Matrice di inerzia
Ciao a tutti,
ho un dubbio relativamente ad un esercizio (vedi screenshot sotto). In particolare rispetto alla seconda parte: "calcolo del momento di inerzia rispetto al baricentro G ed a un sistema di assi paralleli al precedente" (di cui riporto la soluzione nella parte sottostante l'immagine.
Nella soluzione del problema si afferma che gli assi sono principali, ma sinceramente non ho capito da cosa deriva tale affermazione o da cosa lo deduca (credevo che si procedesse al contrario: se la matrice di inerzia è diagonale allora gli assi sono principali di inerzia....), mi viene da pensare che in un sistema di riferimento baricentrale gli assi siano sempre principali di inerzia.
Forse collegata alla precedente è anche la seguente domanda: perchè nella soluzione (sempre del calcolo della matrice di inerzia rispetto a G in un sistema di assi parallelo al precedente, avente origine in G aggiungerei io) solo per i lati (2) e (4) si integra tra $-l/2$ e $+l/2$ ?
ho un dubbio relativamente ad un esercizio (vedi screenshot sotto). In particolare rispetto alla seconda parte: "calcolo del momento di inerzia rispetto al baricentro G ed a un sistema di assi paralleli al precedente" (di cui riporto la soluzione nella parte sottostante l'immagine.
Nella soluzione del problema si afferma che gli assi sono principali, ma sinceramente non ho capito da cosa deriva tale affermazione o da cosa lo deduca (credevo che si procedesse al contrario: se la matrice di inerzia è diagonale allora gli assi sono principali di inerzia....), mi viene da pensare che in un sistema di riferimento baricentrale gli assi siano sempre principali di inerzia.
Forse collegata alla precedente è anche la seguente domanda: perchè nella soluzione (sempre del calcolo della matrice di inerzia rispetto a G in un sistema di assi parallelo al precedente, avente origine in G aggiungerei io) solo per i lati (2) e (4) si integra tra $-l/2$ e $+l/2$ ?
Risposte
Un sistema di riferimento centrale non è sempre principale di inrezia, provare a risolvere ad esempio lo stesso esercizio con rotazione degli assi rispetto a quelli centrali dati di un angolo generico. Si verifica che i momenti centrifughi non sono sempre nulli.
Con la seconda domanda non ho ben capito cosa chiedi, forse ti domandi come mai non viene esplicitati gli integrali. La distanza dei punti dei lati dall'asse in questione è una costante, per questo l'integrale viene svolto direttamente.
Con la seconda domanda non ho ben capito cosa chiedi, forse ti domandi come mai non viene esplicitati gli integrali. La distanza dei punti dei lati dall'asse in questione è una costante, per questo l'integrale viene svolto direttamente.
Grazie mille.
Però non mi è ancora chiaro da cosa derivi l'affermazione che gli assi nel sistema G sono principali di inerzia (se non sbaglio il sistema di riferimento con origine in G ed assi paralleli ai precedenti non è altro che una traslazione del primo sistema di riferimento che porta O in G, o almeno così me lo sono immaginato); inistso su questo punto perchè è il punto di partenza: da questo calcola una matrice diagonale etc etc.
Per la seconda domanda
Il sistema di riferimento con origine in G è lo stesso rappresentato nell'immagine, solo che l'origine si trova nel centro de quadrato, per cui mi aspetto che nei calcoli dei momenti di inerzia rispetto agli assi, l'integrazione tra $-l/2$ e $+l/2$ si effettui anche per i momenti di inerzia rispetto all'asse y (qui non compare perchè essendo la matrice diagonale ho solo il calcolo rispetto a $I_x$.
PS=La seconda domanda deriva dal fatto che cercavo di calcolare esplicitamente tutta la matrice di inerzia per vedere se era diagonale in G.
