Massettina collegata a due carrucole
Vi ho allegato in immagine il testo dell'esercizio , ho risolto credo con successo i primi due punti il problema su cui sono perplesso è il punto 3. Per trovare l'accelerazione della cassa durante la caduta io ho applicato la prima equazione cardinale , Mo=I*alfa , prendendo come polo il centro della prima carrucola. Dopo di che osservo che le forze che fanno momento sono T della fune e la forza peso della massettina.
Il mio dubbio è sull'inerzia dei 3 corpi perchè secondo un mio compagno andrebbero sommate tutte e 3 compresa quella della massettina nonostante non compia rotazione , secondo voi è giusto questo ragionamento? Secondo me no ma il punto è che se cosi non è allora non mi torna 2/3g che è il risultato che dovrebbe venire. grazie!
Il mio dubbio è sull'inerzia dei 3 corpi perchè secondo un mio compagno andrebbero sommate tutte e 3 compresa quella della massettina nonostante non compia rotazione , secondo voi è giusto questo ragionamento? Secondo me no ma il punto è che se cosi non è allora non mi torna 2/3g che è il risultato che dovrebbe venire. grazie!
Risposte
Se ho capito bene quello che intende il tuo compagno, direi che ha ragione lui.
L'esercizio lo puoi svolgere in 2 modi.
(1) Con la coservazione dell'energia meccanica.
(2) Con le equazioni cardinali
Vediamo (1).
Quando tutto e' fermo, l'energia meccanica e nulla se prendiamo come riferimento la quota iniziale della massa.
Quando il corpo e' sceso di h, l'nergia meccanica e' data da:
Potenziale della massa
$U=-mgh$ PIU'
Energia cinetica della massa: $1/2mv^2$
Energia cinetica carrucola (1): $1/2Iomega^2$
Energia cinetica carrucola (2): $1/2Iomega^2$
Quindi
$-mgh+1/2mv^2+2*1/2Iomega^2=0$. Siccome $omega=v/R$
$-mgh+1/2mv^2+2*1/2I(v/R)^2=0$.
Da cui, ricordando che $I=(MR^2)/2$ ricavi v facilmente.
Metodo (2). Scomponi il sistema:
Sulla massa agisce la tensione T e la forza peso:
$Mg-T=Ma$
Sulla carrucola 1, la T e la reazione verticale N della carrucola 2, orientata verso il basso
$TR-NR=I\alpha_1$
Sulla carrucola 2 solo la N
$NR=Ialpha_2$
Ora, $a=Ralpha_1=-Ralpha_2$.
Sostituendo nelle 3 equazioni e risolvendo il sistema ottieni l'incognita $a$, e da li la velocita v cercata.
L'esercizio lo puoi svolgere in 2 modi.
(1) Con la coservazione dell'energia meccanica.
(2) Con le equazioni cardinali
Vediamo (1).
Quando tutto e' fermo, l'energia meccanica e nulla se prendiamo come riferimento la quota iniziale della massa.
Quando il corpo e' sceso di h, l'nergia meccanica e' data da:
Potenziale della massa
$U=-mgh$ PIU'
Energia cinetica della massa: $1/2mv^2$
Energia cinetica carrucola (1): $1/2Iomega^2$
Energia cinetica carrucola (2): $1/2Iomega^2$
Quindi
$-mgh+1/2mv^2+2*1/2Iomega^2=0$. Siccome $omega=v/R$
$-mgh+1/2mv^2+2*1/2I(v/R)^2=0$.
Da cui, ricordando che $I=(MR^2)/2$ ricavi v facilmente.
Metodo (2). Scomponi il sistema:
Sulla massa agisce la tensione T e la forza peso:
$Mg-T=Ma$
Sulla carrucola 1, la T e la reazione verticale N della carrucola 2, orientata verso il basso
$TR-NR=I\alpha_1$
Sulla carrucola 2 solo la N
$NR=Ialpha_2$
Ora, $a=Ralpha_1=-Ralpha_2$.
Sostituendo nelle 3 equazioni e risolvendo il sistema ottieni l'incognita $a$, e da li la velocita v cercata.
E' sbagliato utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato?
Avevo pensato all'utilizzo di questa formula : Vf^2 = Vi^2 + 2a (Xf-Xi)
Mi scusi per come l ho scritta devo ancora imparare a scrivere le formule.
