[Meccanica Razionale] Travature
Salve a tutti, è da un bel po' che non tornavo su questo forum (dai tempi dei problemi con Analisi I)! 
Sto letteralmente sbattendo la testa su degli esercizi di statica e che ci verranno proposti all'esame... Vi propongo un file .pdf che il prof. ci ha "assegnato" senza fare esempi e senza darci le soluzioni!!!
Innanzitutto i link, ho utilizzato due servizi di hosting gratuito, nel caso uno dei due non funzionasse:
Link 1
Link 2
Dunque gli esercizi chiedono di "calcolare le reazioni vincolari esterne con le Equazioni Cardinali della Statica e gli sforzi interni con il Metodo dei Nodi ed il Metodo di Ritter", il problema maggiore ce l'ho con le reazioni vincolari esterne! Qualcuno potrebbe risolvermi uno degli esercizi in modo da darmi un "input"?
Ad esempio, per quanto riguarda il primo esercizio (reazioni vincolari esterne), ho provato a scrivere il sistema di due equazioni:
F + 3F + 2F + Ra + Rb = 0
Ma + (B - A) x Rb = 0
Dove Ra ed Rb sono le reazioni vincolari nel carrello e nella cerniera e Ma è il momento delle forze attive (che non so esplicitare!). I dubbi che ho sostanzialmente sono questi:
1. Quelli che ho scritto sono vettori. Come faccio a proiettarli sugli assi, in modo da avere (almeno credo) 3 equazioni scalari in 3 incognite scalari, visto che la travatura è isostatica?
2. Cosa ci metto al posto di Ma? Dovrebbero essere i momenti polari delle forze attive prendendo come polo di riferimento A, ma non so cosa mettere come "punto di partenza"!
3. Come andare avanti dopo questo sistema?
Spero davvero che qualcuno possa darmi una mano!
Sto letteralmente sbattendo la testa su degli esercizi di statica e che ci verranno proposti all'esame... Vi propongo un file .pdf che il prof. ci ha "assegnato" senza fare esempi e senza darci le soluzioni!!!
Innanzitutto i link, ho utilizzato due servizi di hosting gratuito, nel caso uno dei due non funzionasse:
Link 1
Link 2
Dunque gli esercizi chiedono di "calcolare le reazioni vincolari esterne con le Equazioni Cardinali della Statica e gli sforzi interni con il Metodo dei Nodi ed il Metodo di Ritter", il problema maggiore ce l'ho con le reazioni vincolari esterne! Qualcuno potrebbe risolvermi uno degli esercizi in modo da darmi un "input"?
Ad esempio, per quanto riguarda il primo esercizio (reazioni vincolari esterne), ho provato a scrivere il sistema di due equazioni:
F + 3F + 2F + Ra + Rb = 0
Ma + (B - A) x Rb = 0
Dove Ra ed Rb sono le reazioni vincolari nel carrello e nella cerniera e Ma è il momento delle forze attive (che non so esplicitare!). I dubbi che ho sostanzialmente sono questi:
1. Quelli che ho scritto sono vettori. Come faccio a proiettarli sugli assi, in modo da avere (almeno credo) 3 equazioni scalari in 3 incognite scalari, visto che la travatura è isostatica?
2. Cosa ci metto al posto di Ma? Dovrebbero essere i momenti polari delle forze attive prendendo come polo di riferimento A, ma non so cosa mettere come "punto di partenza"!
3. Come andare avanti dopo questo sistema?
Spero davvero che qualcuno possa darmi una mano!
Risposte
partiamo con il primo problema presente nel tuo documento allora:
come avrai notato la molteplicità di vincolo esterna è pari a tre, dato che il carrello ha molteplicità pari ad 1 e la cerniera pari a due, il carrello ti da come reazione vincolare una forza agente lungo la verticale, la cerniera ti da come reazioni due forze; una agente orizzontalmente e l'altra verticalmente, nessuno dei due vincoli da momento, quindi l'equilibrio alla rotazione puoi farlo indifferentemente rispetto ad uno dei due vincoli. Giacchè la fisica parlata ha poco senso scriviamo qualcosa:
Va+Vb-4F=0 <- equilibrio alla traslazione lungo la direzione verticale
Hb-2F=0 <- equilibrio alla traslazione lungo la direzione orizzontale
presumendo che la lunghezza di ogni asta sia pari a 'd' l'equilibrio alla rotazione rispetto ad A si scrive così:
-F*d/2-3F*d+2*F*d*cos(30°)+Vb*3*d=0
sono sicuro che è una precisazione superflua ma il momento è pari alla forza per il braccio. Tornando alle equazioni, hai un sistema determinato di 3 eq. in 3 incognite, ed esse sono Va, Hb, Vb, te le trovi e poi applichi il metodo dei nodi canonici, puoi farlo perché nelle tue strutture esiste almeno un nodo in cui convergono solo due aste.
