Massima oscillazione di una massa

[Mynameis1]

Buon pomeriggio , avevo bisogno di una mano per questo esercizio " una massa $ M= 2 kg $ è appoggiata ad un piano orizzontale scabro. Il coefficiente di attrito statico relativo al contatto è $ mu_s=0,4 $ . Un filo inestensibile di massa trascurabile collega la massa $ M $ alla massa $ m=0,3 kg $ sospesa nel vuoto alla destra di $ M $ . La carrucola C sulla quale passa il filo ha massa e dimensioni trascurabili . Calcolare il massimo valore dell'ampiezza di oscillazione della massa $ m $ che non produce lo spostamento della massa $ M $. Io ho seguito questo procedimento; scritta la seconda legge di Newton per il blocco superiore $ T-mu_sMg=0 $ e per la massa $ m $ lungo il filo in corrispondenza all'oscillazione massima $ T-mgcostheta=mv^2/r $ dove r è la lunghezza del filo applico la conservazione dell'energia per trovare la velocità $ 1/2mv^2-mgr(1-costheta)=0 $ . Trovata la velocità sostituisco questa nell'equazione del blocco $ M $, sostituisco alla tensione il valore $ mu_sMg $ ed a questo punto ho come unica incognita il coseno dal quale trovo il valore di $ theta_(max) $ . È corretto come procedimento ? Lo stesso identico esercizio solo con valori numerici diversi è reperibile su internet su un file di esercitazioni . Ho provato a svolgerlo seguendo questo stesso procedimento ma il risultato è sbagliato . Viene infatti data la soluzione a piè di pagina ( per quei dati ) il che mi fa pensare che ci sia qualcosa di sbagliato qui

[anonymous_0b37e9]

La tensione assume il valore massimo quando il filo è diretto lungo la verticale:

$\{(1/2mv^2=mgr(1-cos\theta_(max))),(T_(max)-mg=mv^2/r):} rarr [T_(max)=mg(3-2cos\theta_(max))] rarr [mg(3-2cos\theta_(max)) = \mu_sMg] rarr$

$rarr [cos\theta_(max) = (3m-\mu_sM)/(2m)]$

Quindi:

$[(3m-\mu_sM)/(2m) lt 0] rarr [\theta_(max)=\pi/2]$

$[0 lt= (3m-\mu_sM)/(2m) lt= 1] rarr [\theta_(max)=arccos((3m-\mu_sM)/(2m))]$

$[(3m-\mu_sM)/(2m) gt 1] rarr$ [Impossibile]

[Mynameis1]

Ciao , non so se c'è stato un fraintendimento ma il filo non parte oscillando da sopra per poi arrivare nel punto di sospensione ; nella immagine viene presentato sospeso nel vuoto e quindi suppongo fermo , $ T-mg=0 $ , e successivamente viene messo in moto o comunque si suppone che venga fatto oscillare e che pertanto l'equazione del moto sia quella scritta da me per punti diversi da quello di sospensione . Che poi ripassi per il punto suddetto e abbia come equazione quella scritta da te , @anonymous_0b37e9 , non credo serva perché a mia interpretazione il problema chiede di calcolare l'oscillazione massima a partire dal punto di sospensione. Appurato questo io arrivo ad un risultato diverso in virtù di quello che dicevo prima
$ { (mgr(1-costheta)=1/2mv^2 ),( T-mgcostheta=mv^2/r ):} $
La tensione è $ mu_sMg $ quindi
$ mu_sMg-mgcostheta=2mg-2mgcostheta $ da cui
$ costheta=-0,66 $
Non mi spiego il segno negativo di questo risultato
Grazie

[anonymous_0b37e9]

Ciao Mynameis. Prima di discutere i contenuti del tuo ultimo messaggio, il problema dovrebbe essere quello sottostante:

Se così fosse:

$[0 lt= (3m-\mu_sM)/(2m) lt= 1] rarr [\theta_(max)=arccos((3m-\mu_sM)/(2m))]$

fornisce la soluzione corretta.

[Mynameis1]

Esattamente , il problema è proprio questo . Per quanto riguarda la risoluzione : il ragionamento che sta a monte dell'esercizio è quello scritto da entrambi con la differenza che nel mio c'è un termine diverso nelle equazioni risolutive ;
io scrivo $ T-mgcostheta=mv^2/r $ scrivendo la seconda legge di Newton per un istante generico del moto ( presumibilmente in corrispondenza del $ theta_(max) $ cercato ) . Tu scrivi la stessa legge , però nell'istante iniziale ovvero quando il filo è verticale $ T-mg=mv^2/r $
Vorrei capire come tu sappia a priori che , quando il filo è verticale , ci sia moto lungo l'asse Y . Infatti io avrei scritto direttamente $ T-mg=0 $ e , come detto prima , avrei scritto la seconda legge di Newton in un istante generico dell'oscillazione . D'altra parte non mi sembra che il testo lasci intendere che il filo sta seguendo un moto circolare anche quando è verticale ( almeno a mia interpretazione ) . E se così fosse , non possiamo scrivere comunque la relazione $ T-mgcostheta=mv^2/r $ nel generico istante e poi procedere alla solita maniera con la conservazione della energia meccanica ? Non capisco a questo punto dove stia il perché di quel coseno negativo che rimane comunque sbagliato quindi in quello che propongo ci deve essere comunque qualcosa di errato. Grazie

