Matita che cade
Ciao ragazzi. Ho questo problema che ho diciamo "inventato" io.
Ho una matita disposta come in figura, inclinata di un angolo $\alpha$ rispetto alla verticale. Appena viene lasciata la matita ovviamente cade (per semplicità ho considerato che la punta rimanga attaccata al suolo, quindi è come se fosse incernierata). Il problema consiste nel determinare dopo quanto tempo la matita tocca terra.
Ora, ci sono parecchie cose sulle quali sono in dubbio. A mio parere il tempo non dipende nè dalla massa, nè tantomeno dalla lunghezza della matita, confermate? Il problema è che nel risultato essa compare
Io ho pensato così:
Il momento angolare non si conserva, quindi quella strada non posso percorrerla.
Ho provato quindi ad usare la relazione $M=vartheta*I$, con $vartheta $ l'accelerazione angolare, $I$ il momento di inerzia e $M$ la risultante dei momenti che agisce sul centro di massa. Quindi $vartheta =M/I=(l/2*m*g*sin\alpha)/(1/3ml^2)=(3g)/(2l)*sin\alpha$ Ho quindi che l'accelerazione angolare $vartheta $ in funzione di $sin\alpha$. Usando la relazione$ Delta varphi =1/2vartheta Delta t^2 $ con $Delta varphi$ lo spostamento angolare e di conseguenza $Delta varphi=90-\alpha$, da cui ricavo $Delta t=sqrt((4l(90-\alpha))/(3gsin \alpha))$
Non so, questo risultato non mi convince proprio per niente, per me ho fatto qualche errore. Mi potreste aiutare? Grazie mille
Ho una matita disposta come in figura, inclinata di un angolo $\alpha$ rispetto alla verticale. Appena viene lasciata la matita ovviamente cade (per semplicità ho considerato che la punta rimanga attaccata al suolo, quindi è come se fosse incernierata). Il problema consiste nel determinare dopo quanto tempo la matita tocca terra.
Ora, ci sono parecchie cose sulle quali sono in dubbio. A mio parere il tempo non dipende nè dalla massa, nè tantomeno dalla lunghezza della matita, confermate? Il problema è che nel risultato essa compare
Io ho pensato così:
Il momento angolare non si conserva, quindi quella strada non posso percorrerla.
Ho provato quindi ad usare la relazione $M=vartheta*I$, con $vartheta $ l'accelerazione angolare, $I$ il momento di inerzia e $M$ la risultante dei momenti che agisce sul centro di massa. Quindi $vartheta =M/I=(l/2*m*g*sin\alpha)/(1/3ml^2)=(3g)/(2l)*sin\alpha$ Ho quindi che l'accelerazione angolare $vartheta $ in funzione di $sin\alpha$. Usando la relazione$ Delta varphi =1/2vartheta Delta t^2 $ con $Delta varphi$ lo spostamento angolare e di conseguenza $Delta varphi=90-\alpha$, da cui ricavo $Delta t=sqrt((4l(90-\alpha))/(3gsin \alpha))$
Non so, questo risultato non mi convince proprio per niente, per me ho fatto qualche errore. Mi potreste aiutare? Grazie mille
Risposte
Un'asta , di massa $m$ e lunghezza $L$ , è incernierata a terra ad un estremo , e inizialmente forma l'angolo $alpha$ col suolo (quindi il complementare di quello indicato da te) . Lasciata libera , l'asta cade a terra ruotando attorno alla cerniera, per ipotesi liscia.
Per trovare la velocità angolare finale , posseduta dall'asta quando sbatte a terra, basta applicare la conservazione dell'energia meccanica :
$1/2I omega^2 = mgL/2senalpha$
dove $I$ è il momento di inerzia dell'asta rispetto all'estremo incernierato . Continua tu .
Per trovare la velocità angolare finale , posseduta dall'asta quando sbatte a terra, basta applicare la conservazione dell'energia meccanica :
$1/2I omega^2 = mgL/2senalpha$
dove $I$ è il momento di inerzia dell'asta rispetto all'estremo incernierato . Continua tu .
