Meccanica rotazionale
Buongiorno,
premetto che sono nuovo in questo forum quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori.
Mi sono bloccato da diverso tempo sul questo problema, che mi pare semplice, senza capire cosa sto sbagliando.
Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza L =0,600 m, unite fra loro in modo da assumere una forma ad H (si veda immagine allegata). L'insieme è libero di ruotare attorno a un asse orizzontale fisso, che coincide con una delle gambe dell'H.partendo da una posizione di riposo in cui il piano dell'acqua è orizzontale, il sistema è lasciato libero di cadere.qual è la velocità angolare del corpo quando il piano dell'H arriva in posizione verticale?
Per risolvere questo problema ho pensato di considerare il centro di massa delle due asticelle come un punto rigido che dista d= 0,45 dall'asse di rotazione. Ho poi utilizzato la conservazione dell'energia meccanica imponendo che l'energia gravitazionale iniziale sia uguale alla cinetica finale.
(non mi inserisce la formula quindi lascivo così) mgh= 1/2 I w^2 ( I= momento d'inerzia e w= velocità angolare)
Tuttavia il risultato è sbagliato.
Ringrazio in anticipo coloro che mi aiuteranno
Risposte
Mi pare esserci un problema nella formula dell'energia potenziale gravitazionale.
Se consideri le sole sbarrette che si muovono - perché eg decidi il livello zero del potenziale sul piano orizzontale in cui giace il corpo iniziale e di conseguenza una sbarretta ha sempre energia gravitazionale nulla - e calcoli quindi l'energia potenziale gravitazionale usando la quota del CDM delle altre due, dovrai considerare una massa pari a \(2m\).
In altri termini, se tu scrivessi l'energia potenziale gravitazionale sommando le energie delle 3 sbarrette:
1) una ha energia zero, sempre
2) l'altra ha energia \(- m g \frac{l}{2}\)
3) la terza ha energia \(- m g l \)
Per cui \(V = - m g l \frac{3}{2} = - 2 m g \frac{3}{4}l\) dove \(\frac{3}{4}l\) è la distanza dall'asse di rotazione del CDM della sbarretta 2 e 3
Se consideri le sole sbarrette che si muovono - perché eg decidi il livello zero del potenziale sul piano orizzontale in cui giace il corpo iniziale e di conseguenza una sbarretta ha sempre energia gravitazionale nulla - e calcoli quindi l'energia potenziale gravitazionale usando la quota del CDM delle altre due, dovrai considerare una massa pari a \(2m\).
In altri termini, se tu scrivessi l'energia potenziale gravitazionale sommando le energie delle 3 sbarrette:
1) una ha energia zero, sempre
2) l'altra ha energia \(- m g \frac{l}{2}\)
3) la terza ha energia \(- m g l \)
Per cui \(V = - m g l \frac{3}{2} = - 2 m g \frac{3}{4}l\) dove \(\frac{3}{4}l\) è la distanza dall'asse di rotazione del CDM della sbarretta 2 e 3
Come variazione di energia potenziale si può anche pensare a tutta la massa 3m concentrata nel cdm che è nel mezzo della H. Quando la H è in verticale il cdm si sarà abbassato di -L/2 e quindi in accordo con il risultato di Lampo1089 si ha comunque
$V=-3m*g*L/2$
A questo punto la variazione di energia cinetica sarà
$K=1/2 I omega^2 =1/2(mL^2/3 +m*L^2)*omega^2=2/3 mL^2 omega^2$
Dovendo risultare giustamente V+K=0, si avrà $3/2mgL=2/3 mL^2 omega^2$ e quindi il risultato dovrebbe essere:
$omega=3/2sqrt(g/L)$
$V=-3m*g*L/2$
A questo punto la variazione di energia cinetica sarà
$K=1/2 I omega^2 =1/2(mL^2/3 +m*L^2)*omega^2=2/3 mL^2 omega^2$
Dovendo risultare giustamente V+K=0, si avrà $3/2mgL=2/3 mL^2 omega^2$ e quindi il risultato dovrebbe essere:
$omega=3/2sqrt(g/L)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo