Meccanica Ondulatoria: spettro ottico di un atomo di Li++
Assumendo che tutte le transizioni tra stati con diverso numero quantico principale $n$ siano possibili, lo spettro ottico di un atomo di Litio doppiamente ionizzato $Li^(++)$ avrà più o meno righe nel visibile (cioè tra $lambda =0.38$ e $0.77 mu m$) dello spettro ottico dell'idrogeno??
Salve, la mia domanda su questo esercizio è semplice... come faccio? Controllo tutte le possibili transizioni tra stati diversi e conto quelle che cadono nel visibile? Utilizzo la formula di Rydberg? E come?
Grazie
Salve, la mia domanda su questo esercizio è semplice... come faccio? Controllo tutte le possibili transizioni tra stati diversi e conto quelle che cadono nel visibile? Utilizzo la formula di Rydberg? E come?
Grazie
Risposte
Quasi 
. Occorre un poco di astuzia per evidenziare le transizioni ammissibili. L'energia di ionizzazione di un atomo è $E(Z)=Z^2 E_{ion}^H$ dove $E_{ion}^H = 1 Ry = 13,6 eV$ è l'energia di ionizzazione dell'idrogeno. L'energia di transizione la esprimi come $E_{mn}=E(Z) (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2})$.
Hai che i livelli si addensano nei pressi della soglia di ionizzazione, quindi, fissata la minima soglia di energia, certamente i livelli dai quali sono possibili più transizioni con energia maggiore della soglia infrarossa del visibile sono i livelli più alti.
Quindi l'astuzia consiste nel ricavare i limiti in energia dalle due lunghezze d'onda, in elettronvolt: $E_{min} = \frac {6,6 e (-34) x 3 e 8}{0,77 e (-6) x 1,6 e (-19)} eV = 1,6 eV $ $E_{max} = \frac {6,6 e (-34) x 3 e 8}{0,38 e (-6) x 1,6 e (-19)} eV = 3,2 eV $ ed osservare che le transizioni ammissibili, dalla soglia di ionizzazione, sono caratterizzate dai limiti su n: $ Z \sqrt{ \frac{13,6}{3,2}} < n < Z \sqrt{\frac{13,6}{1,6}} $ e poichè per Z=1 questi margini sono 2,1 e 2,9 non ci sono interi in questo range, quindi sono del tutto assenti le transizioni nel visibile da livelli molto prossimi alla soglia di ionizzazione e dobbiamo concludere che sono possibili solamente un numero finito di transizioni visibili, per l'idrogeno. Nel caso del Litio due volte ionizzato, invece, Z = 3 quindi i limiti diventano compatibili con transizioni dalla soglia di ionizzazione ed esistono "infinite" righe nella finestra visibile.
Tornando all'idrogeno: anche la riga 2 -> 1 si colloca sopra le frequenze visibili e di conseguenza tutta la serie di Lyman delle transizioni verso il fondamentale non è visibile. Nelle transizioni verso il livello 3, per contro, la massima energia possibile è quella dalla soglia di ionizzazione ma 13,6/9 è meno di 1,6, quindi anche la serie di Paschen ed a fortiori le serie di Brackett, Pfund e Humpfrey non sono nel visibile, ma si collocano nell'infrarosso. L'unica serie visibile è quella verso il livello 2 che è la serie di Balmer. Per l'esattezza si vedono solo quattro delle righe di Balmer, mentre la quinta sta appena sopra la soglia del visibile (non saprei se esistono persone speciali capaci di vedere la quinta riga di Balmer, penso sia possibile).
Un argomento intuitivo è che tutto lo spettro dell'idrogeno, visibile ed invisibile, inteso come un grafico di righe ordinate secondo la lunghezza d'onda, deve essere compresso di un fattore Z^2 per ottenere lo spettro di un qualsiasi atomo idrogenoide.
