[Meccanica Razionale] Proiezione del baricentro su una retta

[manny881]

Ragazzi mi servirebbe un aiuto per svolgere una vecchio compito di meccanica razionale che non riesco a proseguire.
Innanzi tutto scrivo la traccia così vedo se non ho fatto errori.
Traccia:
In un piano verticale Oxy (Oy verticale ascendente) una lamina omogenea di massa 2m, ottenuta da un semidisco di centro C e diametro AB=2R in cui è stato praticato un foro a forma di triangolo rettangolo isoscele ABD, ha gli estremi A e B vincolati a scorrere rispettivamente sull'asse Ox e Oy mantenendosi nel primo quadrante. Un punto materiale P di massa m è vincolato a scorrere senza attrito sull'asse Ox. Oltre alla forza peso sul sistema agiscono due forze elastiche $Fel(1)=-(3mg)/(2R) OA$ ; $Fel(2)= -(2mg)/R PC$, ed una coppia di momento $M=2mg|CG'|k$, essendo G' la proiezione del baricentro G della lamina lungo l'orizzontale condotta per C, e k il versore dell'asse OZ.
In questo esame la figura la devo disegnare io,
l'ho disegnata e viene così, utilizzando un angolo qualsiasi

le coordinate dei punti sono queste:
$A=(2R sinθ ; 0)$ ;$B=(0; 2R cosθ)$; $C=(Rsinθ ; Rcosθ)$
Ho calcolato il baricentro utilizzando una terna solidale col disco, la cui origine è coincidente con il punto C
ottenendo $G=(0; (2R)/(3(pi-2)))$

Adesso non so come trasformare la coordinata di G trovata con la terna solidale rispetto alla terna fissa.
e soprattutto come scrivere e trovare G' sempre rispetto alla terna fissa

[Quinzio]

Le coordinate di C sono $1/2(A+B)=(R\sin\theta,R\cos\theta)$
$\vec(CG)=(-\sin(\theta-\pi/2)\bar(CG),\cos(\theta-\pi/2)\bar(CG))$.
Quindi $\vecG=\vecC+\vec(CG)$

[manny881]

Ho capito che hai usato i coseni direttori, ma non capisco bene come li hai formulati, mi interessa così posso farlo in qualsiasi esercizio.
I coseni direttori sono in sostanza il coseno dell'angolo che il vettore cercato forma con la direzione x e con la direzione y moltiplicata per il modulo del vettore stesso.
il modulo del vettore è la distanza $ \bar(CG)$
il mio problema è l'angolo formato.
inoltre come faccio a riconoscere nella figura quali sono tutti gli angoli uguali a $ θ $?

[manny881]

allora ho disegnato il tutto,
sono riuscito a calcolare G, prima avevo commesso un errore nella trascrizione degli angoli invertendoli,
$\bar(CG)=sqrt(((2r)/(3(pi-2)))^2)=(2r)/(3(pi-2))$
$ \vec(CG)=(\cos(\theta)\bar(CG),\cos(\pi/2-\theta)\bar(CG))=(\cos(\theta)(2r)/(3(pi-2)),\cos(\pi/2-\theta)(2r)/(3(pi-2)))$
$ \vecG=\vecC+\vec(CG)=(Rsen(\theta)+\cos(\theta)(2r)/(3(pi-2)),Rcos(\theta)+\cos(\pi/2-\theta)(2r)/(3(pi-2))) $
se per esempio ultilizzo l'angolo $\theta=0$ ottengo che $\vecG=(2r)/(3(pi-2)),r$
quindi è corretto, stesso risultato usando gli angoli scritti da Quinzio

[manny881]

ho ricontrollato gli angoli e li avevo scritti male, adesso ho finalmente ottenuto il punto G,
adesso lo devo proiettare su l'orizzontale condotta per C... ora provo vediamo se è corretto quello che faccio.

[manny881]

$ \vec(CG')=\vec(CG)*cos\theta $
$\vec(CG')=(\cos^2(\theta)(2r)/(3(pi-2)),\cos\theta\cos(\pi/2-\theta)(2r)/(3(pi-2))) $
$ \vecG'=\vecC+\vec(CG')=(Rsen(\theta)+\cos^2(\theta)(2r)/(3(pi-2)),Rcos(\theta)+\cos\theta\cos(\pi/2-\theta)(2r)/(3(pi-2))) $
ho fatto delle prove per vedere se è corretto e sostituendo a $\theta=0$ ottengo $G'=G$;
con $\theta=pi/2$ ottengo $ G'=C$
quindi è corretto quello che ho trovato.
Grazie Quinzio per l'aiuto.
Un' ultima domanda, esiste un procedimento che porti a una scrittura meno "pesante"?