Eh a dire il vero ci avevo già pensato, però poi non so come trovare il tempo. Forse posso usare $Delta omega=vartheta Delta t$? Non credo però, perché il moto non è uniformemente accelerato...
Comunque i passaggi che ho fatto io sono corretti o c'è qualche errore?
"LoreT314":
il moto non è uniformemente accelerato...
Perchè?
L'angolo è funzione del tempo : $ alpha = alpha(t)$ . Dal teorema dell'energia prima scritto , indicando con $alpha_0$ il valore iniziale dell'angolo tra matita e piano orizzontale , si ricava che la velocità angolare con cui l'asta arriva a terra vale:
$omega_(max) = sqrt(3/2g/Lsen\alpha_0) $ ...vedere nota[nota]Valore errato! Ho corretto in un successivo messaggio[/nota]
la velocità angolare iniziale è nulla . MA il moto rotatorio , come tu stesso dici , non è uniformemente accelerato , perchè l'accelerazione angolare non è costante , ma variabile con l'angolo . Si può vedere applicando il teorema del momento angolare , come hai pensato tu :
$ Iddot\alpha = mgL/2cos\alpha(t)$
e quindi : $ddotalpha = (d\omega)/(dt) = 3/2g/Lcosalpha(t) $
e siccome l'accelerazione angolare non è costante ma funzione del tempo , non puoi applicare la formula del moto circolare uniformemente accelerato , come hai scritto :
$omega_(max) = sqrt(3/2g/Lsen\alpha_0) $ ...vedere nota[nota]Valore errato! Ho corretto in un successivo messaggio[/nota]
la velocità angolare iniziale è nulla . MA il moto rotatorio , come tu stesso dici , non è uniformemente accelerato , perchè l'accelerazione angolare non è costante , ma variabile con l'angolo . Si può vedere applicando il teorema del momento angolare , come hai pensato tu :
$ Iddot\alpha = mgL/2cos\alpha(t)$
e quindi : $ddotalpha = (d\omega)/(dt) = 3/2g/Lcosalpha(t) $
e siccome l'accelerazione angolare non è costante ma funzione del tempo , non puoi applicare la formula del moto circolare uniformemente accelerato , come hai scritto :
"LoreT314":
...... Usando la relazione$ Delta varphi =1/2vartheta Delta t^2 $ con $ Delta varphi $ lo spostamento angolare e di conseguenza $ Delta varphi=90-\alpha $, da cui ricavo $ Delta t=sqrt((4l(90-\alpha))/(3gsin \alpha)) $
Non so, questo risultato non mi convince proprio per niente, per me ho fatto qualche errore. Mi potreste aiutare? Grazie mille
Allora mi sono un po' perso
All'inizio l'energia presente è puramente potenziale. Hai quindi calcolato l'energia potenziale gravitazionale del centro di massa, giusto?
All'impatto invece hai usato quella cinetica rotazionale.
Quindi un'asta più lunga cade più lentamente, è esatto?
Quindi mi perdo... Cos'è $ddot\alpha$? Ma poi come fai ad usare il momento angolare se non si conserva? Inoltre io sapevo che il momento angolare $L$ lo si calcolava come $L=omega I$
E anche una volta giunto qui non saprei comunque come ricavare il tempo...
"Shackle":
Per trovare la velocità angolare finale , posseduta dall'asta quando sbatte a terra, basta applicare la conservazione dell'energia meccanica
All'inizio l'energia presente è puramente potenziale. Hai quindi calcolato l'energia potenziale gravitazionale del centro di massa, giusto?
All'impatto invece hai usato quella cinetica rotazionale.
"Shackle":
velocità angolare con cui l'asta arriva a terra vale: $omega_(max) = sqrt(3/2g/Lsen\alpha_0)$
Quindi un'asta più lunga cade più lentamente, è esatto?
