[Meccanica quantistica] Dubbio su autovalore dell'aggiunto dell'operatore momento angolare lungo componente z
Salve a tutti, ho un dubbio su cui non riesco ad avere conferme e vi vorrei chiedere aiuto. Sto studiando le armoniche sferiche in M.Q. e sono arrivato al concetto di coniugio di armonica sferica ed ho le seguenti due equazioni negli appunti (con "$**$" indico sia l'aggiunto, se applicato ad un operatore, sia il coniugato se applicato ad un numero):
$(\hat (L^2)Y_l^m)^(**)=\hat (L^2)(Y_l^m)^(**)=$\(\hbar\)$l(l+1)(Y_l^m)^(**)$ (perchè l'operatore $\hat (L^2)$ è reale)
$(\hat (L_z)Y_l^m)^(**)=\hat (L_z)^(**)(Y_l^m)^(**)=$\(\hbar\)$(-m)(Y_l^m)^(**)$
(N.B. sapendo che $\hat (L_z)Y_l^m=$\(\hbar\)$mY_l^m$)
Dove (vi chiarisco la notazione in quanto sui libri di testo non è univoca):
$\hat L$ è l'operatore momento angolare
$Y_l^m$ è l'armonica sferica che corrisponde allo stato $|lm>$, dove $l$ è il valore del momento angolare e $m$ il valore della componente z del momento angolare.
Io non capisco perchè questa equazione è giusta e come si faccia a ricavare:
$(\hat (L_z)Y_l^m)^(**)=\hat (L_z)^(**)(Y_l^m)^(**)=$\(\hbar\)$(-m)(Y_l^m)^(**)$
Precisamente non capisco perchè l'autovalore dell'aggiunto dell'operatore $\hat (L_z)$ sia \(\hbar\)$(-m)$.
La mia ipotesi è che siccome in coordinate sferiche è definito come: $\hat (L_z)=-i$\(\hbar\)$(del)/(del\phi)$, quando faccio l'aggiunto dell'operatore è come se facessi il coniugato della parte di destra dell'uguaglianza e compaia un "$-$" aggiuntivo.
Grazie in anticipo a chiunque voglia contribuire.
$(\hat (L^2)Y_l^m)^(**)=\hat (L^2)(Y_l^m)^(**)=$\(\hbar\)$l(l+1)(Y_l^m)^(**)$ (perchè l'operatore $\hat (L^2)$ è reale)
$(\hat (L_z)Y_l^m)^(**)=\hat (L_z)^(**)(Y_l^m)^(**)=$\(\hbar\)$(-m)(Y_l^m)^(**)$
(N.B. sapendo che $\hat (L_z)Y_l^m=$\(\hbar\)$mY_l^m$)
Dove (vi chiarisco la notazione in quanto sui libri di testo non è univoca):
$\hat L$ è l'operatore momento angolare
$Y_l^m$ è l'armonica sferica che corrisponde allo stato $|lm>$, dove $l$ è il valore del momento angolare e $m$ il valore della componente z del momento angolare.
Io non capisco perchè questa equazione è giusta e come si faccia a ricavare:
$(\hat (L_z)Y_l^m)^(**)=\hat (L_z)^(**)(Y_l^m)^(**)=$\(\hbar\)$(-m)(Y_l^m)^(**)$
Precisamente non capisco perchè l'autovalore dell'aggiunto dell'operatore $\hat (L_z)$ sia \(\hbar\)$(-m)$.
La mia ipotesi è che siccome in coordinate sferiche è definito come: $\hat (L_z)=-i$\(\hbar\)$(del)/(del\phi)$, quando faccio l'aggiunto dell'operatore è come se facessi il coniugato della parte di destra dell'uguaglianza e compaia un "$-$" aggiuntivo.
Grazie in anticipo a chiunque voglia contribuire.
Risposte
Trattandosi tutte di osservabili, tutti gli operatori che citi sono autoaggiunti per cui per es \({L_z}^\dagger = L_z\).
in realtà la relazione che vuoi dimostrare è errata in quanto:
\[
\hat{L_z} Y_{l,m} = \hbar m Y_{l,m}
\]
\[
\left(\hat{L_z} Y_{l,m}\right)^* = \left(\hbar m Y_{lm}\right)^* = \hbar m {Y_{l,m}}^* = \hbar m Y_{l,-m}
\]
in realtà la relazione che vuoi dimostrare è errata in quanto:
\[
\hat{L_z} Y_{l,m} = \hbar m Y_{l,m}
\]
\[
\left(\hat{L_z} Y_{l,m}\right)^* = \left(\hbar m Y_{lm}\right)^* = \hbar m {Y_{l,m}}^* = \hbar m Y_{l,-m}
\]
"Lampo1089":
Trattandosi tutte di osservabili, tutti gli operatori che citi sono autoaggiunti per cui per es \({L_z}^\dagger = L_z\).
in realtà la relazione che vuoi dimostrare è errata in quanto:
\[
\hat{L_z} Y_{l,m} = \hbar m Y_{l,m}
\]
\[
\left(\hat{L_z} Y_{l,m}\right)^* = \left(\hbar m Y_{lm}\right)^* = \hbar m {Y_{l,m}}^* = \hbar m Y_{l,-m}
\]
Ti ringrazio. Mi è tutto chiaro ora!
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