Meccanica Razionale
Salve ragazzi,domani ho l'esame di meccanica ma ho alcuni dubi circa alcuni quesiti.Ad esempio,Ho una circonferenza,senza massa,su cui è vincolato e si muove un punto di massa m.La circonferenza ruota a sua volta intorno al suo asse verticale di velocità costante $\omega$ .Per calcolarmi l'energia cinetica devo avere la velocità del punto,quindi $1/2mv_p^2$.Ora,essendo un problema di cinematica relativa ,la velocità di p è $v_r$ + $v_t$.Assodato che la velocità relativa del punto è $\Rtheta'$ , quant'è la velocità di trascinamento?Perchè c'è chi mi dice che è $\Romega$,dove $\R$ è inteso come raggio della circonferenza,e alcuni mi dicono che è $\domega$ dove $\d$ è la distanza del punto P dalla sua proiezione ortogonale sull'asse verticale. Nel caso fosse come ho detto nel primo caso,L'energia cinetica(considerando che la circonferenza non ne ha perchè non ha massa) diventa:
$1/2mR^2$$$ $\theta'^2$ $ $ + $1/2mR^2$$\omega^2$
Ho sbagliato qualcosa??
$1/2mR^2$$$ $\theta'^2$ $ $ + $1/2mR^2$$\omega^2$
Ho sbagliato qualcosa??
Risposte
Provo a riassumere con parole mie.
Un punto materiale ruota su una circonferenza di raggio R centrata in O e giacente sul piano xz, con velocità angolare [tex]{\vec {\dot \theta} }[/tex], supponiamo concorde in verso con l'asse y; la circonferenza a sua volta ruota attorno all'asse z con velocità angolare [tex]{\vec \omega }[/tex], supponiamo concorde in verso con l'asse z.
Si possono scrivere le relazioni tra le velocità del punto: relativa, di trascinamento e assoluta
([tex]{\vec R}[/tex] è il vettore posizione del punto che supponiamo ad un certo istante si trova ad angolo [tex]\theta[/tex] con l'asse z)
[tex]\begin{array}{l}
{{\vec v}_r} = \vec {\dot \theta} \times \vec R \\
{{\vec v}_T} = \vec \omega \times \vec R \\
{{\vec v}_a} = {{\vec v}_r} + {{\vec v}_T} = \vec {\dot \theta} \times \vec R + \vec \omega \times \vec R \\
\end{array}[/tex]
Per trovare l'energia cinetica dobbiamo ragionare sul modulo [tex]\left| {{{\vec v}_a}} \right|[/tex].
Poniamoci per comodità nel sistema relativo solidale con la circonferenza. L'asse y esce dal suo centro, mentre gli assi x e z giacciono sul piano della circonferenza.
Il prodotto vettoriale del vettore costante [tex]{\vec \omega }[/tex] col vettore rotante [tex]{\vec R}[/tex] ha solo la componente y e il suo modulo è [tex]\omega R\sin \theta[/tex], dove possiamo porre per comodità [tex]\theta = \dot \theta t[/tex]. Dunque si ha [tex]\vec \omega \times \vec R = \vec j\omega R\sin \dot \theta t[/tex].
Il prodotto vettoriale del vettore costante (in questo sistema di riferimento) [tex]{\vec {\dot \theta} }[/tex]col vettore rotante [tex]{\vec R}[/tex] pur essendo rotante sul piano xy ha tuttavia modulo costante, essendo il prodotto di due vettori di modulo costante tra loro sempre ortogonali, dunque giace sul piano xy e il suo modulo è [tex]\dot \theta R[/tex].
Questi due prodotti vettoriali, che vanno sommati per dare luogo al vettore [tex]{{\vec v}_a}[/tex], sono dunque sempre ortogonali tra loro, dunque il modulo di [tex]{{\vec v}_a}[/tex] al quadrato è pari alla somma dei moduli dei due prodotti componenti al quadrato.