"Shackle":
Si può vedere applicando il teorema del momento angolare , come hai pensato tu :
$Iddot\alpha = mgL/2cos\alpha(t)$
Quindi mi perdo... Cos'è $ddot\alpha$? Ma poi come fai ad usare il momento angolare se non si conserva? Inoltre io sapevo che il momento angolare $L$ lo si calcolava come $L=omega I$
"Shackle":
$ddotalpha = (d\omega)/(dt) = 3/2g/Lcosalpha(t)$
E anche una volta giunto qui non saprei comunque come ricavare il tempo...
Risposta affermativa alle prime due domande . Però devo fare una correzione : la velocità angolare massima, quando l'asta arriva a terra , vale :
$omega_(max) = sqrt ( (3g)/Lsen\alpha_0) $
(mi ero dimenticato del fattore $1/2$ nell'espressione dell'energia cinetica $1/2 I\omega^2$ , per cui il $2$ a denominatore si semplifica, come puoi verificare tu stesso ) .
Per le altre domande che hai fatto :
Ho indicato con $alpha$ l'angolo che l'asta forma col piano orizzontale (forse sarebbe stato meglio assumere l'angolo come hai fatto tu nella figura , cioè rispetto alla verticale , ma cambia poco ...) . La velocità angolare , derivata di $alpha(t)$ rispetto al tempo $t$ , si indica con un punto sopra $alpha$ :
$omega = (d\alpha)/(dt) = dot\alpha$
l'accelerazione angolare si indica quindi con due punti sopra $alpha$ :
$(d\omega)/(dt) = (d^2\alpha)/(dt^2) = ddot\alpha$
questa notazione, se non erro, è dovuta a Newton: il punto indica la derivata rispetto al tempo.
La "equazione del momento angolare" che ho scritto, non è altro che la seconda equazione cardinale della dinamica per i corpi rigidi , nel caso in esame . Fa' attenzione , con $L$ ho indicato la lunghezza dell'asta , non il momento angolare.
L'equazione di cui stiamo parlando , e cioè : $ Iddot\alpha = mgL/2cos\alpha(t) $ , è nient'altro che l'equazione del moto rotatorio dell'asta . Da essa si ottiene:
$ddot\alpha = 3/2g/Lcos\alpha(t) $
Per integrare questa equazione , moltiplico primo e secondo membro per $dot\alpha $ , per cui si ha :
$dotalpha*ddotalpha = 3/2g/L*dotalpha*cos\alpha(t) $
ovvero : $1/2d/(dt)(dotalpha^2) = 3/2g/Ld/(dt) sen\alpha(t) $
e quindi : $dotalpha^2 = (3g)/L(senalpha_0 - senalpha(t)) $
estraendo la radice quadrata , si ottiene l'espressione della velocità angolare in ogni posizione dell'asta, individuata dall'angolo $alpha(t) $ :
$dotalpha = sqrt ((3g)/L(senalpha_0 - senalpha(t))) $
Come vedi, quando $alpha=0$ , e cioè l'asta è arrivata sul piano , si riottiene il valore calcolato con la conservazione dell'energia , prima detto . LA velocità angolare iniziale è nulla , ovviamente. Il radicando è positivo o nullo poiché $alpha_0>=alpha(t)$
Ma calcolare il tempo è problematico, comporta il calcolo di integrali ellittici , che non si possono esprimere con funzioni elementari , come capita nel calcolo della pulsazione del pendolo quando gli angoli non sono "piccoli" .
Ti faccio notare , per inciso, che la presenza del piano orizzontale dove l'asta si arresta non è essenziale . Qui si tratta , in sostanza, di un pendolo composto , cioè un'asta incernierata a un asse orizzontale , che parte da un certo angolo e ruota verso il basso . Arriverà in posizione orizzontale con velocità angolare ed accelerazione angolare già calcolate sopra . Poi prosegue l'oscillazione, e in assenza di resistenze al moto arriva allo stesso angolo di partenza ma dal lato opposto , e cosí via .
Ti faccio anche notare che , togliendo di mezzo il piano orizzontale e studiando le "piccole oscillazioni" del pendolo composto attorno alla posizione di equilibrio (verticale verso il basso) , si ottiene la pulsazione :
$omega = sqrt ( (mgd)/I) = sqrt (3/2g/L) $
che si ricava dall'equazione differenziale del moto , come spiegato qui , e anche qua , dove è stato assunto come variabile l'angolo rispetto alla verticale , come è più corretto .
