Massima velocità in direzione dell'osservatore
Salve a tutti,
ho una pala di elica che ruota in senso antiorario. Inoltre, l'osservatore è posto nel piano di rotazione ad y=0 e z>0.
Il setup è come nel disegno sottostante. La pala si assume come una linea. La rotazione è antioraria. L'osservatore è in verde.
$\vec{R}$ è il vettore distanza tra un singolo elemento di pala e l'osservatore. Date $x,y,z$ le coordinate dell'elemento di pala e $x_0,y_0,z_0$ le coordinate dell'osservatore, il modulo di $\vec{R}$ è:
$$ R = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} $$
Sto cercando di dimostrare che la velocità dell'elemento di pala (un singolo elemento) durante la rotazione, ottenuta come:
$$U = \sqrt{U_x^2 + U_y^2 + U_z^2} = \sqrt{(V_{\infty})^2 + (\Omega r \ cos(\theta))^2 + (\Omega r \ sin(\theta))^2}$$
proiettata in direzione dell'osservatore è massima quando l'elemento di pala è perpendicolare all'osservatore, come nel disegno di sopra. In realtà, la perpendicolarità avviene in due momenti durante la rotazione, ossia nell'istante mostrato nel disegno di sopra e in quello in cui la pala è nella posizione esattamente speculare. Mi chiedo, inoltre, dove la velocità sia minima. È possibile ricavare una relazione in funzione del tempo o dell'angolo $\theta$? C'è anche un'influenza della direzione di rotazione rispetto all'osservatore, ossia se la pala si sta muovendo in direzione dell'osservatore o si sta allontanando da esso?
Grazie in anticipo.
ho una pala di elica che ruota in senso antiorario. Inoltre, l'osservatore è posto nel piano di rotazione ad y=0 e z>0.
Il setup è come nel disegno sottostante. La pala si assume come una linea. La rotazione è antioraria. L'osservatore è in verde.
$\vec{R}$ è il vettore distanza tra un singolo elemento di pala e l'osservatore. Date $x,y,z$ le coordinate dell'elemento di pala e $x_0,y_0,z_0$ le coordinate dell'osservatore, il modulo di $\vec{R}$ è:
$$ R = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} $$
Sto cercando di dimostrare che la velocità dell'elemento di pala (un singolo elemento) durante la rotazione, ottenuta come:
$$U = \sqrt{U_x^2 + U_y^2 + U_z^2} = \sqrt{(V_{\infty})^2 + (\Omega r \ cos(\theta))^2 + (\Omega r \ sin(\theta))^2}$$
proiettata in direzione dell'osservatore è massima quando l'elemento di pala è perpendicolare all'osservatore, come nel disegno di sopra. In realtà, la perpendicolarità avviene in due momenti durante la rotazione, ossia nell'istante mostrato nel disegno di sopra e in quello in cui la pala è nella posizione esattamente speculare. Mi chiedo, inoltre, dove la velocità sia minima. È possibile ricavare una relazione in funzione del tempo o dell'angolo $\theta$? C'è anche un'influenza della direzione di rotazione rispetto all'osservatore, ossia se la pala si sta muovendo in direzione dell'osservatore o si sta allontanando da esso?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ignorando le formule, abbiamo che ogni punto della pala si muove di un moto circolare uniforme. La velocità ha quindi modulo costante proporzionale alla distanza dal centro e direzione tangente alla traiettoria del moto (quindi ruotata di 90° rispetto all'angolo corrente della pala). Quando proiettiamo un vettore di modulo costante lungo una direzione, avremo la proiezione con modulo massimo (uguale al modulo originale) quando le due direzioni sono parallele e la proiezione con modulo minimo (zero) quando sono perpendicolari. Quindi, siccome la velocità è perpendicolare alla pala, avremo che il massimo si presenterà quando la pala è perpendicolare a \(\vec{R}\) e il minimo quando la pala è parallela a \(\vec{R}\) (cioè quando la pala ha direzione \(\pm Z\).
"apatriarca":
Ignorando le formule, abbiamo che ogni punto della pala si muove di un moto circolare uniforme. La velocità ha quindi modulo costante proporzionale alla distanza dal centro e direzione tangente alla traiettoria del moto (quindi ruotata di 90° rispetto all'angolo corrente della pala). Quando proiettiamo un vettore di modulo costante lungo una direzione, avremo la proiezione con modulo massimo (uguale al modulo originale) quando le due direzioni sono parallele e la proiezione con modulo minimo (zero) quando sono perpendicolari. Quindi, siccome la velocità è perpendicolare alla pala, avremo che il massimo si presenterà quando la pala è perpendicolare a \(\vec{R}\) e il minimo quando la pala è parallela a \(\vec{R}\) (cioè quando la pala ha direzione \(\pm Z\).
Grazie!
Nota che la situazione è un po' più complicata se l'elemento della pala è più lontana al centro di rotazione rispetto all'osservatore.
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