Meccanica del punto libero (meccanica razionale)
Un punto materiale P di massa m è mobile nello spazio sotto l'azione di una forza peso e di una forza elastica
esplicata da una molla di costante elastica K e lunghezza di riposo nulla, la quale connette P con un punto fisso 0
centro della terna di versori del sistema inerziale. Studiare il moto di P a partire dai dati iniziali P(0)=(0 y0 0) v(0)= v0 e1
(e1,e2,e3) versori della terna
soluzione
$x=m(v0)/h cos(theta)(1-e^(-ht/m)), y=m/h((v0)sin(theta)+mg/h)(1-e^(-ht/m))-mg/ht$
Asse y verso l'alto
Dunque....
come scegliere le coordinate lagrangiane al fine di ridurre i calcoli e semplificarsi la vita?
Se x è la coordinata L della proiezione di P sul piano e1 e2 ed y la coordinata L dell'altezza di P
$P-O=xcos(theta)e1+ye3$ va bene?
esplicata da una molla di costante elastica K e lunghezza di riposo nulla, la quale connette P con un punto fisso 0
centro della terna di versori del sistema inerziale. Studiare il moto di P a partire dai dati iniziali P(0)=(0 y0 0) v(0)= v0 e1
(e1,e2,e3) versori della terna
soluzione
$x=m(v0)/h cos(theta)(1-e^(-ht/m)), y=m/h((v0)sin(theta)+mg/h)(1-e^(-ht/m))-mg/ht$
Asse y verso l'alto
Dunque....
come scegliere le coordinate lagrangiane al fine di ridurre i calcoli e semplificarsi la vita?
Se x è la coordinata L della proiezione di P sul piano e1 e2 ed y la coordinata L dell'altezza di P
$P-O=xcos(theta)e1+ye3$ va bene?
Risposte
Io utilizzeri come coordinate lagrangiane le coordinate cilindriche $(r,\theta,z)$.
La lagrangiana in questo caso è $L=1/2m(\dotr^2+r^2\dot\theta^2+\dotz^2)-mgz-1/2k(r^2+z^2)$.
Si ottengono le equazioni $m\ddotr=mr\dot\theta^2-kr, mr^2\ddot\theta=-2mr\dot\theta, m\ddotz=-mg-kz$.
Non si capiscono bene le condizioni iniziali ed in che modo le $x$ e la $y$ della soluzione sono legati ai versori della terna, dovresti chiarire meglio.
EDIT: Corrette le equazioni.
La lagrangiana in questo caso è $L=1/2m(\dotr^2+r^2\dot\theta^2+\dotz^2)-mgz-1/2k(r^2+z^2)$.
Si ottengono le equazioni $m\ddotr=mr\dot\theta^2-kr, mr^2\ddot\theta=-2mr\dot\theta, m\ddotz=-mg-kz$.
Non si capiscono bene le condizioni iniziali ed in che modo le $x$ e la $y$ della soluzione sono legati ai versori della terna, dovresti chiarire meglio.
EDIT: Corrette le equazioni.
non mi torna la seconda equaz.
a me viene $2Mrdot\theta + mr^2ddot\theta$
Guarda neanche io capisco il risultato riportato perciò preferisco provare a
risovere il sistema di equazioni come l'hai impostato tu ma.....se non ho
sbagliato i calcoli diventa un po' incasinato risolverlo e con i sistemi
di equazioni differenziali non ho molta dimestichezza.
Puoi controllare perfavore la seconda disequazione se ti viene come a me?
quando derivi rispetto al tempo anche la r^2 dovrebbe essere derivata...
a me viene $2Mrdot\theta + mr^2ddot\theta$
Guarda neanche io capisco il risultato riportato perciò preferisco provare a
risovere il sistema di equazioni come l'hai impostato tu ma.....se non ho
sbagliato i calcoli diventa un po' incasinato risolverlo e con i sistemi
di equazioni differenziali non ho molta dimestichezza.
Puoi controllare perfavore la seconda disequazione se ti viene come a me?
quando derivi rispetto al tempo anche la r^2 dovrebbe essere derivata...
Hai ragione, nella fretta ho sbagliato a derivare.
Quindi alla fine semplificando ci ritroviamo con le equazioni $\ddotr=r\dot\theta^2-k/mr, r\ddot\theta=-2\dot\theta, \ddotz=-g-k/mz$.
