[Meccanica classica] Reazione vincolare e Forza centripeta
Salve a tutti,
non riesco a capire questo esercizio
"Un punto materiale di massa M, si muove su una traiettoria circolare orizzontale, all'interno di una scodella sferica di raggio R, ad una altezza dal fondo della scodella pari a R/2. Determinare:
a) l'intensità della reazione vincolante che agisce dallla scodella sul punto materiale
b) la velocità con cui il punto materiale si sta muovendo
M= 0.100 kg, R= 0.300 m g= 9.81 m/$s^2$
Allora...
Dato che l'altezza dal fondo della traiettoria del punto materiale è R/2, il raggio di questa traiettoria dovrebbe essere
r= cos45*R
la reazione vincolare coinvolta dovrebbe essere la forza normale, mentre la velocità è la tangente del "punto" che corre sulla sua traiettoria circolare, però non sono sicuro di queste due cose.
E cosa che non riesco a capire è il diagramma delle forze...
In pratica nel disegno che ho fatto, ho messo:
la forza centripeta, che punta verso il centro;
la forza di gravità che punta verso il basso;
la forza normale che punta verso il centro della scodella con una inclinazione di 45 gradi;
una forza x che devrebbe mantenere la traiettoria ad una certa altezza dal fondo della scodella;
Chi è questa forza x?
...e poi ho un'altro dubbio sulla reazione vincolare. Da quanto ho capito una reazione vincolare è una forza che blocca la traiettoria di un punto sull'asse x, o sull'asse y, o sull'asse z. E' giusto?
Grazie.
non riesco a capire questo esercizio
"Un punto materiale di massa M, si muove su una traiettoria circolare orizzontale, all'interno di una scodella sferica di raggio R, ad una altezza dal fondo della scodella pari a R/2. Determinare:
a) l'intensità della reazione vincolante che agisce dallla scodella sul punto materiale
b) la velocità con cui il punto materiale si sta muovendo
M= 0.100 kg, R= 0.300 m g= 9.81 m/$s^2$
Allora...
Dato che l'altezza dal fondo della traiettoria del punto materiale è R/2, il raggio di questa traiettoria dovrebbe essere
r= cos45*R
la reazione vincolare coinvolta dovrebbe essere la forza normale, mentre la velocità è la tangente del "punto" che corre sulla sua traiettoria circolare, però non sono sicuro di queste due cose.
E cosa che non riesco a capire è il diagramma delle forze...
In pratica nel disegno che ho fatto, ho messo:
la forza centripeta, che punta verso il centro;
la forza di gravità che punta verso il basso;
la forza normale che punta verso il centro della scodella con una inclinazione di 45 gradi;
una forza x che devrebbe mantenere la traiettoria ad una certa altezza dal fondo della scodella;
Chi è questa forza x?
...e poi ho un'altro dubbio sulla reazione vincolare. Da quanto ho capito una reazione vincolare è una forza che blocca la traiettoria di un punto sull'asse x, o sull'asse y, o sull'asse z. E' giusto?
Grazie.
Risposte
Intanto il raggio della traiettoria $r$ è sbagliato dato che l'angolo è di 30° non 45°.
$r=R cos 30°$
Le forze che agiscono sul punto materiale poi sono solo 3 e considerando un sistema di riferimento solidale al punto stesso sono:
1) Reazione vincolare N della scodella normale alla superficie della scodella (no attrito anche se non è detto esplicitamente nel testo) e quindi diretta radialmente.
2) Forza centrifuga diretta in orizzontale.
3) Forza peso del punto materiale diretta in basso.
Queste 3 forze devono bilanciarsi affinché il punto materiale continui a muoversi su quella traiettoria.
Basta scrivere un sistema per le componenti orizzontali e verticali di tali forze e ottieni un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (velocità punto e reazione normale).
$r=R cos 30°$
Le forze che agiscono sul punto materiale poi sono solo 3 e considerando un sistema di riferimento solidale al punto stesso sono:
1) Reazione vincolare N della scodella normale alla superficie della scodella (no attrito anche se non è detto esplicitamente nel testo) e quindi diretta radialmente.
2) Forza centrifuga diretta in orizzontale.
3) Forza peso del punto materiale diretta in basso.
Queste 3 forze devono bilanciarsi affinché il punto materiale continui a muoversi su quella traiettoria.
Basta scrivere un sistema per le componenti orizzontali e verticali di tali forze e ottieni un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (velocità punto e reazione normale).
allora non lo ho risolto, però ti posso dare un input.
