Meccanica quantistica, barriera di potenziale infinita
Buonasera a tutti, ho un problema con un esercizio di meccanica quantistica e spero che qualcuno riesca a sbloccarmi. Il testo dice:
"Un elettrone di energia totale E=5eV, proveniente dalla regione x<0 dove si trova in un potenziale costante U(x)=U(0)=2eV, incide su un gradino di potenziale di altezza infinita collocato in x=0. Calcolate lo spettro di energie possibili per l'elettrone, discutendo in particolare il caso limite E=U(0) e l'autofunzione dell'energia per il valore E."
Adesso io ho un problema con la risoluzione dell'equazione di S.; nella regione oltre la barriera (x>0) la funzione d'onda dovrebbe annullarsi, risulta quindi $phi_(x>0)=0$; nella regione x<0 la funzione d'onda dovrebbe essere $phi_(x<0)=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)$ però il termine $Be^(-ikx)$ diverge per $x \to \-infty$ e quindi si cancella. la condizione al contorno da applicare è solo $phi_(x>0)(0)=phi_(x<0)(0)$ e quindi risulta A=0....cosa sbaglio??
"Un elettrone di energia totale E=5eV, proveniente dalla regione x<0 dove si trova in un potenziale costante U(x)=U(0)=2eV, incide su un gradino di potenziale di altezza infinita collocato in x=0. Calcolate lo spettro di energie possibili per l'elettrone, discutendo in particolare il caso limite E=U(0) e l'autofunzione dell'energia per il valore E."
Adesso io ho un problema con la risoluzione dell'equazione di S.; nella regione oltre la barriera (x>0) la funzione d'onda dovrebbe annullarsi, risulta quindi $phi_(x>0)=0$; nella regione x<0 la funzione d'onda dovrebbe essere $phi_(x<0)=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)$ però il termine $Be^(-ikx)$ diverge per $x \to \-infty$ e quindi si cancella. la condizione al contorno da applicare è solo $phi_(x>0)(0)=phi_(x<0)(0)$ e quindi risulta A=0....cosa sbaglio??
Risposte
"Telemaco Rino":
però il termine $ Be^(-ikx) $ diverge per $ x \to \-infty $
Nope.
"Telemaco Rino":
nella regione x<0 la funzione d'onda dovrebbe essere $phi_(x<0)=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)$ però il termine $Be^(-ikx)$ diverge per $x \to \-infty$ e quindi si cancella.
Come ti ha detto giustamente hamilton, non e' affatto vero che quell'esponenziale diverga.
Probabilmente ti confondi col caso in cui il potenziale e' superiore (in una certa zona) dell'energia della particella (in quel caso solo la soluzione esponenzialmente morente e' accettabile).
Intuitivamente: $phi_(x<0)=Ae^(ikx)+Be^(-ikx)$ e' la funzione d'onda di una particella che si dirige verso un muro, sommata a quella della particella che, dopo notevole craniata, se ne torna indietro tutta mortificata
In altre parole, non c'e' alcun motivo per cui l'onda incidente e quella riflessa non possano esistere entrambe.
giustamente 
Svelato il primo arcano, ecco che se ne presentano infiniti (o discreti?) altri 
Allora, imposte le condizioni al contorno risulta quindi che B=-A (come nella buca di potenziale infinita) ma in teoria non c'è un vincolo sulle energie possibili perché non c'è l'altra barriera infinita come nella buca di potenziale; lo spettro di energie è continuo...i vari casi di energia li discuto attraverso la relazione $k^2=(2m(E-U_0))/(h^2)$ (h sta per h tagliato).
Per quanto riguarda l'autofunzione dell'energia, la funzione d'onda in x<0 con B=-A risulta $phi_(x<0)=2Aisin(kx)$ come faccio a normalizzarla se l'intervallo di integrazione è tra $-infty$ e $0$?sono sicuro che l'inghippo sta nella domanda del testo "per il valore E" ma non capisco...
Allora, imposte le condizioni al contorno risulta quindi che B=-A (come nella buca di potenziale infinita) ma in teoria non c'è un vincolo sulle energie possibili perché non c'è l'altra barriera infinita come nella buca di potenziale; lo spettro di energie è continuo...i vari casi di energia li discuto attraverso la relazione $k^2=(2m(E-U_0))/(h^2)$ (h sta per h tagliato).
Per quanto riguarda l'autofunzione dell'energia, la funzione d'onda in x<0 con B=-A risulta $phi_(x<0)=2Aisin(kx)$ come faccio a normalizzarla se l'intervallo di integrazione è tra $-infty$ e $0$?sono sicuro che l'inghippo sta nella domanda del testo "per il valore E" ma non capisco...
"Telemaco Rino":
Per quanto riguarda l'autofunzione dell'energia, la funzione d'onda in x<0 con B=-A risulta $phi_(x<0)=2Aisin(kx)$ come faccio a normalizzarla se l'intervallo di integrazione è tra $-infty$ e $0$?sono sicuro che l'inghippo sta nella domanda del testo "per il valore E" ma non capisco...
Beh, non ti dice mica di normalizzarla...
Cmq in generale non puoi normalizzare queste autofunzioni, ovviamente.
Al massimo puoi "normalizzare per unita' di volume", cioe' metti tutto in un box di volume $V$, molto grande.
Tra l'altro un bell'argomento di Feynman fa notare che dal punto di vista del "rigore fisico" e' molto piu' sensato usare un box grande a piacere piuttosto che un volume infinito (lo trovi sul libro di Feynman e Riggs).
Comunque, se ami il rischio, e vuoi fare le cose in maniera matematicamente corretta, dai un'occhiata ai cosiddetti rigged hilbert spaces (il che potrebbe essere oltre i tuoi interessi del momento, magari ti torna buono fra qualche anno).
e sulla continuità dello spettro di energia il ragionamento è corretto? grazie comunque della pazienza, nel corso abbiamo accennato qualcosa sugli spazi di Hilbert ma allora non credo che devo normalizzarla questa funzione d'onda.
"Telemaco Rino":
e sulla continuità dello spettro di energia il ragionamento è corretto?
Che sia continuo, ok. Del resto e' uno stato non legato.
Comunque mancherebbe una cosa da dire (che e' quasi banale).
Un possibile ragionamento per quanto riguarda il caso $U_0=E$ se applico questa uguaglianza all'equazione di S. risulta che $(d^2 phi)/(dx^2)=0$ che ammette soluzioni $phi=Ax+B$ ma il termine Ax diverge a $-infty$ quindi abbiamo una funzione d'onda costante che raccordata a $phi_(x>0)=0$ risulta nulla
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