Meccanica Classica Moti in un sistema rotante
Riporto fedelmente il testo tratto da un libro di Meccanica Classica di cui non ho ben capito la risoluzione dell equazione differenziale $(1.1)$
"Come applicazione delle equazioni della dinamica relativa studiamo il moto di un punto soggetto ad un campo di forza costante
$\vec{F}$ in un riferimento che ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$. Scelto $z=z'$ nella direzione di $\vec{\omega}$, le equazioni del moto nel sistema rotante sono
$\{(mddot x'=2m\omegadot y'+m\omega^2dot x'+F_x),(mddot y'=-2m\omegadot x'+m\omega^2dot y'+F_y):}$
Il moto nel piano $x'$,$y'$ e nel piano $x$,$y$ del sistema fisso si descrive più facilmente introducendo le coordinate complesse $w=x+iy$ e $w'=x'+iy'$. Infatti la rotazione del riferimento $x'$,$y'$ di angolo $\omegat>0$ nel verso antiorario rispetto al riferimento $x$,$y$ espressa in coordinate reali da una matrice ortogonale diventa la moltiplicazione per un fattore di fase $e^(-i\omegat)$ in coordinate complesse
$((x'),(y'))=((cos\omegat,sin\omegat),(-sin\omegat,cos\omegat)).((x),(y))\leftrightarrow w'=e^(-i\omegat)w$
Le equazioni del moto in coordinate complesse sono :
$(1.1)$ $ddot w'+2i\omegadotw'-\omega^2w'=f$
dove $f=(F_x+iF_y)/(m)$
Il polinomio caratteristico della equazione omogenea associata ha uno zero doppio $-i\omega$ e la soluzione è quindi
$w'=(c_1+c_2t)e^(-i\omegat)$
ed imponendo le condizioni iniziali diventa:
$(1.2)$ $w'(t)=(w'(0)+[dotw'(0)+i\omegaw'(0)]t)e^(-i\omegat)+(f)/(\omega^2)e^(-i\omegat)(1+i\omegat-e^(i\omegat))$ "
Dai calcoli svolti per la risoluzione della $(1.1)$ mi ritrovo pienamente in accordo con la soluzione dell equazione omogenea con tanto di valori iniziali ,ovvero mi ritrovo $w'(t)=(w'(0)+[dotw'(0)+i\omegaw'(0)]t)e^(-i\omegat)$.
Il mio problema invece si manifesta quando devo trattare la soluzione particolare della (1.1), dove i miei risultati sono $-(f)/(\omega^2)$
Riscritta interamente ho come risultato della $(1.1)$ la seguente:
$w'(t)=(w'(0)+[dotw'(0)+i\omegaw'(0)]t)e^(-i\omegat)-(f)/(\omega^2)$
che si discosta dalla $(1.2)$ per il meno e per questo fattore $e^(-i\omegat)(1+i\omegat-e^(i\omegat))$ a cui non so dare spiegazioni!!!!!
Qualche anima pia saprebbe darmi una spiegazione ???? Grazie di cuore
"Come applicazione delle equazioni della dinamica relativa studiamo il moto di un punto soggetto ad un campo di forza costante
$\vec{F}$ in un riferimento che ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$. Scelto $z=z'$ nella direzione di $\vec{\omega}$, le equazioni del moto nel sistema rotante sono
$\{(mddot x'=2m\omegadot y'+m\omega^2dot x'+F_x),(mddot y'=-2m\omegadot x'+m\omega^2dot y'+F_y):}$
Il moto nel piano $x'$,$y'$ e nel piano $x$,$y$ del sistema fisso si descrive più facilmente introducendo le coordinate complesse $w=x+iy$ e $w'=x'+iy'$. Infatti la rotazione del riferimento $x'$,$y'$ di angolo $\omegat>0$ nel verso antiorario rispetto al riferimento $x$,$y$ espressa in coordinate reali da una matrice ortogonale diventa la moltiplicazione per un fattore di fase $e^(-i\omegat)$ in coordinate complesse
$((x'),(y'))=((cos\omegat,sin\omegat),(-sin\omegat,cos\omegat)).((x),(y))\leftrightarrow w'=e^(-i\omegat)w$
Le equazioni del moto in coordinate complesse sono :
$(1.1)$ $ddot w'+2i\omegadotw'-\omega^2w'=f$
dove $f=(F_x+iF_y)/(m)$
Il polinomio caratteristico della equazione omogenea associata ha uno zero doppio $-i\omega$ e la soluzione è quindi
$w'=(c_1+c_2t)e^(-i\omegat)$
ed imponendo le condizioni iniziali diventa:
$(1.2)$ $w'(t)=(w'(0)+[dotw'(0)+i\omegaw'(0)]t)e^(-i\omegat)+(f)/(\omega^2)e^(-i\omegat)(1+i\omegat-e^(i\omegat))$ "
Dai calcoli svolti per la risoluzione della $(1.1)$ mi ritrovo pienamente in accordo con la soluzione dell equazione omogenea con tanto di valori iniziali ,ovvero mi ritrovo $w'(t)=(w'(0)+[dotw'(0)+i\omegaw'(0)]t)e^(-i\omegat)$.
Il mio problema invece si manifesta quando devo trattare la soluzione particolare della (1.1), dove i miei risultati sono $-(f)/(\omega^2)$
Riscritta interamente ho come risultato della $(1.1)$ la seguente:
$w'(t)=(w'(0)+[dotw'(0)+i\omegaw'(0)]t)e^(-i\omegat)-(f)/(\omega^2)$
che si discosta dalla $(1.2)$ per il meno e per questo fattore $e^(-i\omegat)(1+i\omegat-e^(i\omegat))$ a cui non so dare spiegazioni!!!!!
Qualche anima pia saprebbe darmi una spiegazione ???? Grazie di cuore
Risposte
Risolto il dilemma......nel calcolo della soluzione particolare non avevo tenuto conto degli estremi di integrazione dovute alle condizioni iniziali!!!
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