Una curiosità, i tuoi sono problemi tipici di Scienza delle Costruzioni, come mai li fate in fisica matematica?
come avrai notato la molteplicità di vincolo esterna è pari a tre, dato che il carrello ha molteplicità pari ad 1 e la cerniera pari a due, il carrello ti da come reazione vincolare una forza agente lungo la verticale, la cerniera ti da come reazioni due forze; una agente orizzontalmente e l'altra verticalmente, nessuno dei due vincoli da momento, quindi l'equilibrio alla rotazione puoi farlo indifferentemente rispetto ad uno dei due vincoli. Giacchè la fisica parlata ha poco senso scriviamo qualcosa:
Va+Vb-4F=0 <- equilibrio alla traslazione lungo la direzione verticale
Hb-2F=0 <- equilibrio alla traslazione lungo la direzione orizzontale
presumendo che la lunghezza di ogni asta sia pari a 'd' l'equilibrio alla rotazione rispetto ad A si scrive così:
-F*d/2-3F*d+2*F*d*cos(30°)+Vb*3*d=0
sono sicuro che è una precisazione superflua ma il momento è pari alla forza per il braccio. Tornando alle equazioni, hai un sistema determinato di 3 eq. in 3 incognite, ed esse sono Va, Hb, Vb, te le trovi e poi applichi il metodo dei nodi canonici, puoi farlo perché nelle tue strutture esiste almeno un nodo in cui convergono solo due aste.
Una curiosità, i tuoi sono problemi tipici di Scienza delle Costruzioni, come mai li fate in fisica matematica?
Innanzitutto grazie per la risposta.
Fin qui tutto chiaro.
Scusami ma non ho capito quasi niente...
Cosa sono Va, Vb, Hb? Ti prego di sottolineare i vettori e di fare vedere quali sono le componenti lungo gli assi!
E poi perché hai moltiplicato 2F per il cos(30°)? Il nostro prof usa questo metodo: in pratica parte dalle equazioni cardinali della statica scritte con le grandezze vettoriali e poi proietta le equazioni sugli assi, quindi l'incognita reazione vincolare Rb, essendo quella di una cerniera avrà componente Rbx e Rby se ho ben capito, mentre la Ra solo Ray. Mi confonde il fatto che alcuni nodi (3, 4, 5) hanno una coordinata y diversa da 0... Ad esempio il punto B ha componente xb = 3d, mentre yb = 0.
E che ne so? Non ho un libro dove studiare perché il prof. ha detto che non serve e dobbiamo andare avanti con gli appunti, non ha fatto esempi su questi esercizi, ci ha semplicemente spiegato le equazioni cardinali della statica e poi ci ha lasciato in balìa di questi pdf. E il bello è che fra poco ho l'esame!
Mi scuso per la mia ignoranza sull'argomento, ma credimi non ho gli strumenti per studiare
"fra":
partiamo con il primo problema presente nel tuo documento allora:
come avrai notato la molteplicità di vincolo esterna è pari a tre, dato che il carrello ha molteplicità pari ad 1 e la cerniera pari a due, il carrello ti da come reazione vincolare una forza agente lungo la verticale, la cerniera ti da come reazioni due forze; una agente orizzontalmente e l'altra verticalmente
Fin qui tutto chiaro.
"fra":
nessuno dei due vincoli da momento, quindi l'equilibrio alla rotazione puoi farlo indifferentemente rispetto ad uno dei due vincoli. Giacchè la fisica parlata ha poco senso scriviamo qualcosa:
Va+Vb-4F=0 <- equilibrio alla traslazione lungo la direzione verticale
Hb-2F=0 <- equilibrio alla traslazione lungo la direzione orizzontale
presumendo che la lunghezza di ogni asta sia pari a 'd' l'equilibrio alla rotazione rispetto ad A si scrive così:
-F*d/2-3F*d+2*F*d*cos(30°)+Vb*3*d=0
Scusami ma non ho capito quasi niente...
Cosa sono Va, Vb, Hb? Ti prego di sottolineare i vettori e di fare vedere quali sono le componenti lungo gli assi!
E poi perché hai moltiplicato 2F per il cos(30°)? Il nostro prof usa questo metodo: in pratica parte dalle equazioni cardinali della statica scritte con le grandezze vettoriali e poi proietta le equazioni sugli assi, quindi l'incognita reazione vincolare Rb, essendo quella di una cerniera avrà componente Rbx e Rby se ho ben capito, mentre la Ra solo Ray. Mi confonde il fatto che alcuni nodi (3, 4, 5) hanno una coordinata y diversa da 0... Ad esempio il punto B ha componente xb = 3d, mentre yb = 0.