$omega_(max) = sqrt ( (3g)/Lsen\alpha_0) $
(mi ero dimenticato del fattore $1/2$ nell'espressione dell'energia cinetica $1/2 I\omega^2$ , per cui il $2$ a denominatore si semplifica, come puoi verificare tu stesso ) .
Per le altre domande che hai fatto :
Quindi mi perdo... Cos'è $ddotalpha$ ?
Ho indicato con $alpha$ l'angolo che l'asta forma col piano orizzontale (forse sarebbe stato meglio assumere l'angolo come hai fatto tu nella figura , cioè rispetto alla verticale , ma cambia poco ...) . La velocità angolare , derivata di $alpha(t)$ rispetto al tempo $t$ , si indica con un punto sopra $alpha$ :
$omega = (d\alpha)/(dt) = dot\alpha$
l'accelerazione angolare si indica quindi con due punti sopra $alpha$ :
$(d\omega)/(dt) = (d^2\alpha)/(dt^2) = ddot\alpha$
questa notazione, se non erro, è dovuta a Newton: il punto indica la derivata rispetto al tempo.
Ma poi come fai ad usare il momento angolare se non si conserva? Inoltre io sapevo che il momento angolare L lo si calcolava come $L=ωI$
La "equazione del momento angolare" che ho scritto, non è altro che la seconda equazione cardinale della dinamica per i corpi rigidi , nel caso in esame . Fa' attenzione , con $L$ ho indicato la lunghezza dell'asta , non il momento angolare.
L'equazione di cui stiamo parlando , e cioè : $ Iddot\alpha = mgL/2cos\alpha(t) $ , è nient'altro che l'equazione del moto rotatorio dell'asta . Da essa si ottiene:
$ddot\alpha = 3/2g/Lcos\alpha(t) $
Per integrare questa equazione , moltiplico primo e secondo membro per $dot\alpha $ , per cui si ha :
$dotalpha*ddotalpha = 3/2g/L*dotalpha*cos\alpha(t) $
ovvero : $1/2d/(dt)(dotalpha^2) = 3/2g/Ld/(dt) sen\alpha(t) $
e quindi : $dotalpha^2 = (3g)/L(senalpha_0 - senalpha(t)) $
estraendo la radice quadrata , si ottiene l'espressione della velocità angolare in ogni posizione dell'asta, individuata dall'angolo $alpha(t) $ :
$dotalpha = sqrt ((3g)/L(senalpha_0 - senalpha(t))) $
Come vedi, quando $alpha=0$ , e cioè l'asta è arrivata sul piano , si riottiene il valore calcolato con la conservazione dell'energia , prima detto . LA velocità angolare iniziale è nulla , ovviamente. Il radicando è positivo o nullo poiché $alpha_0>=alpha(t)$
Ma calcolare il tempo è problematico, comporta il calcolo di integrali ellittici , che non si possono esprimere con funzioni elementari , come capita nel calcolo della pulsazione del pendolo quando gli angoli non sono "piccoli" .
Ti faccio notare , per inciso, che la presenza del piano orizzontale dove l'asta si arresta non è essenziale . Qui si tratta , in sostanza, di un pendolo composto , cioè un'asta incernierata a un asse orizzontale , che parte da un certo angolo e ruota verso il basso . Arriverà in posizione orizzontale con velocità angolare ed accelerazione angolare già calcolate sopra . Poi prosegue l'oscillazione, e in assenza di resistenze al moto arriva allo stesso angolo di partenza ma dal lato opposto , e cosí via .
Ti faccio anche notare che , togliendo di mezzo il piano orizzontale e studiando le "piccole oscillazioni" del pendolo composto attorno alla posizione di equilibrio (verticale verso il basso) , si ottiene la pulsazione :
$omega = sqrt ( (mgd)/I) = sqrt (3/2g/L) $
che si ricava dall'equazione differenziale del moto , come spiegato qui , e anche qua , dove è stato assunto come variabile l'angolo rispetto alla verticale , come è più corretto .
