\(\mathbf{P}=M\mathbf{v}_{cm}\) per corpi continui?

[DavideGenova1]

Ripassando alcuni concetti fondamentali, ma rileggendoli con più attenzione, ho riflettuto sulla seguente deduzione della nota identità della derivata temporale della quantità di moto con la massa per l'accelerazione:

"W.E. Gettys, F.J. Keller, M.J. Skove, Fisica 1":19x9855m:\[\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\frac{d(\sum\mathbf{p}_i)}{dt}=\frac{d(\sum m_i\mathbf{v}_i)}{dt}\]Ma \(\sum m_i\mathbf{v}_i=M\mathbf{v}_{cm}\), ossia \(\mathbf{P}=M\mathbf{v}_{cm}\). Perciò\[\frac{d\mathbf{P}}{dt}=M\frac{d\mathbf{v}_{cm}}{dt}=M\mathbf{a}_{cm}\]

Mi chiedevo, analogamente a quanto mi chiedo qui per le formule sul momento angolare, se tali formule valgano anche per un corpo continuo.
Se sì, come si giustifica \(\mathbf{P}=M\mathbf{v}_{cm}\) matematicamente?
$\mathbf{P}$ credo che sarebbe, per un corpo continuo esteso su un dominio $V\subset\mathbb{R}^3$- correggetemi se sbaglio-, $\int_V\rho\mathbf{v}dV=\int_V\rho(x,y,z)\mathbf{v}(x,y,z)dxdydz$ dove \(\mathbf{v}(x,y,z)\) è la velocità dell'elemento di massa puntiforme presente alle coordinate \((x,y,z)\), mentre \(M\mathbf{v}_{cm}\) direi che sia $M\frac{d\mathbf{x}_{cm}}{dt}=\frac{d}{dt}\int_V \rho(x,y,z)\mathbf{x}dxdydz$, ma ho qualche problema a dimostrare a me stesso l'uguaglianza di questi due integrali...

Sto cercando moltissimo in rete e altrove sull'argomento, ma non trovo niente a riguardo...
$\infty$ grazie per ogni risposta!!!

[Falco5x]

Ci provo.
Sia la velocità di un generico punto: [tex]\displaystyle\vec v = \frac{{d\vec r}}{{dt}}[/tex]

Vediamo la definizione del CM:

[tex]\displaystyle{{\vec r}_{CM}} = \frac{{\int\limits_V {\vec r\rho dV} }}{{\int\limits_V {\rho dV} }} = \frac{{\int\limits_V {\vec r\rho dV} }}{M}[/tex]

da cui:

[tex]\displaystyle\int\limits_V {\vec r\rho dV} = M{{\vec r}_{CM}}[/tex]

Allora partendo dalla quantità di moto e procedendo a sostituire usando le relazioni di cui sopra si ha:

[tex]\displaystyle P = \int\limits_V {\vec v\rho dV} = \frac{d}{{dt}}\int\limits_V {\vec r\rho dV} = \frac{d}{{dt}}M{{\vec r}_{CM}} = M\frac{{d{{\vec r}_{CM}}}}{{dt}} = M{{\vec v}_{CM}}[/tex]


Ti convince?

[DavideGenova1]

"Falco5x":[tex]\displaystyle P = \int\limits_V {\vec v\rho dV} = \frac{d}{{dt}}\int\limits_V {\vec r\rho dV} = \frac{d}{{dt}}M{{\vec r}_{CM}} = M\frac{{d{{\vec r}_{CM}}}}{{dt}} = M{{\vec v}_{CM}}[/tex]

Il mio problema sta nel fatto che, nel passaggio \(\int\limits_V {\vec v\rho dV} = \frac{d}{{dt}}\int\limits_V {\vec r\rho dV}\), non so saprei come giustificare la differenziazione sotto il segno di integrale. Conosco qualche teorema a riguardo, come questo, ma ciò che mi blocca ancora prima di poter applicare qualunque risultato è che non saprei come esprimere le dipendenze di \(\vec{v}\) e \(\rho\) dalle coordinate spaziali \((x,y,z)\) e dal tempo: come si scrivono quegli integrali esplicitando le variabili?
$\infty$ grazie e buon Primo Maggio a tutti!!!

[Falco5x]

Provo a esplicitare un po' di più:

[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
\int\limits_V {{v_x}\left( {t,\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\rho \left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)d\alpha d\beta d\gamma } = \int\limits_V {\frac{{\partial x\left( {t,\alpha ,\beta ,\gamma } \right)}}{{\partial t}}\rho \left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)d\alpha d\beta d\gamma } =\\
= \frac{d}{{dt}}\int\limits_V {x\left( {t,\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\rho \left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)d\alpha d\beta d\gamma } \\
\int\limits_V {{v_y}\left( {t,\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\rho \left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)d\alpha d\beta d\gamma } = ... \\
\int\limits_V {{v_z}\left( {t,\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\rho \left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)d\alpha d\beta d\gamma } = ... \\
\end{array}[/tex]

Occorre distinguere le variabili spaziali solidali con il corpo [tex]\left( {\alpha ,\beta ,\gamma } \right)[/tex] da quelle assolute, cioè del riferimento inerziale esterno [tex]\left( {x,y,z} \right)[/tex]
Questo perché la densità, ad esempio, dipende solo dalle coordinate solidali con il corpo, mentre la velocità dipende sia da queste che dal tempo.

Riguardo alla commutazione tra il simbolo di derivata e di integrale, io non te lo spiego perché come matematico sono un disastro, ma mi pare analogo al caso della proprietà sulla quale tu stesso chiedevi chiarimenti qualche anno fa,
http://www.matematicamente.it/forum/derivata-parziale-di-integrale-t102732.html
sostituendo y con t e x con le 3 coordinate spaziali relative. Ti rimando ai libri di analisi per approfondimenti, che sono certo più bravi di me a spiegare questi temi

[DavideGenova1]

Eh, eh, ricordo quel post. La derivazione sotto il segno di integrale mi sembra, ripercorrendo la dimostrazione del libro che cita appunto Paolo nel post che hai linkato, che possa valere per esempio se $V\subset\mathbb{R}^n$ è compatto con \(\frac{\partial f}{\partial t}\in C(V\times[a,b])\), nel qual caso, per ogni $t\in[a,b]$ mi sembra che si abbia\[\frac{d}{dt}\int_Vf(x_1,..,x_n,t)dx_1...dx_n=\int_V\frac{\partial f(x_1,...,x_n,t)}{\partial t}dx_1...dx_n.\]
Le ipotesi di continuità e derivabilità sono consuete in fisica, quindi non mi sembra che rappresentino un problema...

Tuttavia, è possibile provare che \(\frac{\partial\mathbf{x}(\alpha,\beta,\gamma,t)}{\partial t}=\Big(\frac{\partial x(\alpha,\beta,\gamma,t)}{\partial t},\frac{\partial y(\alpha,\beta,\gamma,t)}{\partial t},\frac{\partial z(\alpha,\beta,\gamma,t)}{\partial t}\Big) \) rappresenta una funzione continua partendo dalle solite assunzioni di continuità e derivabilità che si fanno sulla funzione posizione \(\mathbf{x}(t)\)?
Inoltre, \((\alpha,\beta,\gamma)\) non varia in funzione di $t$?

$\infty$ grazie ancora!