Meccanica hamiltoniana: trasformazioni canoniche
Salve a tutti. Vi espongo un dubbio. Sto studiando le equazioni di Hamilton per i sistemi di punti materiali, e per la precisione le trasformazioni canoniche (q, p) $rarr$ (Q(q, p), P(q, p)) con passaggio dall'hamiltoniana H(q, p) all'hamiltoniana K(Q, P). q e Q sono i vettori delle coordinate mentre p e P sono i vettori dei rispettivi momenti coniugati.
Se ho capito bene, tutte queste trasformazioni possono essere generate con il "metodo della funzione generatrice".
Ora consideriamo il caso di una sola coordinata q e di un solo momento p, con hamiltoniana H(q, p).
La mia domanda è: la trasformazione Q = p, P = q, K(Q, P) = - H(P,Q) è canonica? E se sì, qual è la sua funzione generatrice?
A me sembra che la risposta alla prima domanda sia sì, ma questo cozza con il fatto che non sono stato in grado di trovare la generatrice. Ho le idee un po' confuse...
Se ho capito bene, tutte queste trasformazioni possono essere generate con il "metodo della funzione generatrice".
Ora consideriamo il caso di una sola coordinata q e di un solo momento p, con hamiltoniana H(q, p).
La mia domanda è: la trasformazione Q = p, P = q, K(Q, P) = - H(P,Q) è canonica? E se sì, qual è la sua funzione generatrice?
A me sembra che la risposta alla prima domanda sia sì, ma questo cozza con il fatto che non sono stato in grado di trovare la generatrice. Ho le idee un po' confuse...
Risposte
Sei sicuro che la trasf. è canonica? Hai provato, per esempio, con le parentesi di Poisson?
Ho fatto queste considerazioni (che potrebbero benissimo essere cantonate):
la trasformazione è canonica se e solo se valgono per Q, P, K le eq. di Hamilton, cioè se e solo se
$dot(Q) = (partial K)/(partial P) = - (partial(H(P,Q)))/(partial P) = - (partial H)/(partial q)(P,Q)$
$dot(P) = - (partial K)/(partial Q) = (partial(H(P,Q)))/(partial Q) = (partial H)/(partial p)(P,Q)$
Ma, d'altra parte, poiché il sistema di partenza è hamiltoniano, si ha:
$- (partial H)/(partial q) = dot(p)$
$(partial H)/(partial p) = dot(q)$
Quindi, con le opportune sostituzioni di variabili, risulta che le due uguaglianze richieste perché la trasf. sia canonica sono verificate se e solo se $dot(Q) = dot(p)$ e $dot(P)=dot(q)$, cosa che è vera per definizione.
Ora, cosa ho sbagliato?
la trasformazione è canonica se e solo se valgono per Q, P, K le eq. di Hamilton, cioè se e solo se
$dot(Q) = (partial K)/(partial P) = - (partial(H(P,Q)))/(partial P) = - (partial H)/(partial q)(P,Q)$
$dot(P) = - (partial K)/(partial Q) = (partial(H(P,Q)))/(partial Q) = (partial H)/(partial p)(P,Q)$
Ma, d'altra parte, poiché il sistema di partenza è hamiltoniano, si ha:
$- (partial H)/(partial q) = dot(p)$
$(partial H)/(partial p) = dot(q)$
Quindi, con le opportune sostituzioni di variabili, risulta che le due uguaglianze richieste perché la trasf. sia canonica sono verificate se e solo se $dot(Q) = dot(p)$ e $dot(P)=dot(q)$, cosa che è vera per definizione.
Ora, cosa ho sbagliato?
Prima di fare complicati ragionamento, testerei se la trasf. è canonica o no.
Qui, mi sembra che $[q,p]=-1$ per cui la trasf. non sarebbe canonica...
Qui, mi sembra che $[q,p]=-1$ per cui la trasf. non sarebbe canonica...
Intendi dire $[Q,P]=-1$? OK, hai ragione.
Perdona la mia enorme confusione, ma mi resta una perplessità: perché sembra che Q e P siano legate dalle equazioni di Hamilton (attraverso l'hamiltoniana K) se la trasf. non è canonica?
Perdona la mia enorme confusione, ma mi resta una perplessità: perché sembra che Q e P siano legate dalle equazioni di Hamilton (attraverso l'hamiltoniana K) se la trasf. non è canonica?