"Shackle":
$ddot\alpha = 3/2g/Lcos\alpha(t)$
Questa è un'equazione differenziale?
Perché io faccio quarta liceo e, nonostante mi sappia più o meno districare nell'analisi, equazioni differenziali così (che immagino si affrontino in corsi universitari) non le saprei risolvere. Però va be prenderò per vera la tua risoluzione
Comunque grazie mille, gli integrali ellittici non ho idea di cosa siano quindi mi sa che lascerò stare
Si , quella è un' equazione differenziale . Ti accenno brevemente alla storia dell'integrale ellittico . Siccome :
$omega = (dalpha)/(dt) \rightarrow dt = (dalpha)/omega $
si deve mettere , al posto di $omega $ , quella espressione prima calcolata , dove compare $senalpha$ sotto radice. Per calcolare il tempo $T$ di caduta , si deve scrivere :
$\int_0^T dt =T = \int_(alpha_0)^0 (dalpha)/omega $
L'integrale al secondo membro è un integrale ellittico , che non si sa calcolare con funzioni elementari, ma si può esprimere con uno sviluppo in serie , come spiegato in questa pagina , presa dal libro "Meccanica" di Landau-Lifsitz:
quella quantità $K(k)$ è l'integrale ellittico di prima specie . È roba difficile anche all'università .
Comunque, il calcolo nel tuo caso si può fare con approssimazione , si tratta di sviluppare in serie di potenze la funzione integranda :
$1/(omega) = [3g/L(sen\alpha_0 - sen\alpha)]^(-1/2) $
e poi integrare termine a termine . Ma non mi ci metto!
Buon proseguimento degli studi !
$omega = (dalpha)/(dt) \rightarrow dt = (dalpha)/omega $
si deve mettere , al posto di $omega $ , quella espressione prima calcolata , dove compare $senalpha$ sotto radice. Per calcolare il tempo $T$ di caduta , si deve scrivere :
$\int_0^T dt =T = \int_(alpha_0)^0 (dalpha)/omega $
L'integrale al secondo membro è un integrale ellittico , che non si sa calcolare con funzioni elementari, ma si può esprimere con uno sviluppo in serie , come spiegato in questa pagina , presa dal libro "Meccanica" di Landau-Lifsitz:
quella quantità $K(k)$ è l'integrale ellittico di prima specie . È roba difficile anche all'università .
Comunque, il calcolo nel tuo caso si può fare con approssimazione , si tratta di sviluppare in serie di potenze la funzione integranda :
$1/(omega) = [3g/L(sen\alpha_0 - sen\alpha)]^(-1/2) $
e poi integrare termine a termine . Ma non mi ci metto!
Buon proseguimento degli studi !
Per calcolare il tempo di caduta dell'asta, con approssimazione, si può procedere anche nella maniera seguente . Il valore iniziale dell'angolo tra asta e piano $alpha_0$ è assegnato , nella figura allegata ho preso , per ipotesi : $ alpha_0 = 60º$ , solo per fare il disegno.
Prendo ora un certo $\Delta\alpha$ piccolo, e divido l'intero settore in tanti angoli di ampiezza uguale a $\Delta\alpha$ .
In ciascun settore , a cominciare dal primo , si può assumere che la velocità angolare sia costante , pari al valore medio nel settore, e questa approssimazione è tanto più buona quanto più piccolo è il $Deltaalpha$ assunto .