Il motivo delle virgolette su "infinite": in pratica le righe non saranno mai infinite per quanto si addensino, per una serie di ragioni pratiche: l'ultima è che ogni riga ha una larghezza minima dovuta ad indeterminazione intrinseca per la QED anche nelle misure più precise non si riuscirebbe a scendere sotto quella soglia. Un'altra ragione è che più elevato è il numero quantico n, valido per atomi isolati nel vuoto, più delocalizzato è l'elettrone e l'approssimazione di elettrone intorno a singolo nucleo diventa improponibile, di fatto per n abbastanza alto gli stati debolmente legati e gli stati del continuo si confondono. Infine, di fatto, per ragioni statistiche eccitare livelli più elevati richiede fotoni più energetici, quindi in condizioni statistiche le righe più elevate sono meno popolate.
. Occorre un poco di astuzia per evidenziare le transizioni ammissibili. L'energia di ionizzazione di un atomo è $E(Z)=Z^2 E_{ion}^H$ dove $E_{ion}^H = 1 Ry = 13,6 eV$ è l'energia di ionizzazione dell'idrogeno. L'energia di transizione la esprimi come $E_{mn}=E(Z) (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2})$. Hai che i livelli si addensano nei pressi della soglia di ionizzazione, quindi, fissata la minima soglia di energia, certamente i livelli dai quali sono possibili più transizioni con energia maggiore della soglia infrarossa del visibile sono i livelli più alti.
Quindi l'astuzia consiste nel ricavare i limiti in energia dalle due lunghezze d'onda, in elettronvolt: $E_{min} = \frac {6,6 e (-34) x 3 e 8}{0,77 e (-6) x 1,6 e (-19)} eV = 1,6 eV $ $E_{max} = \frac {6,6 e (-34) x 3 e 8}{0,38 e (-6) x 1,6 e (-19)} eV = 3,2 eV $ ed osservare che le transizioni ammissibili, dalla soglia di ionizzazione, sono caratterizzate dai limiti su n: $ Z \sqrt{ \frac{13,6}{3,2}} < n < Z \sqrt{\frac{13,6}{1,6}} $ e poichè per Z=1 questi margini sono 2,1 e 2,9 non ci sono interi in questo range, quindi sono del tutto assenti le transizioni nel visibile da livelli molto prossimi alla soglia di ionizzazione e dobbiamo concludere che sono possibili solamente un numero finito di transizioni visibili, per l'idrogeno. Nel caso del Litio due volte ionizzato, invece, Z = 3 quindi i limiti diventano compatibili con transizioni dalla soglia di ionizzazione ed esistono "infinite" righe nella finestra visibile.
Tornando all'idrogeno: anche la riga 2 -> 1 si colloca sopra le frequenze visibili e di conseguenza tutta la serie di Lyman delle transizioni verso il fondamentale non è visibile. Nelle transizioni verso il livello 3, per contro, la massima energia possibile è quella dalla soglia di ionizzazione ma 13,6/9 è meno di 1,6, quindi anche la serie di Paschen ed a fortiori le serie di Brackett, Pfund e Humpfrey non sono nel visibile, ma si collocano nell'infrarosso. L'unica serie visibile è quella verso il livello 2 che è la serie di Balmer. Per l'esattezza si vedono solo quattro delle righe di Balmer, mentre la quinta sta appena sopra la soglia del visibile (non saprei se esistono persone speciali capaci di vedere la quinta riga di Balmer, penso sia possibile).
Un argomento intuitivo è che tutto lo spettro dell'idrogeno, visibile ed invisibile, inteso come un grafico di righe ordinate secondo la lunghezza d'onda, deve essere compresso di un fattore Z^2 per ottenere lo spettro di un qualsiasi atomo idrogenoide.
Il motivo delle virgolette su "infinite": in pratica le righe non saranno mai infinite per quanto si addensino, per una serie di ragioni pratiche: l'ultima
è che ogni riga ha una larghezza minima dovuta ad indeterminazione intrinseca per la QED anche nelle misure più precise non si riuscirebbe a scendere sotto quella soglia. Un'altra ragione è che più elevato è il numero quantico n, valido per atomi isolati nel vuoto, più delocalizzato è l'elettrone e l'approssimazione di elettrone intorno a singolo nucleo diventa improponibile, di fatto per n abbastanza alto gli stati debolmente legati e gli stati del continuo si confondono. Infine, di fatto, per ragioni statistiche eccitare livelli più elevati richiede fotoni più energetici, quindi in condizioni statistiche le righe più elevate sono meno popolate.
Che risposta precisa ed esaustiva! Grazie mille Tetis e complimenti!
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