Matrice d'inerzia quadrato rispetto ad assi baricentrici ruotati di un angolo alfa

[Peppe211]

Ciao a tutti, vi espongo un problema in cui sono incappato.
Devo calcolare la matrice d'inerzia di una figura piana composta da un'asta inclinata di un angolo alfa rispetto agli assi cartesiani x,y e da un quadrato avente due lati paralleli e due ortogonali all'asta. Il centro del quadrato è posto all'origine del sistema di riferimento o(x,y) così come un estremo dell'asta.
Per il calcolo del momento d'inerzia dell'asta basta calcolare l'integrale di linea lungo la direzione inclinata di alfa. Per il quadrato invece? io ho pensato, dato che per le simmetrie materiali, per un quadrato, qualunque terna con origine nel centro del quadrato è principale d'inerzia in teoria comunque ruoto il sistema di riferimento i momenti d'inerzia(principali quindi) rimangono uguali (tipo il caso del cerchio per intenderci), è giusto? volendo si potrebbe verificare questa osservazione geometrica utilizzando la matrice di rotazione? in che modo?
grazie!

[Cuspide83]

Il momento di inerzia rispetto a quale asse lo devi calcolare?

[Peppe211]

Devo calcolarmi l'intera matrice d'inerzia, quindi momento d'inerzia rispetto all'asse x, all'asse y,all'asse z, e gli eventuali momenti deviatorici(che in questo caso dovrebbero essere =0 essendo gli assi principali d'inerzia)

[Sk_Anonymous]

Peppe, vai tranquillo! Gli assi $x,y$ sono nel piano del quadrato, con origine nel centro G dello stesso? I momenti centrali di inerzia di un quadrato sono tutti uguali, qualunque sia l'asse baricentrico complanare che consideri!
L'ellisse centrale di inerzia del quadrato è infatti...una circonferenza. Ma non te lo dimostro.
Poi rispetto all'asse $z$ perpendicolare al foglio in G, vedi un po' tu...
L'area è una distribuzione piana di....masse (aree!)

[Peppe211]

Perfetto!come immaginavo! grazie! Visto che non riesco mai ad accontentarmi e voglio riscontro dai numeri, ho anche dimostrato la cosa partendo dalla matrice di rotazione: ho ricavato mediante la matrice di rotazione le coordinate x e y nel nuovo sistema di riferimento, ho fatto poi gli integrali per ricavare i vari momenti d'inerzia ottenendo delle formule generali, sostituendoci i dati del quadrato sono arrivato alla stessa conclusione: qualunque sia la posizione degli assi baricentrici i momenti d'inerzia restano invariati!
Purtroppo il professore durante il corso non ci ha mai parlato dell'ellisse centrale d'inerzia!approfondirò!