Però non mi è ancora chiaro da cosa derivi l'affermazione che gli assi nel sistema G sono principali di inerzia (se non sbaglio il sistema di riferimento con origine in G ed assi paralleli ai precedenti non è altro che una traslazione del primo sistema di riferimento che porta O in G, o almeno così me lo sono immaginato); inistso su questo punto perchè è il punto di partenza: da questo calcola una matrice diagonale etc etc.
Per la seconda domanda
Il sistema di riferimento con origine in G è lo stesso rappresentato nell'immagine, solo che l'origine si trova nel centro de quadrato, per cui mi aspetto che nei calcoli dei momenti di inerzia rispetto agli assi, l'integrazione tra $-l/2$ e $+l/2$ si effettui anche per i momenti di inerzia rispetto all'asse y (qui non compare perchè essendo la matrice diagonale ho solo il calcolo rispetto a $I_x$.
PS=La seconda domanda deriva dal fatto che cercavo di calcolare esplicitamente tutta la matrice di inerzia per vedere se era diagonale in G.
Ciao nnsoxke,
ho risolto: nel problema in questione, il quadrato ha 2 piani di simmetria di massa che individuano 2 assi ortogonali che sono anche assi principali di inerzia, il terzo asse principale di inerzia è automaticamente individuato in quanto ortogonale ai due precedenti. Ovviamente il punto in cui si incontrano le 2 rette risultanti dall'intersezione dei piani citati, è il baricentro G (solo in questo caso, in generale il punto così individuato non è il baricentro).
Risolto anche per la seconda domanda: l'integrazione tra $-l/2$ e $+l/2$ è relativa al calcolo del momento di inerzia rispetto all'asse $x^{\prime}$, (ascissa del sistema di riferimento con centro in G e parallela all'asse $x$ rappresentata in figura). Questo momento di inerzia è il solo che compare nella matrice di inerzia; infatti la matrice è diagonale e, per simmetria della figura piana, $B=I_y = A=I_(x^{\prime})$ e $C=A+B=2I_(x^{\prime})$.
Ciao e grazie del commento,
Jerico
ho risolto: nel problema in questione, il quadrato ha 2 piani di simmetria di massa che individuano 2 assi ortogonali che sono anche assi principali di inerzia, il terzo asse principale di inerzia è automaticamente individuato in quanto ortogonale ai due precedenti. Ovviamente il punto in cui si incontrano le 2 rette risultanti dall'intersezione dei piani citati, è il baricentro G (solo in questo caso, in generale il punto così individuato non è il baricentro).
Risolto anche per la seconda domanda: l'integrazione tra $-l/2$ e $+l/2$ è relativa al calcolo del momento di inerzia rispetto all'asse $x^{\prime}$, (ascissa del sistema di riferimento con centro in G e parallela all'asse $x$ rappresentata in figura). Questo momento di inerzia è il solo che compare nella matrice di inerzia; infatti la matrice è diagonale e, per simmetria della figura piana, $B=I_y = A=I_(x^{\prime})$ e $C=A+B=2I_(x^{\prime})$.
Ciao e grazie del commento,
Jerico
"Jerico":
Grazie mille.
Però non mi è ancora chiaro da cosa derivi l'affermazione che gli assi nel sistema G sono principali di inerzia (se non sbaglio il sistema di riferimento con origine in G ed assi paralleli ai precedenti non è altro che una traslazione del primo sistema di riferimento che porta O in G, o almeno così me lo sono immaginato); inistso su questo punto perchè è il punto di partenza: da questo calcola una matrice diagonale etc etc.
Stai chiedendo la definizione di assi principali di inerzia...
Gli assi nel sistema con centro G sono centrali, non sono in generale principali di inerzia, di questi ne esistono tre, per ogni centro scelto per il sistema, tranne qualche caso particolare.
Si tratta di trovare quei vettori che individuano assi tali per cui la matrice di inerzia applicata a tali vettori restituisce dei vettori paralleli a questi.
Si ricavano quindi autovalori e autovettori corrispondenti della matrice di inerzia, ovvero si ricavano i momento principali e si individuano le direzioni principali.
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