Meccanica statistica: passaggio non chiaro
Ragazzi, dareste un occhiata a questi appunti, a pag. 18, equazione 46?
https://corsidf.df.unipi.it/claroline/b ... dReq=035BB
Non ho capito che cosa fa, al terzo/quarto passaggio. So che la somma su a che compare nell'esponenziale è una somma sulle particelle componenti ciascun sistema dell'ensemble. Ma non capisco come passa dalle coordinate (qa,pa) alle coordinate (q,p), che spaziano sui microstati.
Inoltre non capisco da dove viene fuori quell'esponente N...anche perchè ci posso credere che l'energia di una particella qualunque sia $H_1(q_\alpha,p_\alpha)$, ma ciò non mi autorizza ad arrivare a $NH_1(q_\alpha, p_\alpha)$ perchè gli $H_1$ sono calcolate su particelle diverse, e non è scontato assolutamente che ogni particella abbia la stessa energia.
Men che meno, come fa a portar fuori dall'integrale l'espontente N? Non è infatti vero che
$$\int f^N d^3p d^3q = \left(\int f d^3 p d^3 q\right)^N$$
Mi date una mano a capire cosa ha fatto?
https://corsidf.df.unipi.it/claroline/b ... dReq=035BB
Non ho capito che cosa fa, al terzo/quarto passaggio. So che la somma su a che compare nell'esponenziale è una somma sulle particelle componenti ciascun sistema dell'ensemble. Ma non capisco come passa dalle coordinate (qa,pa) alle coordinate (q,p), che spaziano sui microstati.
Inoltre non capisco da dove viene fuori quell'esponente N...anche perchè ci posso credere che l'energia di una particella qualunque sia $H_1(q_\alpha,p_\alpha)$, ma ciò non mi autorizza ad arrivare a $NH_1(q_\alpha, p_\alpha)$ perchè gli $H_1$ sono calcolate su particelle diverse, e non è scontato assolutamente che ogni particella abbia la stessa energia.
Men che meno, come fa a portar fuori dall'integrale l'espontente N? Non è infatti vero che
$$\int f^N d^3p d^3q = \left(\int f d^3 p d^3 q\right)^N$$
Mi date una mano a capire cosa ha fatto?
Risposte
Le ipotesi che puoi leggere negli appunti sono:
"Se non esistono interazioni fra le particelle, l’Hamiltoniana H dell’intero sistema sarà in generale la somma delle Hamiltoniane di singola particella, che assumiamo essere tutte uguali..."
Per esempio, con $2$ particelle:
$\intd^3p_1d^3q_1\int d^3p_2d^3q_2e^(-\beta[H(p_1,q_1)+H(p_2,q_2)])=\intd^3p_1d^3q_1e^(-\betaH(p_1,q_1))\int d^3p_2d^3q_2e^(-\betaH(p_2,q_2))=$
$=[\intd^3pd^3qe^(-\betaH(p,q))]^2$
ovviamente generalizzabile a $N$ particelle.
"Se non esistono interazioni fra le particelle, l’Hamiltoniana H dell’intero sistema sarà in generale la somma delle Hamiltoniane di singola particella, che assumiamo essere tutte uguali..."
Per esempio, con $2$ particelle:
$\intd^3p_1d^3q_1\int d^3p_2d^3q_2e^(-\beta[H(p_1,q_1)+H(p_2,q_2)])=\intd^3p_1d^3q_1e^(-\betaH(p_1,q_1))\int d^3p_2d^3q_2e^(-\betaH(p_2,q_2))=$
$=[\intd^3pd^3qe^(-\betaH(p,q))]^2$
ovviamente generalizzabile a $N$ particelle.
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