(fg\in H\)! Ovviamente, fissata una \(g\) nota!
ok, grazie mille per la conferma ^^
Prego, di nulla! 
un altra domanda sull' immagine di un operatore. in molti esercizi mi viene chiesto di dire se l' immagine coincide con tutto lo spazio in cui mi viene dato il problema oppure dire se è un sottospazio denso ecc...
porto un esempio
$Tf=\varphif$ dove $\varphi=x $ se $0
come faccio a capire se l'immagine coincide con $L^2(0,\pi)$ ?
per il dominio farei semplicemente :
$\int_{0}^{1} |Tf|^2dx + \int_{1}^{\pi} |Tf|^2 dx$
verificando che questa somma sia minore di infinito. se non devo porre condizioni sulla funzione allora coinciderebbe con tutto lo spazio altrimenti avrei le restrizioni date appunto per la convergenza.
per l'immagine come devo procedere ?
porto un esempio
$Tf=\varphif$ dove $\varphi=x $ se $0
come faccio a capire se l'immagine coincide con $L^2(0,\pi)$ ?
per il dominio farei semplicemente :
$\int_{0}^{1} |Tf|^2dx + \int_{1}^{\pi} |Tf|^2 dx$
verificando che questa somma sia minore di infinito. se non devo porre condizioni sulla funzione allora coinciderebbe con tutto lo spazio altrimenti avrei le restrizioni date appunto per la convergenza.
per l'immagine come devo procedere ?
L'unica idea che mi viene in mente è di ragionare su una base hilbertiana di \(L^2(0;\pi)\)!
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