"fra":
Una curiosità, i tuoi sono problemi tipici di Scienza delle Costruzioni, come mai li fate in fisica matematica?
E che ne so? Non ho un libro dove studiare perché il prof. ha detto che non serve e dobbiamo andare avanti con gli appunti, non ha fatto esempi su questi esercizi, ci ha semplicemente spiegato le equazioni cardinali della statica e poi ci ha lasciato in balìa di questi pdf. E il bello è che fra poco ho l'esame!
Mi scuso per la mia ignoranza sull'argomento, ma credimi non ho gli strumenti per studiare
Posto un esempio (l'unico...) che ha fatto il prof. sull'argomento equazioni cardinali della statica. Mi scuso per la qualità dell'immagine, ma si fa quel che si può.
Infatti io ho proiettato sugli assi X ed Y, conseguentemente non devo sottolineare nulla, vediamo di capirci sulle convenzioni:Va è la rezione vincolare del carrello in A e agisce in direzione Y, non ha molto senso scrivere Ra e poi scomporre in Rax ed Ray se sai già che Rax=0. Vb ed Hb sono Rby ed Rbx, nel nodo 3 hai una F verticale nel nodo 1 hai una 3F verticale ed entrambe agiscono verso il basso, il segno di F e 3F è negativo, quindi l'equilibrio lungo Y è questo:
Va+Vb-4F=0
nel nodo 5 hai una 2F orizzontale che agisce verso sinistra, l'unica reazione che si oppone a questa 2F è Hb (=Rbx) per cui l'equilibrio lungo X è questo
Hb-2F=0
presumendo che la lunghezza di ogni asta sia pari a 'd' ogni maglia della tua trave reticolare è un triangolo equilatero - tutti i lati uguali, tutti gli angoli uguali - l'angolo compreso tra due aste qualunque della tua struttura è quindi pari a 60° ma il braccio di 2F nell'equilibrio alla rotazione non è d, è d*cos30°.
La generica maglia è triangolare ed equilatera di lato d, per cui l'altezza del triangolo è proprio d*cos30° se non ti convince usa Pitagora. L'equilibrio alla rotazione rispetto ad A si scrive così:
-F*d/2-3F*d+2*F*d*cos(30°)+Vb*3*d=0 (i momenti agiscono nella direzione ortogonale al piano del tuo foglio di carta - asse Z)
e a questo punto ti chiederai perché proprio in A? Beh potevo farlo rispetto B o anche rispetto ad una qualunque cerniera, infatti carrelli e cerniere non danno momenti M come reazioni per cui la somma dei momenti (dovuti a forze attive e reattive) calcolati rispetto ad un punto in cui è applicato un carrello o una cerniera deve essere sempre nulla.
Non so se riesco ad essere più chiaro di così.
Fa una cosa, prova a dare un'occhiata nella biblioteca della tua facoltà a questo testo:
"Esercitazioni di Scienza delle costruzioni /1 - Erasmo Viola - Pitagora editrice" a pag. 209 inizia il capitolo sulle travature reticolari piane isostatiche.
Se non altro hai la teoria e qualche esempio.
"Esercitazioni di Scienza delle costruzioni /1 - Erasmo Viola - Pitagora editrice" a pag. 209 inizia il capitolo sulle travature reticolari piane isostatiche.
Se non altro hai la teoria e qualche esempio.
Evvai ho capito tutto!!! 
Sei stato gentilissimo, non hai idea delle benedizioni che ti sto mandando! Scusami ma mi avevi un po' spiazzato chiamando le grandezze con nomi diversi, e il cos(30°) aveva fatto il resto Adesso per fortuna è tutto chiaro... E grazie anche per il libro!!!
Sei stato gentilissimo, non hai idea delle benedizioni che ti sto mandando! Scusami ma mi avevi un po' spiazzato chiamando le grandezze con nomi diversi, e il cos(30°) aveva fatto il resto
Adesso per fortuna è tutto chiaro... E grazie anche per il libro!!!
"fra":
e a questo punto ti chiederai perché proprio in A? Beh potevo farlo rispetto B o anche rispetto ad una qualunque cerniera, infatti carrelli e cerniere non danno momenti M come reazioni per cui la somma dei momenti (dovuti a forze attive e reattive) calcolati rispetto ad un punto in cui è applicato un carrello o una cerniera deve essere sempre nulla.
Solo una precisazione su tale affermazione. Quando un sistema di vettori applicati ha risultante nulla, il momento risultante è indipendente dalla scelta del polo. Questo deriva dall'equazione che lega i momenti risultanti calcolati rispetto a due poli A e B che si esprime come $vec M_A=vec M_B+vec (AB) ^^^ vec R$, con $vec R$ risultante dei vettori. Ciò comporta che, in statica, per l'equilibrio alla rotazione si può scegliere indifferentemente qualunque punto come polo. In genere si prende quello più comodo. Sempre dalla citata equazione si capisce anche che, se il momento risultante è nullo rispetto ad un punto, lo è anche rispetto ad ogni altro punto (sempre che la risultante sia nulla). La natura del vincolo, quindi, è ininfluente, e non è neanche detto che il momento debba essere calcolato rispetto ad uno dei vincoli.
