Meccanica quantistica, oscillatore armonico anisotropo
Una particella di spin 0, massa m e carica elettrica q è vincolata a muoversi sul piano soggetta
ad un potenziale armonico
$$V(x,y) = \frac{m \omega_x^2}{2} x^2 + \frac{m \omega_y^2}{2} y^2$$
con $\omega_x != \omega_y $ (ed entrambe le pulsazioni diverse da 0), in presenza di un campo elettrico $\vec{E}= a_0 + a_1 \vec{x} $ diretto lungo $\hat{x}$.
a) Calcolare i livelli energetici e discuterne la dipendenza da $a_0$ e $a_1$. Si fissi dunque il valore di
questi parametri in modo da avere uno spettro di livelli energetici discreti con la massima
degenerazione possibile.
E poi altre richieste che per ora non scrivo
Mi sono arenato a causa di difficoltà matematiche, in ogni caso ho provato a risolvere cosi:
Non essendo il campo elettrico diverso dal tempo, abbiamo semplicemente: $E = - \frac{d}{dx} \phi$, dove con $phi$ indico il potenziale scalare.
Si trova che: $phi = - a_0 x - \frac{a_1x^2}{2} + \text{cost}$
Di conseguenza possiamo costruire la seguente Hamiltoniana:
$H(x,y,p) = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2m} + q \phi + V(x,y)$
Ora mi trovo un pò in difficoltà, vorrei risolvere l'equazione di Schroedinger tramite separazione di variabili, ma non sono capace, qualcuno può darmi una mano? (o consigliarmi una via più agevole)
ad un potenziale armonico
$$V(x,y) = \frac{m \omega_x^2}{2} x^2 + \frac{m \omega_y^2}{2} y^2$$
con $\omega_x != \omega_y $ (ed entrambe le pulsazioni diverse da 0), in presenza di un campo elettrico $\vec{E}= a_0 + a_1 \vec{x} $ diretto lungo $\hat{x}$.
a) Calcolare i livelli energetici e discuterne la dipendenza da $a_0$ e $a_1$. Si fissi dunque il valore di
questi parametri in modo da avere uno spettro di livelli energetici discreti con la massima
degenerazione possibile.
E poi altre richieste che per ora non scrivo
Mi sono arenato a causa di difficoltà matematiche, in ogni caso ho provato a risolvere cosi:
Non essendo il campo elettrico diverso dal tempo, abbiamo semplicemente: $E = - \frac{d}{dx} \phi$, dove con $phi$ indico il potenziale scalare.
Si trova che: $phi = - a_0 x - \frac{a_1x^2}{2} + \text{cost}$
Di conseguenza possiamo costruire la seguente Hamiltoniana:
$H(x,y,p) = \frac{p_x^2 + p_y^2}{2m} + q \phi + V(x,y)$
Ora mi trovo un pò in difficoltà, vorrei risolvere l'equazione di Schroedinger tramite separazione di variabili, ma non sono capace, qualcuno può darmi una mano? (o consigliarmi una via più agevole)
Risposte
Direi che c'è un qualche problema nel testo:
la scrittura non ha molto senso, in primo luogo (facciamo finta che a0 non ci sia) il campo sarebbe diretto radialmente - e non lungo x. Confermi che si tratta di un refuso, ossia è invece $a_1 x \hatx$? Poi che vuol dire sommare uno scalare ad un vettore? E' sott'inteso che $a_0$ sia moltiplicato per il versore $\hat{x}$?
Detto questo, un aiutino: aggiungi e togli un opportuno termine in modo da raccogliere lo svolgimento del quadrato del binomio $(x - k)^2$ dove k è una opportuna costante. A quel punto l'Hamiltoniana è separabile nelle due dimensioni x e y e il problema dovrebbe essere sostanzialmente risolto (credo).
in presenza di un campo elettrico $ \vec{E}= a_0 + a_1 \vec{x} $ diretto lungo $ \hat{x} $
la scrittura non ha molto senso, in primo luogo (facciamo finta che a0 non ci sia) il campo sarebbe diretto radialmente - e non lungo x. Confermi che si tratta di un refuso, ossia è invece $a_1 x \hatx$? Poi che vuol dire sommare uno scalare ad un vettore? E' sott'inteso che $a_0$ sia moltiplicato per il versore $\hat{x}$?
Detto questo, un aiutino: aggiungi e togli un opportuno termine in modo da raccogliere lo svolgimento del quadrato del binomio $(x - k)^2$ dove k è una opportuna costante. A quel punto l'Hamiltoniana è separabile nelle due dimensioni x e y e il problema dovrebbe essere sostanzialmente risolto (credo).
Risolverla per separazione delle variabili è un pasticcio, pensa solo a quanto sia già pasticciata per l'oscillatore normale. Tipicamente quando aggiungi campi elettrici a oscillatori armonici ottieni un nuovo oscillatore traslato e riscalato in qualche modo, di cui sai sai facilmente autovalori e autofunzioni. Prova a completare il quadrato e vedere se tiri fuori qualcosa.
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