Si ha pertanto:
[tex]{E_k} = \frac{1}{2}m{\left| {\vec {\dot \theta} \times \vec R + \vec \omega \times \vec R} \right|^2} = \frac{1}{2}m{R^2}\left[ {{{\dot \theta }^2} + {\omega ^2}{{\sin }^2}\left( {\dot \theta t} \right)} \right][/tex]
Bene, tutta questa disquisizione me la sono inventata di sana pianta perché di meccanica razionale non mi ricordo nulla, pertanto chi facesse uso di questi ragionamenti è pregato di vagliarli attentamente e criticamente.
Un punto materiale ruota su una circonferenza di raggio R centrata in O e giacente sul piano xz, con velocità angolare [tex]{\vec {\dot \theta} }[/tex], supponiamo concorde in verso con l'asse y; la circonferenza a sua volta ruota attorno all'asse z con velocità angolare [tex]{\vec \omega }[/tex], supponiamo concorde in verso con l'asse z.
Si possono scrivere le relazioni tra le velocità del punto: relativa, di trascinamento e assoluta
([tex]{\vec R}[/tex] è il vettore posizione del punto che supponiamo ad un certo istante si trova ad angolo [tex]\theta[/tex] con l'asse z)
[tex]\begin{array}{l}
{{\vec v}_r} = \vec {\dot \theta} \times \vec R \\
{{\vec v}_T} = \vec \omega \times \vec R \\
{{\vec v}_a} = {{\vec v}_r} + {{\vec v}_T} = \vec {\dot \theta} \times \vec R + \vec \omega \times \vec R \\
\end{array}[/tex]
Per trovare l'energia cinetica dobbiamo ragionare sul modulo [tex]\left| {{{\vec v}_a}} \right|[/tex].
Poniamoci per comodità nel sistema relativo solidale con la circonferenza. L'asse y esce dal suo centro, mentre gli assi x e z giacciono sul piano della circonferenza.
Il prodotto vettoriale del vettore costante [tex]{\vec \omega }[/tex] col vettore rotante [tex]{\vec R}[/tex] ha solo la componente y e il suo modulo è [tex]\omega R\sin \theta[/tex], dove possiamo porre per comodità [tex]\theta = \dot \theta t[/tex]. Dunque si ha [tex]\vec \omega \times \vec R = \vec j\omega R\sin \dot \theta t[/tex].
Il prodotto vettoriale del vettore costante (in questo sistema di riferimento) [tex]{\vec {\dot \theta} }[/tex]col vettore rotante [tex]{\vec R}[/tex] pur essendo rotante sul piano xy ha tuttavia modulo costante, essendo il prodotto di due vettori di modulo costante tra loro sempre ortogonali, dunque giace sul piano xy e il suo modulo è [tex]\dot \theta R[/tex].
Questi due prodotti vettoriali, che vanno sommati per dare luogo al vettore [tex]{{\vec v}_a}[/tex], sono dunque sempre ortogonali tra loro, dunque il modulo di [tex]{{\vec v}_a}[/tex] al quadrato è pari alla somma dei moduli dei due prodotti componenti al quadrato.
Si ha pertanto:
[tex]{E_k} = \frac{1}{2}m{\left| {\vec {\dot \theta} \times \vec R + \vec \omega \times \vec R} \right|^2} = \frac{1}{2}m{R^2}\left[ {{{\dot \theta }^2} + {\omega ^2}{{\sin }^2}\left( {\dot \theta t} \right)} \right][/tex]
Bene, tutta questa disquisizione me la sono inventata di sana pianta perché di meccanica razionale non mi ricordo nulla, pertanto chi facesse uso di questi ragionamenti è pregato di vagliarli attentamente e criticamente.
Si si il ragionamento fila DOVREBBE essere così...se qualcuno lo sa,per favore desse conferma o smentisse subito!!!!
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