[anonymous_0b37e9]

Risolvendo il seguente sistema:

$\{(T-mgcos\theta=mv^2/r),(1/2mv^2-mgr(1-cos\theta)=0),(T=\mu_sMg):} rarr [cos\theta=(2m-\mu_sM)/m]$

e sostituendo i dati della tua consegna, si ottiene senz'altro $[cos\theta lt 0]$. Tuttavia, stai risolvendo semplicemente un altro problema. Ossia, determinare l'ampiezza dell'oscillazione di un pendolo matematico (avente il punto di sospensione fisso) di massa $m$ e lunghezza $r$ in modo tale che la tensione valga $\mu_sMg$ (un valore assegnato arbitrariamente a priori) proprio quando il pendolo inverte il verso del moto. Tra l'altro, $[cos\theta lt 0]$ rende quest'ultimo problema privo di significato. Infatti, un pendolo non può invertire il verso del moto a un'altezza maggiore del suo punto di sospensione.

[Mynameis1]

Ho ragionato maggiormente sul problema , seguendo anche quello che mi avevi scritto tu , @anonymous_0b37e9 . Solo l'ultimo passaggio non mi è chiaro : perché il pendolo non può invertire il verso del moto ad una altezza maggiore del punto di sospensione ? In fondo , se un corpo viene mandato ad una altezza adeguatamente superiore a questo , fornendogli un 'altrettanta adeguata forza iniziale raggiunto questo punto non ricadrebbe ( invertendo così il verso del moto ) sotto l'azione del suo stesso peso ?
Grazie per i chiarimenti

[donald_zeka]

La tensione massima si raggiunge quando il pendolo passa per la verticale, quindi $costheta=0$, senza se e senza ma.

[Mynameis1]

Ciao Vulplasir . Sul fatto che la tensione massima si raggiunga quando il filo passa per la verticale dato che il $ costheta=0 $ in questa posizione non ho dubbi . Il dubbio che mi rimaneva da chiarire era quello scritto nel mio ultimo messaggio

[donald_zeka]

Il pendolo non può invertire il moto ad una altezza maggiore del punto di sospensione perché se no non sarebbe un pendolo...se gli fai fare un giro completo, che pendolo è?. E tra l'altro il moto non sarebbe neanche invertito, perché se fa il giro completo, non inverte un bel nulla, ma continua a ruotare nello stesso verso.

[Mynameis1]

Non intendo far fare un giro completo ma come detto imprimergli una forza adeguata tale da farlo arrivare ( tramite una rotazione minore di 180 gradi partendo dal punto di sospensione ) ad una altezza tale che , fermatosi , ricade per effetto della proprio forza peso

[anonymous_0b37e9]

"Mynameis":
... imprimergli una forza adeguata tale da farlo arrivare ad una altezza tale che, fermatosi, ricade per effetto della proprio forza peso.

Intanto, poiché la caduta libera inizierebbe nell'istante in cui la tensione è nulla, non nell'istante in cui il pendolo è fermo, si avrebbe un moto parabolico, non lungo la verticale. Inoltre, in un esercizio come quello che hai proposto, come già praticamente scritto da Vulplasir, anche questo aspetto non è contemplato.

[Mynameis1]

Scusa ma continuo a non capire bene

[anonymous_0b37e9]

Si supponga di impartire al pendolo, inizialmente in quiete lungo la verticale, una velocità iniziale orizzontale $v_0$. Si possono presentare 3 casi:

$[0 lt v_0 lt= sqrt(2gr)] rarr$ Il pendolo oscilla senza superare in altezza il punto di sospensione. Infatti:

$\{(T-mgcos\theta=mv^2/r),(1/2mv_0^2=1/2mv^2+mgr(1-cos\theta)),(\theta=\pi/2 ^^ v=0):} rarr \{(v_0=sqrt(2gr)),(T=0):}$

$[v_0 gt= sqrt(5gr)] rarr$ Il pendolo compie il giro completo. Infatti:

$\{(T-mgcos\theta=mv^2/r),(1/2mv_0^2=1/2mv^2+mgr(1-cos\theta)),(\theta=\pi ^^ T=0):} rarr \{(v_0=sqrt(5gr)),(v=sqrt(gr)):}$

$[sqrt(2gr) lt v_0 lt sqrt(5gr)] rarr$ Il pendolo, dopo aver superato in altezza il punto di sospensione e poiché la tensione si annulla prima di raggiungere il punto di massima altezza, si muove di moto parabolico. Infatti:

$\{(T-mgcos\theta=mv^2/r),(1/2mv_0^2=1/2mv^2+mgr(1-cos\theta)),(\pi/2 lt \theta lt \pi ^^ T=0):} rarr [ v gt 0]$

Stavo semplicemente dicendo che, in un esercizio come quello proposto, si contempla solo il 1° caso.