Meccanica lagrangiana

[gbspeedy]

Da un problema di meccanica lagrangiana ho ottenuto en. totale $E=1/2m(2 ( dot(r))^2 + r^2 ( dot(theta) )^2)+mg(r-L)$
Devo verificare che l'energia è costante (cioè verificare che la derivata di $E$ rispetto al tempo $t$ è nulla) ma non ho capito come applicarlo.

[Studente Anonimo]

Domanda strana (le conservazioni servono proprio per non risolvere le equazioni di Eulero.Lagrange e ricavare preziose informazioni sul sistema).

Se il sistema è isolato e la forza è il meno gradiente dell'energia potenziale (funzione solo delle coordinate), l'energia si conserva di conseguenza.

Se poi uno vuole, può trovarsi le equazioni del moto risolvendo l'equazione di Eulero-Lagrange (se la cosa è fattibile) e può sostituire nell'energia.

O, magari, trovare qualche trucco ...

[gbspeedy]

le equazioni del moto che ho trovato sono 2:

1) $ 2 ddot(r)-r dot(theta)^2+g=0$

2) $r^2 dot(theta)=C$ e quindi $r^2 dot(theta)$ è una costante del moto

[Studente Anonimo]

Se adesso calcoli $dot E$ e ci sostituisci le eq. del moto, magari viene facilmente zero ... Non ho fatto i calcoli, la mia è una speranza ...

[gbspeedy]

per calcolare $dot(E)$ devo fare $ (partial E)/(partial r) dot(r)+(partial E)/(partial theta) dot(theta)$?

[Studente Anonimo]

Direi semplicemente integrando totalmente rispetto al tempo (quella formula di derivazione non va bene perché E non dipende solo da quelle due variabili).

Facendo diverse sostituzioni tramite le eq. del moto ed anche la derivata rispetto al tempo di $C$, si arriva alla $dot E = 0$ con una decina di righe di calcolo e reputiamoci fortunati ...