Come calcolare la velocità angolare media, in ciascun settore ? In figura ho rappresentato solo il primo settore, e ho preso l'angolo $Deltaalpha $ grosso , solo per spiegare il procedimento. Si ha : $OG_0=OG_1 = L/2$ , cioè metà asta . Con un po' di trigonometria ( v. fig.) , considerando $G_0HG_1$ come un triangolo rettangolo, si ricava che , nella rotazione $Deltaalpha$ dell'asta , il baricentro si abbassa di $G_0H = L/2cosalpha_0*Delta alpha$ . Quindi , applicando la conservazione dell'energia , e chiamando $omega_1$ la velocità angolare quando il baricentro è in $G_1$ , si ha :
$omega_1 = sqrt((3g)/Lcosalpha_0*Deltaalpha) $
la velocità angolare media nel primo settore si può calcolare come valor medio di $omega_0$ e $omega_1$ , e naturalmente ora $omega_0 = 0 $ , quindi :
$omega_(m1) = 1/2 omega_1 = 1/2sqrt((3g)/Lcosalpha_0*Deltaalpha) $
Assumendo costante questa velocità media nel primo settore , si ha : $Deltaalpha = omega_(m1) * Delta t_1 $ , da cui si ricava il tempo medio, approssimato, $Deltat_1$ .
Ora il prosieguo dovrebbe essere chiaro : partendo dall'angolo iniziale $alpha_1 = alpha_0 -Deltaalpha$ , si calcola la velocità angolare in $G_2$ , cioè dopo un'ulteriore rotazione di $Deltaalpha$ . La velocità media nel settore 2 sarà :
$omega_(m2) = 1/2(omega_(m1) + omega_(m2) )$
e quindi si troverà il valore di $Delta t_2$ . E cosi via , fino ad arrivare ad $alpha =0$ .
LA somma di tutti i $Deltat $ è il valore approssimato del tempo di caduta . Questa è la figura :
Da notare che questo procedimento è come quello che sta alla base della definizione di integrale definito di una funzione reale di variabile reale in un certo intervallo, dove però vanno fatte ulteriori precisazioni .
Penso anche che si potrebbe fare un piccola procedura con Excel , per eseguire i calcoli con valori diversi dell'angolo e del $Deltaalpha$, onde rendere automatico il tutto.
Prendo ora un certo $\Delta\alpha$ piccolo, e divido l'intero settore in tanti angoli di ampiezza uguale a $\Delta\alpha$ .
In ciascun settore , a cominciare dal primo , si può assumere che la velocità angolare sia costante , pari al valore medio nel settore, e questa approssimazione è tanto più buona quanto più piccolo è il $Deltaalpha$ assunto .
Come calcolare la velocità angolare media, in ciascun settore ? In figura ho rappresentato solo il primo settore, e ho preso l'angolo $Deltaalpha $ grosso , solo per spiegare il procedimento. Si ha : $OG_0=OG_1 = L/2$ , cioè metà asta . Con un po' di trigonometria ( v. fig.) , considerando $G_0HG_1$ come un triangolo rettangolo, si ricava che , nella rotazione $Deltaalpha$ dell'asta , il baricentro si abbassa di $G_0H = L/2cosalpha_0*Delta alpha$ . Quindi , applicando la conservazione dell'energia , e chiamando $omega_1$ la velocità angolare quando il baricentro è in $G_1$ , si ha :
$omega_1 = sqrt((3g)/Lcosalpha_0*Deltaalpha) $
la velocità angolare media nel primo settore si può calcolare come valor medio di $omega_0$ e $omega_1$ , e naturalmente ora $omega_0 = 0 $ , quindi :
$omega_(m1) = 1/2 omega_1 = 1/2sqrt((3g)/Lcosalpha_0*Deltaalpha) $
Assumendo costante questa velocità media nel primo settore , si ha : $Deltaalpha = omega_(m1) * Delta t_1 $ , da cui si ricava il tempo medio, approssimato, $Deltat_1$ .
Ora il prosieguo dovrebbe essere chiaro : partendo dall'angolo iniziale $alpha_1 = alpha_0 -Deltaalpha$ , si calcola la velocità angolare in $G_2$ , cioè dopo un'ulteriore rotazione di $Deltaalpha$ . La velocità media nel settore 2 sarà :
$omega_(m2) = 1/2(omega_(m1) + omega_(m2) )$
e quindi si troverà il valore di $Delta t_2$ . E cosi via , fino ad arrivare ad $alpha =0$ .
