Metodi matematici per la fisica

[lorsalva]

Ciao ragazzi,
avrei un dubbio riguardo un argomento del corso di metodi matematici per la fisica: rappresentazioni unitarie di un gruppo e rappresentazioni di un gruppo unitario sono la stessa cosa? perchè dalle dispense che ho ricevuto si capisce questo a meno che io non le stia interpretando male. Mi potete inoltre linkare un sito o un pdf dove questo argomento sia ben spiegato? Vi ringrazio anticipatamente.

Salvatore

[alephy]

Penso che per trovare la risposta basti riflettere sulla definizione di rappresentazione unitaria e di gruppo unitario. Una rappresentazione è unitaria se il rappresentativo di ogni elemento è una matrice unitaria. Un gruppo (di matrici, ad esempio) è unitario se tutte le matrici, ovvero gli elementi del gruppo, sono unitarie. Tuttavia, se hai un gruppo unitario, ovvero un gruppo di matrici unitarie o di operatori unitari, non è detto che tutte le rappresentazioni di tale gruppo siano unitarie. Viceversa, se hai una rappresentazione unitaria di un certo gruppo, ciò non vuol dire che il gruppo di partenza sia unitario, ovvero che sia stato definito come un gruppo di matrici (o operatori) unitarie. Ad esempio pensa al gruppo simmetrico, ovvero il gruppo delle permutazioni di n oggetti. Supponi di averne dato una rappresentazione unitaria ( cosa sempre possibile per gruppi finiti): se le due espressioni "gruppo unitario" o "rappresentazione unitaria" di un gruppo fossero equivalenti, vorrebbe dire che puoi definire il gruppo simmetrico "unitario". Ma ciò non ha senso in quanto gli elementi del gruppo simmetrico non sono, intrinsecamente, nè operatori, nè matrici.

[lorsalva]

grazie, ti ringrazio per la tua riposta dettagliata

Salvatore