La coordinata $\theta$ non compare nella lagrangiana, quindi il momento coniugato $(\delL)/(\del\dot\theta)=mr^2\dottheta$ si conserva.
Si può utilizzare questo per disaccoppiare la prima equazione dalla seconda, ma la risoluzione viene comunque abbastanza complicata.
Forse effettivamente c'è un modo più semplice, se mi viene in mente ti faccio sapere.
EDIT: Corrette le equazioni.
Quindi alla fine semplificando ci ritroviamo con le equazioni $\ddotr=r\dot\theta^2-k/mr, r\ddot\theta=-2\dot\theta, \ddotz=-g-k/mz$.
La coordinata $\theta$ non compare nella lagrangiana, quindi il momento coniugato $(\delL)/(\del\dot\theta)=mr^2\dottheta$ si conserva.
Si può utilizzare questo per disaccoppiare la prima equazione dalla seconda, ma la risoluzione viene comunque abbastanza complicata.
Forse effettivamente c'è un modo più semplice, se mi viene in mente ti faccio sapere.
EDIT: Corrette le equazioni.
Perchè l'energia della molla è solo $1/2kr^2$?
"cavallipurosangue":
Perchè l'energia della molla è solo $1/2kr^2$?
giusto
la lagrangiana sarebbe dovuta essere in coordinate cilindriche L = T + - mgz - $1/2k(r+z)^2$.
bisogna vedere se è più comodo stare in cilindriche o passare in sferiche ove si complica però il potenziale gravitazionale.
Avete ragione, mi sono confuso pensando alle coordinate sferiche.
Mi sembra però che il termine corretto sia $1/2k(r^2+z^2)$, non tutto al quadrato.
Mi sembra però che il termine corretto sia $1/2k(r^2+z^2)$, non tutto al quadrato.
Esatto... a me sarebbero subito venute a mente le coordinate sferiche 
Comunque ragazzi, le equazioni son moolta più semplici se si usa il solito vecchio NEWTON e le equazioni cardinali... 
Ecco che viene fuori:
${(a_x=-k/mx),(a_y=-k/my),(a_z=-k/mz-g):}=>{(x(t)=v_0/\omega\sin(\omegat)),(y(t)=y_0\cos(\omegat)),(z(t)=-g/\omega^2):}$
dove $\omega=sqrt(k/m)$.
Si nota bene che avere una molla ideale agente in direzione OP è uguale a tre molle della stessa rigidezza orientate lungo gli assi coordinati con un allungamento pari alla proiezione dell'allungamento totale sugli assi stessi... questo dammi retta capiscilo bene perchè è moolto utile... (soprattutto operativamente...)
EDIT: Ho aggiunto la soluzione di quelle tre equazioni.
Ecco che viene fuori:
${(a_x=-k/mx),(a_y=-k/my),(a_z=-k/mz-g):}=>{(x(t)=v_0/\omega\sin(\omegat)),(y(t)=y_0\cos(\omegat)),(z(t)=-g/\omega^2):}$
dove $\omega=sqrt(k/m)$.
Si nota bene che avere una molla ideale agente in direzione OP è uguale a tre molle della stessa rigidezza orientate lungo gli assi coordinati con un allungamento pari alla proiezione dell'allungamento totale sugli assi stessi... questo dammi retta capiscilo bene perchè è moolto utile... (soprattutto operativamente...)
EDIT: Ho aggiunto la soluzione di quelle tre equazioni.
"Eredir":
Avete ragione, mi sono confuso pensando alle coordinate sferiche.
Mi sembra però che il termine corretto sia $1/2k(r^2+z^2)$, non tutto al quadrato.
si hai ragione! nella fretta ho pure scritto na str...
Alla fine in effetti la scelta più scontata sembra anche la più semplice.
Con le solite coordinate cartesiane la lagrangiana si scrive $L=1/2m(\dotx^2+\doty^2+\dotz^2)-mgz-1/2k(x^2+y^2+z^2)$, da cui si ricavano le stesse equazioni che ha scritto cavallipurosangue.
Con le solite coordinate cartesiane la lagrangiana si scrive $L=1/2m(\dotx^2+\doty^2+\dotz^2)-mgz-1/2k(x^2+y^2+z^2)$, da cui si ricavano le stesse equazioni che ha scritto cavallipurosangue.
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