LA somma di tutti i $Deltat $ è il valore approssimato del tempo di caduta . Questa è la figura :
Da notare che questo procedimento è come quello che sta alla base della definizione di integrale definito di una funzione reale di variabile reale in un certo intervallo, dove però vanno fatte ulteriori precisazioni .
Penso anche che si potrebbe fare un piccola procedura con Excel , per eseguire i calcoli con valori diversi dell'angolo e del $Deltaalpha$, onde rendere automatico il tutto.
Grazie mille ancora una volta. Comunque ormai sono infissa, è più una sfida e vorrei risolvere (e magari più o meno anche capire ciò che faccio ) quel malefico integrale ellittico. http://www.robertobigoni.it/Matematica/ ... ttici.html
Ho trovato questo link che un po' spiega, il problema è che li (mi riferisco al punto tre) c'è un'integranda diversa dalla nostra. Li dice di fare un sviluppo in serie binomiale che però mi sembrano cose troppo oltre le mie conoscenze. Riusciresti a darmi un aiutino o a girarmi qualche link che me lo spiega in modo per me comprensibile?
) quel malefico integrale ellittico. http://www.robertobigoni.it/Matematica/ ... ttici.htmlHo trovato questo link che un po' spiega, il problema è che li (mi riferisco al punto tre) c'è un'integranda diversa dalla nostra. Li dice di fare un sviluppo in serie binomiale che però mi sembrano cose troppo oltre le mie conoscenze. Riusciresti a darmi un aiutino o a girarmi qualche link che me lo spiega in modo per me comprensibile?
Purtroppo non posso aiutarti molto, sugli integrali ellittici . Quello che è scritto nella dispensa che hai linkato è anche troppo , ma non credo che esistano delle trattazioni semplici . Ciò che trovo io sul web lo puoi trovare anche tu .
Per esempio, questa è una breve dispensa , ma mi sembra abbastanza chiara.
LA funzione integranda nostra si può trasformare , con delle identità trigonometriche, per ottenere un integrale ellittico di prima specie . Sarebbe opportuno , però , riscrivere l'equazione del moto (2º eq. cardinale della dinamica) assumendo l'angolo rispetto alla verticale come variabile , e non quello rispetto al piano orizzontale . Puoi farlo da sola , non è difficile.
In quanto all'integrale ellittico, ti ripeto che non è calcolabile in forma chiusa , occorre sviluppare in serie la funzione integranda.
Ma per ora, visto che frequenti il 4º anno di liceo, e non conosci gli sviluppi in serie ( suppongo!) , ti suggerirei di accontentarti della soluzione approssimata che ti ho scritto nel precedente messaggio .
Se poi ti incuriosiscono gli sviluppi in serie , sappi che molte delle funzioni elementari come seno, coseno , tangente, logaritmo ecc. ecc. vengono valutate mediante questi sviluppi , come ad es. si vede in questa dispensa , anche nella calcolatrice elettronica che usi tu . Avrai modo di studiare questi argomenti nei corsi universitari .
Per esempio, questa è una breve dispensa , ma mi sembra abbastanza chiara.
LA funzione integranda nostra si può trasformare , con delle identità trigonometriche, per ottenere un integrale ellittico di prima specie . Sarebbe opportuno , però , riscrivere l'equazione del moto (2º eq. cardinale della dinamica) assumendo l'angolo rispetto alla verticale come variabile , e non quello rispetto al piano orizzontale . Puoi farlo da sola , non è difficile.
In quanto all'integrale ellittico, ti ripeto che non è calcolabile in forma chiusa , occorre sviluppare in serie la funzione integranda.
Ma per ora, visto che frequenti il 4º anno di liceo, e non conosci gli sviluppi in serie ( suppongo!) , ti suggerirei di accontentarti della soluzione approssimata che ti ho scritto nel precedente messaggio .
Se poi ti incuriosiscono gli sviluppi in serie , sappi che molte delle funzioni elementari come seno, coseno , tangente, logaritmo ecc. ecc. vengono valutate mediante questi sviluppi , come ad es. si vede in questa dispensa , anche nella calcolatrice elettronica che usi tu . Avrai modo di studiare questi argomenti nei corsi universitari .
