[Meccanica Razionale] Corona circolare
Salve ragazzi!
Ho dei dubbi su un esercizio di meccanica, spero possiate aiutarmi!
Posto una parte della descrizione:
Una corona circolare di raggi $ R1 $ e $ R2 $ con $ R1 < R2 $, centro $ C $, omogenea di massa $ M $, è vincolata a muoversi in un piano verticale con punto $ O $ appartenente alla circonferenza esterna fisso.
Questa ovviamente è solo una parte della descrizione del sistema in esame. L'esercizio da come coordinata lagrangiana l'angolo \( \phi \) compreso tra il semiasse negativo delle ordinate e il vettore \( \overrightarrow{OC} \) quindi immagino che la corona sia libera di ruotare attorno all'origine...
Il primo punto chiede di calcolare la Lagrangiana e mi sorgono dei dubbi (tanti) sul calcolo dell'energia cinetica dovuta alla corona.
Ho calcolato $ T $ come somma dell'energia cinetica del baricentro e del contributo rotazionale (considerando il momento d'inerzia rispetto al centro di massa). E' corretto eseguire il calcolo in questo modo? Come velocità di rotazione ho considerato \( \dot{\phi} \), è giusto?
Questi sono i calcoli che ho fatto:
\( \overrightarrow{OG} = ( R2 \sin(\phi) , -R2\cos (\phi)) \)
\( Tg = M\cdot R2^2\cdot\dot{\phi}^2/2 \)
\( I = M\cdot (R2^2-R1^2)/2 \)
\( Tr = I\cdot \omega ^2/2 = M\cdot (R2^2-R1^2)\dot{\phi}^2/4 \)
e quindi
\( T = Tg + Tr = (R2^2 + (R2^2-R1^2)/2)\cdot M\cdot\dot{\phi}^2/2 \)
Grazie
Ho dei dubbi su un esercizio di meccanica, spero possiate aiutarmi!
Posto una parte della descrizione:
Una corona circolare di raggi $ R1 $ e $ R2 $ con $ R1 < R2 $, centro $ C $, omogenea di massa $ M $, è vincolata a muoversi in un piano verticale con punto $ O $ appartenente alla circonferenza esterna fisso.
Questa ovviamente è solo una parte della descrizione del sistema in esame. L'esercizio da come coordinata lagrangiana l'angolo \( \phi \) compreso tra il semiasse negativo delle ordinate e il vettore \( \overrightarrow{OC} \) quindi immagino che la corona sia libera di ruotare attorno all'origine...
Il primo punto chiede di calcolare la Lagrangiana e mi sorgono dei dubbi (tanti) sul calcolo dell'energia cinetica dovuta alla corona.
Ho calcolato $ T $ come somma dell'energia cinetica del baricentro e del contributo rotazionale (considerando il momento d'inerzia rispetto al centro di massa). E' corretto eseguire il calcolo in questo modo? Come velocità di rotazione ho considerato \( \dot{\phi} \), è giusto?
Questi sono i calcoli che ho fatto:
\( \overrightarrow{OG} = ( R2 \sin(\phi) , -R2\cos (\phi)) \)
\( Tg = M\cdot R2^2\cdot\dot{\phi}^2/2 \)
\( I = M\cdot (R2^2-R1^2)/2 \)
\( Tr = I\cdot \omega ^2/2 = M\cdot (R2^2-R1^2)\dot{\phi}^2/4 \)
e quindi
\( T = Tg + Tr = (R2^2 + (R2^2-R1^2)/2)\cdot M\cdot\dot{\phi}^2/2 \)
Grazie
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