Ps. Se provi con la funzione generatrice $G_1$, sembra proprio che la tua trasf. non funzioni...
Sì, con le funzioni generatrici la mia trasformazione non funziona.
Forse ho capito il mio errore: io consideravo canoniche tutte le trasformazioni che preservano la forma delle equazioni di hamilton, anche sostituendo l'hamiltoniana H con un'altra qualsiasi K. In altre parole, il mio errore è (probabilmente) non porre alcuna restrizione sulla funzione K, mentre l'articolo di Wikipedia specifica che essa deve soddisfare la condizione indicata nell'articolo col numero (3):
$K(Q,P)=H(q(Q,P),p(Q,P))$
Certamente la mia K non soddisfa in generale questa condizione.
In ogni caso, grazie mille per avermi aiutato a fare un po' d'ordine nel mio caos mentale.
Forse ho capito il mio errore: io consideravo canoniche tutte le trasformazioni che preservano la forma delle equazioni di hamilton, anche sostituendo l'hamiltoniana H con un'altra qualsiasi K. In altre parole, il mio errore è (probabilmente) non porre alcuna restrizione sulla funzione K, mentre l'articolo di Wikipedia specifica che essa deve soddisfare la condizione indicata nell'articolo col numero (3):
$K(Q,P)=H(q(Q,P),p(Q,P))$
Certamente la mia K non soddisfa in generale questa condizione.
In ogni caso, grazie mille per avermi aiutato a fare un po' d'ordine nel mio caos mentale.
Non tutte le trasfomazioni sono canoniche, ma solo quelle che salvano le equazioni di Hamilton 
Sì, e, almeno apparentemente, la mia trasformazione preserva le equazioni di Hamilton, ma solo a patto di scegliere una hamiltoniana che non rispetta la fatidica condizione (3).
Hai idea di quanto ho sudato pe capire quest'argomento? Molto nasce dal fatto che spesso sono persino i docenti a non fare molti sforzi per essere "coerenti" e "inequivocabili".
Una trasformazione si dice CANONICA se per ogni H esiste una K FATTA COME PARE A LEI tale che il sistema (P,Q,K) è Hamiltoniano. Tutte le trasformazioni che soddisfano questo ammettono funzione generatrice.
Una trasformazione si dice COMPLETAMENTE CANONICA se è canonica, e inoltre K(Q P,t)=H(q(Q,P,t),p(Q,P,t),t). Una trasformazione completamente canonica è canonica (quindi ammette funzione generatrice). Inoltre verifica altre proprietà, tra cui la conservazione delle parentesi di Poisson, l'appartenenza al gruppo simplettico, e altro). Una qualsiasi di queste ultime proprietà è indice di completa canonicità, quindi sono sufficienti a dimostrare che hanno funzione generatrice, ma non sono condizioni necessarie.
Una trasformazione si dice CANONICA se per ogni H esiste una K FATTA COME PARE A LEI tale che il sistema (P,Q,K) è Hamiltoniano. Tutte le trasformazioni che soddisfano questo ammettono funzione generatrice.
Una trasformazione si dice COMPLETAMENTE CANONICA se è canonica, e inoltre K(Q P,t)=H(q(Q,P,t),p(Q,P,t),t). Una trasformazione completamente canonica è canonica (quindi ammette funzione generatrice). Inoltre verifica altre proprietà, tra cui la conservazione delle parentesi di Poisson, l'appartenenza al gruppo simplettico, e altro). Una qualsiasi di queste ultime proprietà è indice di completa canonicità, quindi sono sufficienti a dimostrare che hanno funzione generatrice, ma non sono condizioni necessarie.
Aggiungo che le trasformazioni canoniche (anche in senso esteso) devono preservare OGNI Hamiltoniana. Esistono trasf.- che preservano qualche Hamiltoniana ma non altre. Queste trasformazioni non sono dette CANONICHE.
Ti ringrazio newton_1372. Mi mancava questa spiegazione.
In effetti il mio prof. non aveva specificato affatto la distinzione che hai fatto tu: ci ha dato la definizione di trasf. canonica con una K "fatta come pare a lei"; dopodiché si è messo serenamente (e rocambolescamente) a dedurre teoremi che però valgono solo per trasformazioni COMPLETAMENTE canoniche, tra i quali, a quanto ho capito, rientra anche il metodo della funzione generatrice (giusto?). Questo mi aveva abbastanza confuso, portandomi ad aprire questo thread...