Ok grazie la dispensa mi è utile. Oggi provo a trasformare la nostra $omega$ e ti faccio sapere che riesco a fare.
Si comunque Taylor lo conosco abbastanza, so fare anche qualcosina con Fourier ma poco poco.
Si comunque Taylor lo conosco abbastanza, so fare anche qualcosina con Fourier ma poco poco.
Devo dire che non capisco tanto il senso di questo impuntarsi sugli integrali ellittici.
Non possono essere risolti in forma chiusa, va bene. Si deve ricorrere ad uno sviluppo in serie, bene. E allora? Mi pare che sia una cosa che succede normalmente anche a livelli ben più semplici: tutte le volte che ci troviamo davanti a un $sin x$ o a $sqrt x$ o $log x$, non è la stessa cosa? Solo perchè queste si usa chiamarle funzioni "elementari"? Sappiamo che in un mucchio di situazioni ci si deve accontentare di una soluzione numerica, approssimata. Mi pare che si deve distinguere, in un problema, la parte fisica da quella matematica. La prima è finita quando si è scritto l'integrale, o l'equazione differenziale, o quel che è. Dopo comincia la parte matematica. Probabilmente dipende dagli interessi particolari di ciascuno.
Il problema in questione, poi, come è già stato fatto notare, è identico al caso di un pendolo che compie oscillazioni non "piccole", ed è stato trattato di recente qui
Non possono essere risolti in forma chiusa, va bene. Si deve ricorrere ad uno sviluppo in serie, bene. E allora? Mi pare che sia una cosa che succede normalmente anche a livelli ben più semplici: tutte le volte che ci troviamo davanti a un $sin x$ o a $sqrt x$ o $log x$, non è la stessa cosa? Solo perchè queste si usa chiamarle funzioni "elementari"? Sappiamo che in un mucchio di situazioni ci si deve accontentare di una soluzione numerica, approssimata. Mi pare che si deve distinguere, in un problema, la parte fisica da quella matematica. La prima è finita quando si è scritto l'integrale, o l'equazione differenziale, o quel che è. Dopo comincia la parte matematica. Probabilmente dipende dagli interessi particolari di ciascuno.
Il problema in questione, poi, come è già stato fatto notare, è identico al caso di un pendolo che compie oscillazioni non "piccole", ed è stato trattato di recente qui
@mgrau
Non sono certo io , che mi impunto sugli integrali ellittici . La studentessa voleva delle informazioni, e gliele ho date, anche sotto forma di link a dispensa ; ce ne sono tanti , di siti che parlano di integrali ellittici , basta cercarli.
C'era bisogno di una soluzione approssimata del problema ? L'ho data , lasciando da parte sviluppi e integrazione per serie.
Nel mio lavoro , ho "integrato" con procedure approssimate del tipo di quello esposto migliaia di funzioni non definibili analiticamente , per cui non c'era altro da fare che ricorrere a banali somme di un gran numero di valori medi : nel mondo del lavoro , un certo tipo di lavoro, si fa comunemente .
In definitiva , io non capisco il motivo del tuo intervento. Se uno studente ha una curiosità, perché non dargli un imput?
Devo dire che non capisco tanto il senso di questo impuntarsi sugli integrali ellittici.
Non sono certo io , che mi impunto sugli integrali ellittici . La studentessa voleva delle informazioni, e gliele ho date, anche sotto forma di link a dispensa ; ce ne sono tanti , di siti che parlano di integrali ellittici , basta cercarli.
C'era bisogno di una soluzione approssimata del problema ? L'ho data , lasciando da parte sviluppi e integrazione per serie.
Nel mio lavoro , ho "integrato" con procedure approssimate del tipo di quello esposto migliaia di funzioni non definibili analiticamente , per cui non c'era altro da fare che ricorrere a banali somme di un gran numero di valori medi : nel mondo del lavoro , un certo tipo di lavoro, si fa comunemente .
In definitiva , io non capisco il motivo del tuo intervento. Se uno studente ha una curiosità, perché non dargli un imput?
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