La normale è la forza che sarà ortogonale al piano di giacenza della tua scodella. Poichè la scodella ha forma sferica la normale non sarà parallela al piano, ma inclinata rispetto all orizzontale di un certo angolo (forse 45 gradi ma ci arrivi per considerazioni geometriche). A questo punto se guardi il disegno dal punto di vista della scodella vedi che c è la forza peso che va per il basso e la normale inclinata verso l alto. Se scomponi la normale, lungo le direzioni radiale e tangenziale del punto un cui si trova la pallina, la componente tangenziale andrà a bilanciare la forza peso e permetterà alla tua pallina di non cadere, la componente radiale invece sarà la tua forza centripeta se ti metti in un sistema inerziale il cui valore lo puoi calcolare tramite $F=m (Ac)$ dove $Ac$ sarebbe l accelerazione centripeta.. non so se ti è di aiuto ma mi è venuto in mente questo..
La normale è la forza che sarà ortogonale al piano di giacenza della tua scodella. Poichè la scodella ha forma sferica la normale non sarà parallela al piano, ma inclinata rispetto all orizzontale di un certo angolo (forse 45 gradi ma ci arrivi per considerazioni geometriche). A questo punto se guardi il disegno dal punto di vista della scodella vedi che c è la forza peso che va per il basso e la normale inclinata verso l alto. Se scomponi la normale, lungo le direzioni radiale e tangenziale del punto un cui si trova la pallina, la componente tangenziale andrà a bilanciare la forza peso e permetterà alla tua pallina di non cadere, la componente radiale invece sarà la tua forza centripeta se ti metti in un sistema inerziale il cui valore lo puoi calcolare tramite $F=m (Ac)$ dove $Ac$ sarebbe l accelerazione centripeta.. non so se ti è di aiuto ma mi è venuto in mente questo..
scusa faussone, ma la normale che deve essere ortogonale al piano, sicuro che va verso il centro se esso è sferico?
Sì: la forza che la scodella esercita sul punto materiale è normale alla superficie sferica della scodella quindi è diretta verso il centro della scodella, intendo il centro della sfera che costituisce la scodella.
ah ecco allora intendiamo la stessa cosa 
avevo frainteso e pensavo al centro della circonferenza orizzontale al piano
avevo frainteso e pensavo al centro della circonferenza orizzontale al piano
Allora: provo a fare un disegno perchè non ho capito, e grazie per l'interessamento
$f_b$
...\
....\
.....\
......P--$f_a$-->_C_____
......|
......|
......|
......$f_g$
C centro della traiettoria
Allora P è il punto che ruota attorno ad una circonferenza qui vista di lato, $f_g$ è la forza peso. Perciò (stavo per dire per forza
) deve esistere una forza centripeta perchè siamo in un moto circolare, e quindi per bilanciare $f_g$ ed $f_a$ deve esistere una forza $f_b$ simile a quella che ho disegnato.
quindi $f_a$ sarebbe la componete $x$ della forza normale? ed $f_b$ la forza centrifuga?
e ancora,
per l'intensità della reazione vincolante che agisce dalla scodella sul punto materiale si intende $f_b$?
$f_b$
...\
....\
.....\
......P--$f_a$-->_C_____
......|
......|
......|
......$f_g$
C centro della traiettoria
Allora P è il punto che ruota attorno ad una circonferenza qui vista di lato, $f_g$ è la forza peso. Perciò (stavo per dire per forza
) deve esistere una forza centripeta perchè siamo in un moto circolare, e quindi per bilanciare $f_g$ ed $f_a$ deve esistere una forza $f_b$ simile a quella che ho disegnato.quindi $f_a$ sarebbe la componete $x$ della forza normale? ed $f_b$ la forza centrifuga?
e ancora,
per l'intensità della reazione vincolante che agisce dalla scodella sul punto materiale si intende $f_b$?
allora provo a disergnarlo:
\ ^ questa specie di freccia è la $N$ (non dovrebbe essere così tanto inclinata), tu te la scomponi lungo le direzioni radiali e tangenziali
\ /
\/
|\
| \
|
v
questa è la $Fp$ che agisce verso il basso che viene totalmente bilanciata dalla normale
nota, quelle serie di \ rappresentano la sezione della scodella
l intensità della tua reazione vincolare è data dal teorema di pitagora sommando il quadrato della forza centripeta che sarebbe diciamo la tua $Nr$ e il modulo della forza peso perchè in direzione tangenziale $N$ è bilanciata da $Fp$.
Un consiglio, non complicare la notazione con 1000 lettere di forze e focalizza bene l attenzione sulle principali e poi te le scomponi lungo opportuni sistemi di riferimento
\ ^ questa specie di freccia è la $N$ (non dovrebbe essere così tanto inclinata), tu te la scomponi lungo le direzioni radiali e tangenziali
\ /
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v
questa è la $Fp$ che agisce verso il basso che viene totalmente bilanciata dalla normale
nota, quelle serie di \ rappresentano la sezione della scodella
l intensità della tua reazione vincolare è data dal teorema di pitagora sommando il quadrato della forza centripeta che sarebbe diciamo la tua $Nr$ e il modulo della forza peso perchè in direzione tangenziale $N$ è bilanciata da $Fp$.
