[MECCANICA RAZIONALE] Sistemi di vettori paralleli

[L_Otto_Bello]

Ciao a tutti,

ho un esercizio che mi da dei problemi nel trovare un vettore.

Qui di seguito riporto il testo e poi spiego meglio in cosa consiste il mio problema.

"Siano dati i seguenti vettori paralleli:

$ a_1 = ( 1 , -3 , 2 ) , a_2 = ( 1/2 , -3/2 , 1 ) , a_3 = ( -3 , 9 , -6 ) $

applicati nei punti:

$ A_1 = ( 1 , 0 , -5 ) , A_2 = ( -2 , 1 , 0 ) , A_3 = ( 1 , 2 , 3 ) $

Determinare il centro del sistema di vettori applicati."

Il mio problema sta nel trovare un $ e $ che vada bene per tutti quanti, quando vado ad utilizzare la formula
$ a_i = f_i . e $

Grazie già in anticipo per l'aiuto, so che è banale ma adesso non mi viene in mente la risoluzione.

Ciao

[professorkappa]

I vettori sono paralleli, quindi non convergono.
Suggerimento: immaginali come un sistema di forze applicate a un corpo rigido.
Esiste un punto (non necessariamente interno al corpo) in cui la risultante non da' momento (ovvero, se applichi la risultante dei tre vettori in quel punto, il corpo rigido trasla senza ruotare).

Quello e' il centro del sistema. prova, se non ci riesci riscrivici!

[L_Otto_Bello]

Ok, è chiaro. Quindi prendo un vettore dei tre dati come vettore $ e $ e dopo di che coi coefficienti dati posso trovare la risultante $ R $.

Grazie dell'aiuto.

[Sk_Anonymous]

Fai attenzione. Trovare il vettore risultante $vecR$ dei tre vettori dati (in componenti cartesiane) è semplice: i tre vettori sono per di più paralleli, e risulta facilmente che :

$vecR = veca_1 + veca_2 + veca_3 = -3/2veca_1$

Ma tu devi trovare il "centro" di questo sistema di vettori applicati. Allora, come suggerito da PK, devi scrivere che la somma dei momenti rispetto all'origine dei tre vettori è uguale al momento del vettore risultante applicato nel centro $C$ :

$(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $

esegui i prodotti vettoriali col determinante simbolico.

Alla fine, uguagliando le componenti cartesiane del primo e del secondo membro, devi avere tre equazioni lineari in $x_c, y_c, z_c$ .

[professorkappa]

"navigatore":Fai attenzione. Trovare il vettore risultante $vecR$ dei tre vettori dati (in componenti cartesiane) è semplice: i tre vettori sono per di più paralleli, e risulta facilmente che :

$vecR = veca_1 + veca_2 + veca_3 = -3/2veca_1$

Ma tu devi trovare il "centro" di questo sistema di vettori applicati. Allora, come suggerito da PK, devi scrivere che la somma dei momenti rispetto all'origine dei tre vettori è uguale al momento del vettore risultante applicato nel centro $C$ :

$(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $

esegui i prodotti vettoriali col determinante simbolico.

Alla fine, uguagliando le componenti cartesiane del primo e del secondo membro, devi avere tre equazioni lineari in $x_c, y_c, z_c$ .

Troppo facile, cosi'.......praticamente, a meno di facchinaggio algebrico, glielo hai risolto....mi meraviglio di te!

[marcoianna]

Per le generazioni future....dopo "facchinaggi algebrici"

$ C(106/9,0,87/27) $