Matrice cinetica dimostrare simmetria e positività
Salve a tutti nell'approcciarmi alla meccanica Lagrangiana ed in particolare nella proposizione dell'energia cinetica espressa in coordinate libere non riesco a capire la dimostrazione che assicura che la matrice cinetica all'interno dell'espressione sull'energia cinetica sia simmetrica e definita positiva.
In particolare posto $T = T_2 + T_1 +T_0$ e $T_2 = \sum_{h,k=1}^\n a_(h,k)(q,t) dot q_h dot q_k$
si ha $ a_(h,k) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k)$
se qualcuno fosse così gentile da spiegarmi bene i passaggi che conducono alla simmetria di $a_(h,k)$.
Infatti non riesco a capire perchè il prodotto tra le due matrici $(\partial P_i)/ (\partial q_h ) ,(\partial P_i) /( \partial q_k)$ sia simmetrico visto che singolarmente non lo sono.
Ovvero se la simmetria fosse indotta dalla matrice delle masse $m_i$ allora ciò è possibile se e solo se $m_i$ è diagonale, ma ciò non è contemplato nelle ipotesi.
Grazie in anticipo
Emanuele
In particolare posto $T = T_2 + T_1 +T_0$ e $T_2 = \sum_{h,k=1}^\n a_(h,k)(q,t) dot q_h dot q_k$
si ha $ a_(h,k) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k)$
se qualcuno fosse così gentile da spiegarmi bene i passaggi che conducono alla simmetria di $a_(h,k)$.
Infatti non riesco a capire perchè il prodotto tra le due matrici $(\partial P_i)/ (\partial q_h ) ,(\partial P_i) /( \partial q_k)$ sia simmetrico visto che singolarmente non lo sono.
Ovvero se la simmetria fosse indotta dalla matrice delle masse $m_i$ allora ciò è possibile se e solo se $m_i$ è diagonale, ma ciò non è contemplato nelle ipotesi.
Grazie in anticipo
Emanuele
Risposte
La simmetria c'è l'hai se $a_{h,k} = a_{k,h}$ e nel tuo caso è verificata perchè
$a_(h,k) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k)$ mentre
$a_(k,h) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_k ) (\partial P_i) /( \partial q_h) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k) = a_{h,k}$
Quindi la matrice è simmetrica.
Che sia definita positiva, a naso credo sia dovuto al fatto che l'energia cinetica è positiva per definizione.
$a_(h,k) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k)$ mentre
$a_(k,h) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_k ) (\partial P_i) /( \partial q_h) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k) = a_{h,k}$
Quindi la matrice è simmetrica.
Che sia definita positiva, a naso credo sia dovuto al fatto che l'energia cinetica è positiva per definizione.
"lukkio":
La simmetria c'è l'hai se $a_{h,k} = a_{k,h}$ e nel tuo caso è verificata perchè
$a_(h,k) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k)$ mentre
$a_(k,h) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_k ) (\partial P_i) /( \partial q_h) = \sum_{i =1}^\N m_i (\partial P_i)/ (\partial q_h ) (\partial P_i) /( \partial q_k) = a_{h,k}$
Quindi la matrice è simmetrica.
Che sia definita positiva, a naso credo sia dovuto al fatto che l'energia cinetica è positiva per definizione.
Intanto grazie della risposta.
Desumo dal tuo ragionamento che commettevo un errore logico nel cercare la simmetria all'interno della matrice $a_(h,k)$ rispetto alla diagonale e non nel fatto che come, appunto, sottolinei essa esiste se $a_(h,k) = a_(k,h)$. Ciò è vero in quanto è simmetrico il prodotto scalare $m_i$
Se è così mi sono perso in un bicchier d'acqua.
Grazie cmq.
Scusate se riesumo un posto così vecchio, ma non riesco a capire perché quella forma quadratica sia definita positiva.
Perché da quello che mi è stato spiegato a lezione ho capito che si deve mostrare che sia definita positiva per poter dire che l'energia cinetica è 0 solo se le derivate delle coordinate libere sono tutte 0. Magari però mi sono confuso ed è il contrario, sapete darmi qualche spiegazione?
Perché da quello che mi è stato spiegato a lezione ho capito che si deve mostrare che sia definita positiva per poter dire che l'energia cinetica è 0 solo se le derivate delle coordinate libere sono tutte 0. Magari però mi sono confuso ed è il contrario, sapete darmi qualche spiegazione?
Non c'è nessuno che mi possa rispondere? mi servirebbe proprio capire questa cosa perché è materia di un esame che devo dare a breve...
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