-> kepler
Ma ti pare sono ben lieto di averti dato una mano, toglimi una curiosità per trovarti queste cose nel programma di fisica matematica stai studiando da ingegnere o da matematico?
-> kinder
certo naturalmente è come dici tu, solo che in generale nei nostri problemi il sistema di vettori dei momenti non è equilibrato per cui se faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto qualunque la somma dei momenti dovuti a forze attive e reattive non da necessariamente zero, deve dare il valore del momento in quel punto e se non lo conosci ed al 1° membro hai delle incognite invece di risolvere le cose te le complichi.
La scelta di calcolare il momento rispetto ad un polo in cui Mt=0 - non necessariamente punto di applicazione di cerniere o carrelli - non è obbligatoria ma è più comoda.
Ma ti pare sono ben lieto di averti dato una mano, toglimi una curiosità per trovarti queste cose nel programma di fisica matematica stai studiando da ingegnere o da matematico?
-> kinder
certo naturalmente è come dici tu, solo che in generale nei nostri problemi il sistema di vettori dei momenti non è equilibrato per cui se faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto qualunque la somma dei momenti dovuti a forze attive e reattive non da necessariamente zero, deve dare il valore del momento in quel punto e se non lo conosci ed al 1° membro hai delle incognite invece di risolvere le cose te le complichi.
La scelta di calcolare il momento rispetto ad un polo in cui Mt=0 - non necessariamente punto di applicazione di cerniere o carrelli - non è obbligatoria ma è più comoda.
"fra":
... se faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto qualunque la somma dei momenti dovuti a forze attive e reattive non da necessariamente zero, deve dare il valore del momento in quel punto e se non lo conosci ed al 1° membro hai delle incognite invece di risolvere le cose te le complichi.
No, permettimi di correggere il punto di vista, che ti conduce, mi pare, in errore.
Le reazioni vincolari in questi problemi sono le incognite che tu cerchi. Le equazioni cardinali impongono a tali forze dei vincoli. La soluzione del sistema che scrivi - risultante e momento risultante nulli - è l'unica, in sistemi isostatici, che le soddisfa.
A ciò si aggiunge che, per quanto detto, se il sistema di forze è a risultante nulla allora il momento risultante è indipendente dal polo rispetto a cui lo calcoli. In pratica è una costante del problema. Mi pare che questo aspetto non l'hai colto in pieno, altrimenti non avresti affermato che "se faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un punto qualunque la somma dei momenti dovuti a forze attive e reattive non da necessariamente zero, deve dare il valore del momento in quel punto". In realtà la somma dei momenti non mi dà quello che vuole, mi deve dare zero perché glielo impongo, volendo che il sistema non si metta in rotazione, non potendolo fare in quanto isostatico. E poiché il momento è indipendente dalla scelta del polo (data la risultante nulla), allora gli impongo che si annulli rispetto ad un polo scelto da me arbitrariamente; in realtà prenderò quello che mi rende la vita più facile, per esempio risparmiandomi il calcolo di qualche contributo al momento risultante. Ecco perché in genere mi metto in un vincolo: mi risparmio di considerarlo, perché verosimilmente ha momento nullo rispetto ad un suo punto particolare. Un esempio è l'asse di una cerniera.
Ed io sono daccordo con te, magari mi sono spiegato male io, quando ho detto:
mi riferivo alle forze attive, se per esempio faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un incastro per abitudine metto al 1° membro tutti contributi delle forze e delle coppie che agiscono sul resto della struttura, al 2° membro metto il valore della reazione vincolare dell'incastro, è comunque chiaro che complessivamente: Mt=0.
E la stessa cosa vale per un punto qualunque della struttura, che sia o meno punto di applicazione di un vincolo esterno o interno o ad es. vincolo di continuità di una trave, intesa come asta rigida.
"fra":
-> kepler
in generale nei nostri problemi il sistema di vettori dei momenti non è equilibrato
mi riferivo alle forze attive, se per esempio faccio l'equilibrio alla rotazione rispetto ad un incastro per abitudine metto al 1° membro tutti contributi delle forze e delle coppie che agiscono sul resto della struttura, al 2° membro metto il valore della reazione vincolare dell'incastro, è comunque chiaro che complessivamente: Mt=0.
E la stessa cosa vale per un punto qualunque della struttura, che sia o meno punto di applicazione di un vincolo esterno o interno o ad es. vincolo di continuità di una trave, intesa come asta rigida.
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