In effetti il mio prof. non aveva specificato affatto la distinzione che hai fatto tu: ci ha dato la definizione di trasf. canonica con una K "fatta come pare a lei"; dopodiché si è messo serenamente (e rocambolescamente) a dedurre teoremi che però valgono solo per trasformazioni COMPLETAMENTE canoniche, tra i quali, a quanto ho capito, rientra anche il metodo della funzione generatrice (giusto?). Questo mi aveva abbastanza confuso, portandomi ad aprire questo thread...
Non hai la minima idea di quanto ti capisco! Persino andare a ricevimento (da piu prof diversi!) mi confondeva davvero le idee! E le dimostraazioni che vengono spesso presentate (tipo nel Goldstein) sono davvero sbagliate, o, come si suol dire, matematicamente "ad minkiam".
Dopo aver sofferto per mesi su questo argomento, ho trovato una dispensa di meccanica niente male, dal formalismo ineccepibile e che esplicita con molta precisione tutte le ipotesi, con dimostrazioni ferree, a prova del matematico piu intransigente.
A volte viene preferito un approccio piu "student-friendly", pensando di fare un favore agli studenti inventandosi argomentazioni "alla cavolo". Ma so per esperienza personale che in questo modo aumenta la confusione, perchè un cervello che ragiona capisce che certe ipotesi sono restrittive o che un certo argomento non è proprio corretto, e questo genera confusione.
Butta il Goldstein nel cestino; ti consiglio l'Arnold (mathematical methods of classical mechanics), che però è molto profondo e decisamente spinto come formalismo (ma assolutamente ESATTO) oppure le dispense che ho citato (Esposito, Appunti di meccanica razionale, si trovano in rete).
ULTIMA COSA: A volte (se nn sempre)quando nei testi degli esercizi trovi la parola CANONICA, si intende COMPLETAMENTE CANONICA. Insomma, i nomi possono variare.
Dopo aver sofferto per mesi su questo argomento, ho trovato una dispensa di meccanica niente male, dal formalismo ineccepibile e che esplicita con molta precisione tutte le ipotesi, con dimostrazioni ferree, a prova del matematico piu intransigente.
A volte viene preferito un approccio piu "student-friendly", pensando di fare un favore agli studenti inventandosi argomentazioni "alla cavolo". Ma so per esperienza personale che in questo modo aumenta la confusione, perchè un cervello che ragiona capisce che certe ipotesi sono restrittive o che un certo argomento non è proprio corretto, e questo genera confusione.
Butta il Goldstein nel cestino; ti consiglio l'Arnold (mathematical methods of classical mechanics), che però è molto profondo e decisamente spinto come formalismo (ma assolutamente ESATTO) oppure le dispense che ho citato (Esposito, Appunti di meccanica razionale, si trovano in rete).
ULTIMA COSA: A volte (se nn sempre)quando nei testi degli esercizi trovi la parola CANONICA, si intende COMPLETAMENTE CANONICA. Insomma, i nomi possono variare.
Ancora un osservazione sull'approccio non student-friendly. Se hai fretta e non ti va di seguire le dimostrazioni, nulla vieta "lì per lì" di saltarle. Ma gli enunciati dei vari fatti dovrebbero essere espressi in forma rigorosa, definita e precisa. Mettendo in luce le differenze tra concetti simili. Un libro di fisica non dovrebbe mai essere chiacchieroso e discorsivo. Anzi, piu schematico è, meglio è
Un libro di fisica non dovrebbe mai essere chiacchieroso e discorsivo
I libri di quel tipo magari , in certi campi della fisica , sono comodi , se non necessari,
come primo approccio alla materia, per me.
Non sono daccordo. Studia per bene analisi 1 e 2. Dopodichè inizia a leggere DALL'INIZIO alla fine uno dei libri che ti ho citato (anche le dispense di Esposito). Ti accorgerai che il maggiore rigore porta la tua mente a farsi una costruzione piu ordinata, precisa e non ambigua degli argomenti e delle nozioni. Se hai un libro di 8000 pagine piene di "ma tanto si vede che è anche così anche se non è colà intuitivamente", ti confondi e basta. Ti posso assicurare che l'accresciuta fatica dovuta al formalismo è abbondantemente ripagata in sicurezza e in chiarezza.
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