Un consiglio, non complicare la notazione con 1000 lettere di forze e focalizza bene l attenzione sulle principali e poi te le scomponi lungo opportuni sistemi di riferimento
Ok, ma se io scompongo la forza normale (inclinata di 45° verso il centro o 30°?): la componente x diventa la Forza centripeta, e la componente y va a bilanciare parte della forza peso? quindi:
$Reaz. = sqrt{(f_p - f_ny)^2 + (f_nx)^2}$
$Reaz. = sqrt{(f_p - f_ny)^2 + (f_nx)^2}$
La scodella è al contrario!
Ecco qui uno schizzo delle 3 forze che ti dicevo che devono avere somma nulla....
Puoi scrivere un sistema per le componenti orizzontali e verticali e otterrai come incognite quello che cerchi.....
30° non 45°! Come puoi ricavarti geometricamente.
Ecco qui uno schizzo delle 3 forze che ti dicevo che devono avere somma nulla....
Puoi scrivere un sistema per le componenti orizzontali e verticali e otterrai come incognite quello che cerchi.....
30° non 45°! Come puoi ricavarti geometricamente.
Wee.. che tempismo... Ok allora provo a farlo e poi vi dico.
Mi inserisco nella discussione: se dovessi calcolare la reazione vincolare nel punto più basso...la forza FC..dove è rivolta....e come la esprimo???
Agisce la FC in questo caso? 
Bene..quindi nn c'è?..no perchè dall'esempio letto in precedenza vedevo che c'era la fc...quando io la fc nn l'ho mai considerata..xkè è qlcs di esterno al problema...
Se per FC intendi quella centrifuga....no nel caso in cui il punto è nella posizione piu in basso. In questo caso agiscono solo la forza peso e la rezione vincolare della scodella.
Al max il punto ruota su se stesso
Al max il punto ruota su se stesso
ok..se invece della scodello considero una palla...quindi quando è in basso ho solo quelle due..e se fosse nel punto più alto??invece quando è orizzontale?(come se fosse a zero in una circonferenza gonionmetrica!)
xkè io la forza centrifuga nn l'ho mai usata..e allora mi sa ke sbagliavo!..e se devo usarla come la esprimo??
xkè io la forza centrifuga nn l'ho mai usata..e allora mi sa ke sbagliavo!..e se devo usarla come la esprimo??
"Andro89":
ok..se invece della scodello considero una palla...quindi quando è in basso ho solo quelle due..e se fosse nel punto più alto??
Scusa ma nonostante il mio sforzo di comprensione non reisco proprio a capire a cosa ti riferisci....
"Andro89":
invece quando è orizzontale?(come se fosse a zero in una circonferenza gonionmetrica!)
Qua forsi intendi l'esempio di una "rotazione piana"?
Se è così in questo caso la forza centrifuga è massima
"Andro89":
..e se devo usarla come la esprimo??
$F_c=m(\omega xx (\omega xx r))$
con $xx$ ho denotato il prodotto vettoriale....nel caso di rotazione piana, la velocità angolare è ortogonale al raggio, dunque la $F_c$ assume valore massimo dato da $F_c=m\omega^2 r$
(il segno va poi aggiustato in base al tuo sistema di riferimento).
Come tu saprai però è una forza di inerzia che prende corpo solamente se il tuo sistema di riferimento non è inerziale (per capirci se stai sul corpo).
Allora, provo a dare la mia soluzione, visto che dopo dovrò fare l'esame di fisica:
$Fn_x = v^2/R*M$
$Fn_x = cos30°*Fn$
$Fn_y = cos60°*Fn
$Fn_y = -Fp$
e quindi se queste equazioni sono giuste (
), il grosso del problema è risolto così:
$v^2 = (Fn_y*r*cos30°)/(cos60°*M)$
"Faussone":
$Fn_x = v^2/R*M$
$Fn_x = cos30°*Fn$
$Fn_y = cos60°*Fn
$Fn_y = -Fp$
e quindi se queste equazioni sono giuste (
), il grosso del problema è risolto così:$v^2 = (Fn_y*r*cos30°)/(cos60°*M)$
Non ho capito bene se hai hai considerato che nell'espressione della forza centrifuga il raggio è uguale alla distanza dall'asse di rotazione: quindi $R=R_s cos30°$ con $R_s$ raggio della sfera.
Il raggio della traiettoria è $r*cos30$, l'ho scritto così al numeratore.
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