Meccanica quantistica
Salve a tutti, ho un po dubbi generici rimasti dal mio ultimo esame, meccanica quantistica 1.
Innanzi tutto, la domanda a cui non riesco a trovare risposta è: esiste ( e dove posso trovare ) una dimostrazione della completezza delle autofunzioni degli operatori hermitiani?
Inoltre mi ha lasciato turbato il modo in cui vengono introdotti e trattati gli operatori con spettro continuo, o meglio, è proprio lo spettro continuo e non "quadrato integrabile" (perdonate questa orrenda terminologia) che mi crea problemi.
In particolare a nessuna di queste domande mi è stata data risposta nei miei studi: "quando un operatore hermitiano ha spettro continuo e quando discreto?", "che caratteristiche hanno le funzioni che ammettono "prodotto scalare" ( alla dirac, come dice il mio libro ) con L2?", "in che spazio vivono queste ultime?". Sono forse distribuzioni?
Non so, fatto sta che mi sembra che la meccanica quantistica necessiti di un formalismo più preciso rispetto a quello che ho studiato io ( e sottolineo che ho studiato io; il mondo là fuori è così grande a mia insaputa ).
O forse è meglio dire che sono io che necessito un formalismo più preciso per la meccanica quantistica.
L'ultima domanda è più di tipo fisico...
Ho studiato che possiamo ricostruire lo stato di un sistema quantistico, tramite la combinazione lineare di autostati, per esempio, dell'energia.
Ho studiato poi l'atomo di idrogeno, in cui su separa più volte l'equazione di schrödinger in tre dimensioni e si trovano le armoniche sferiche e le soluzioni radiali.
Mi aspettavo a questo punto che lo stato di un elettrone fosse dato da una combinazione di queste soluzioni, invece mi sembra sempre che si dia per scontato che gli elettroni occupino sempre e solo gli autostati dell'energia...
Per esempio in chimica quando si parla di orbitali, o anche quando si parla di atomi eccitati.
Cosa ci dà la certezza che quando un fotone collide con un atomo di idrogeno il suo elettrone passi sempre da un autostato, all'altro? E tutti gli infiniti stati combinazione di questi non li prendiamo neanche in considerazione?
Tutto questo non per mettere in discussione i risultati sperimentali sullo spettro dell'atomo di idrogeno, ma semplicemente perchè mi sembra in qualche modo incompleta la spiegazione che mi è stata data di queste cose.
Ora la domanda forse più importante, potreste consigliarmi un buon libro di meccanica quantistica ( possibilmente in italiano ), il più completo possibile, e che non lasci nulla di non detto? (ovviamente entro certi limiti non meglio definiti).
Non sono sicurio di essere riuscito ad esprimere bene i miei dubbi, in ogni caso ringrazio in anticipo tutti.
Innanzi tutto, la domanda a cui non riesco a trovare risposta è: esiste ( e dove posso trovare ) una dimostrazione della completezza delle autofunzioni degli operatori hermitiani?
Inoltre mi ha lasciato turbato il modo in cui vengono introdotti e trattati gli operatori con spettro continuo, o meglio, è proprio lo spettro continuo e non "quadrato integrabile" (perdonate questa orrenda terminologia) che mi crea problemi.
In particolare a nessuna di queste domande mi è stata data risposta nei miei studi: "quando un operatore hermitiano ha spettro continuo e quando discreto?", "che caratteristiche hanno le funzioni che ammettono "prodotto scalare" ( alla dirac, come dice il mio libro ) con L2?", "in che spazio vivono queste ultime?". Sono forse distribuzioni?
Non so, fatto sta che mi sembra che la meccanica quantistica necessiti di un formalismo più preciso rispetto a quello che ho studiato io ( e sottolineo che ho studiato io; il mondo là fuori è così grande a mia insaputa ).
O forse è meglio dire che sono io che necessito un formalismo più preciso per la meccanica quantistica.
L'ultima domanda è più di tipo fisico...
Ho studiato che possiamo ricostruire lo stato di un sistema quantistico, tramite la combinazione lineare di autostati, per esempio, dell'energia.
Ho studiato poi l'atomo di idrogeno, in cui su separa più volte l'equazione di schrödinger in tre dimensioni e si trovano le armoniche sferiche e le soluzioni radiali.
Mi aspettavo a questo punto che lo stato di un elettrone fosse dato da una combinazione di queste soluzioni, invece mi sembra sempre che si dia per scontato che gli elettroni occupino sempre e solo gli autostati dell'energia...
Per esempio in chimica quando si parla di orbitali, o anche quando si parla di atomi eccitati.
Cosa ci dà la certezza che quando un fotone collide con un atomo di idrogeno il suo elettrone passi sempre da un autostato, all'altro? E tutti gli infiniti stati combinazione di questi non li prendiamo neanche in considerazione?
Tutto questo non per mettere in discussione i risultati sperimentali sullo spettro dell'atomo di idrogeno, ma semplicemente perchè mi sembra in qualche modo incompleta la spiegazione che mi è stata data di queste cose.
Ora la domanda forse più importante, potreste consigliarmi un buon libro di meccanica quantistica ( possibilmente in italiano ), il più completo possibile, e che non lasci nulla di non detto? (ovviamente entro certi limiti non meglio definiti).
Non sono sicurio di essere riuscito ad esprimere bene i miei dubbi, in ogni caso ringrazio in anticipo tutti.
Risposte
Per i dubbi matematici, devi consultare un libro di metodi matematici per la MQ. Per esempio c'è in rete il Teschl:
post454131.html#p454131
Un'altra (ottima) risorsa che conosco è il Berezin-Shubin The Schroedinger Equation. Per qualcosa di più semplice prova con il Takhtajan Lectures on Quantum Mechanics (però questo non lo conosco). Infine, la vera enciclopedia sull'argomento è il monumentale Methods of Modern Mathematical Physics di Reed & Simon. Occhio che sono letture piuttosto impegnative.
post454131.html#p454131
Un'altra (ottima) risorsa che conosco è il Berezin-Shubin The Schroedinger Equation. Per qualcosa di più semplice prova con il Takhtajan Lectures on Quantum Mechanics (però questo non lo conosco). Infine, la vera enciclopedia sull'argomento è il monumentale Methods of Modern Mathematical Physics di Reed & Simon. Occhio che sono letture piuttosto impegnative.
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