Meccanica lagrangiana

[cooper1]

Esercizio
due punti A e B, di ugual massa, sono vincolati a muoversi su di una circonferenza orizzontale. essi sono collegati tra loro da due molle elastiche di lunghezza a riposo nulla, con costante elastica uguale, che si estendono lungo i due archi di circonferenza delimitati da A e B.

avevo pensato di usare come coordinate lagrangiane due angoli $theta_1 ^^ theta_2$, però non saprei calcolare il potenziale elastico. qualche suggerimento?

[Studente Anonimo]

$[V_1=-1/2kR^2(\theta_1-\theta_2)^2] ^^ [V_2=-1/2kR^2(2\pi-\theta_1+\theta_2)^2]$

[cooper1]

vediamo se ho capito il ragionamento..
per $V_1$ a noi serve l'arco di circonferenza compreso tra i due punti (assumo $theta_1$ l'angolo del punto più a sinistra). ora $R tehta_1$ è l'arco che va dall'origine al punto più a sx. questo dobbiamo togliere l'arco tra l'origine ed il punto più a dx, che sarà di $R theta_2$
per $V_2$:
$R (2pi -theta_1)$ è l'arco che va dal punto più a sx all'origine. a questo dobbiamo aggiungere il pezzo che va dall'origine al punto più a dx.
ammesso e non concesso che la mia spiegazione rifletta effettivamente il tuo calcolo non capisco però perchè siano negativi. hai giù considerato il meno della lagrangiana per caso?
come sempre grazie per il prezioso aiuto.

[Studente Anonimo]

"cooper":
... non capisco però perché siano negativi ...

A rigore, avevi chiesto il potenziale, non l'energia potenziale. Ad ogni modo, se la lunghezza di una delle due molle è:

$l_1=|\theta_1-\theta_2|R$

la lunghezza dell'altra è:

$l_2=2\piR-|\theta_1-\theta_2|R$

visto che, se ho capito bene, dovrebbe essere:

$l_1+l_2=2\piR$

"anonymous_0b37e9":
$[V_1=-1/2kR^2(\theta_1-\theta_2)^2] ^^ [V_2=-1/2kR^2(2\pi-\theta_1+\theta_2)^2]$

Temo di essere stato un po' precipitoso. Meglio scrivere:

$[V_1=-1/2kR^2(\theta_1-\theta_2)^2] ^^ [V_2=-1/2kR^2(2\pi-|\theta_1-\theta_2|)^2]$

[cooper1]

"anonymous_0b37e9":se la lunghezza di una delle due molle è:

l1=|θ1−θ2|R

la lunghezza dell'altra è:

l2=2πR−|θ1−θ2|R

ha perfettamente senso in effetti.

"anonymous_0b37e9":visto che, se ho capito bene, dovrebbe essere:

l1+l2=2πR

il testo è tutto quello che c'è: non c'è nessuna figura purtroppo. comunque sia anche io ho immaginato che fosse come l'hai pensata tu, ovvero un pezzo di molla che collega i due punti dall'alto e poi un'altra molla che li collega dal bassa coprendo l'intera circonferenza.

in conclusione la mia lagrangiana sarebbe $L = m/2 vecv * vecv -1/2kR^2(theta_1-theta_2)^2-1/2kR^2(2pi-|theta_1\theta_2|)^2$ ?

[Studente Anonimo]

Non ho compreso del tutto come l'hai scritta. Io proporrei la seguente:

$[L=1/2mR^2(dot\theta_1^2+dot\theta_2^2)-1/2kR^2(\theta_1-\theta_2)^2-1/2kR^2(2\pi-|\theta_1-\theta_2|)^2] rarr$

$rarr [L=1/2mR^2(dot\theta_1^2+dot\theta_2^2)-kR^2(\theta_1-\theta_2)^2+2\pikR^2|\theta_1-\theta_2|]$

visto che la costante additiva è inessenziale.

[cooper1]

sisi è esattamente quella che intendevo io. ho lasciato solo non calcolata l'energia cinetica perchè mi premeva di più il secondo pezzo.
grazie mille ancora
P.S. con $vecv * vecv$ intendevo $(dotx)^2 + (doty)^2$ da portare poi in coordinate polari piane con i due angoli e raggio fisso pari ad $R$

[Studente Anonimo]

"cooper":
... da portare poi in coordinate polari ...

Non è necessario:

$[v=\omegaR] ^^ [\omega=dot\theta] rarr [v=dot\thetaR]$

[cooper1]

questo però funziona solo in questo caso no? se anche il raggio variasse avrei un pezzo con $(dotR)^2$ come in coordinate cilindriche giusto? per questo avevo messo il caso più generale $vecv vecv$

[Studente Anonimo]

"cooper":
... da portare poi in coordinate polari piane ...

Solo per precisare che le coordinate polari:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi):}$

sono piane per definizione.

"cooper":
questo però funziona solo in questo caso no?

Affermativo.

[cooper1]

ok perfetto!