Avevo pensato all'utilizzo di questa formula : Vf^2 = Vi^2 + 2a (Xf-Xi)
Mi scusi per come l ho scritta devo ancora imparare a scrivere le formule.
@Giacomo
Sei sicuro della soluzione del caso 2 , e cioè che debba risultare : $a = 2/3g$ ? A me risulta che questa è la soluzione del caso 1, ciè quando c'è la massa $M$ e solo la carrucola 1 , che ha uguale massa $M$ .
Infatti, nel caso 1 , sulla massa $M$ sospesa agiscono la forza peso $Mvecg$ diretta in basso e la tensione $vecT$ diretta in alto, quindi hai l'equazione del moto , proiettata su un asse verticale orientato verso il basso :
$Mg - T = Ma$ -------(1)
la forza agente sulla carrucola 1 è uguale in valore alla tensione nel filo, ma è diretta ora in basso. Il suo momento rispetto al centro della carrucola causa variazione del momento angolare, cioè accelerazione angolare $\alpha =a/R$ della carrucola :
$TR = I \alpha = 1/2MR^2* a/R $ , da cui : $T = 1/2Ma $ --------(2)
Sostituendo la (2) nella (1) hai : $Mg = Ma + 1/2Ma = 3/2Ma$ ------(3)
da cui : $a = 2/3g$ .
In sostanza, la forza peso deve causare l'accelerazione lineare $a$ della massa $M$ sospesa, e deve fornire l'accelerazione angolare della carrucola, quindi è come se la massa sospesa fosse aumentata di metà massa $1/2M$ della carrucola stessa.
Passiamo al caso 2 . Ora sulla carrucola 1 agisce non solo il filo a cui è attaccata la massa sospesa, ma anche la carrucola 2, che oppone resistenza, quindi applica alla carrucola 1 un "momento resistente" , che senza scervellarsi troppo puoi subito dire quanto vale : vale $I_2\alpha_2$ . Perciò ora hai (nb : ora l'accelerazione della massa sospesa è minore di quella di prima) :
$Mg -T = Ma $ --------(4)
$TR - I_2\alpha_2 = I_1\alpha_1$ ---------(5)
la (4) è l'equazione del moto per la massa sospesa , la (5) è l'equazione del moto per la carrucola 1, che tiene conto del "momento resistente" rappresentato dalla carrucola 2 .
Ma le due carrucole sono uguali , cioè $I_1 = I_2$ , e le accelerazioni angolari hanno lo stesso valore e verso opposto.
Sostituendo i valori dati, e tenendo conto che, in modulo, $\alpha_1= \alpha_2 = a/R$ , io trovo che deve essere : $a = 0.5g$ .
Insomma , è come se la forza peso dovesse accelerare la massa sospesa , e metà della massa di ciascuna delle due pulegge.
Sei sicuro della soluzione del caso 2 , e cioè che debba risultare : $a = 2/3g$ ? A me risulta che questa è la soluzione del caso 1, ciè quando c'è la massa $M$ e solo la carrucola 1 , che ha uguale massa $M$ .
Infatti, nel caso 1 , sulla massa $M$ sospesa agiscono la forza peso $Mvecg$ diretta in basso e la tensione $vecT$ diretta in alto, quindi hai l'equazione del moto , proiettata su un asse verticale orientato verso il basso :
$Mg - T = Ma$ -------(1)
la forza agente sulla carrucola 1 è uguale in valore alla tensione nel filo, ma è diretta ora in basso. Il suo momento rispetto al centro della carrucola causa variazione del momento angolare, cioè accelerazione angolare $\alpha =a/R$ della carrucola :
$TR = I \alpha = 1/2MR^2* a/R $ , da cui : $T = 1/2Ma $ --------(2)
Sostituendo la (2) nella (1) hai : $Mg = Ma + 1/2Ma = 3/2Ma$ ------(3)
da cui : $a = 2/3g$ .
In sostanza, la forza peso deve causare l'accelerazione lineare $a$ della massa $M$ sospesa, e deve fornire l'accelerazione angolare della carrucola, quindi è come se la massa sospesa fosse aumentata di metà massa $1/2M$ della carrucola stessa.
Passiamo al caso 2 . Ora sulla carrucola 1 agisce non solo il filo a cui è attaccata la massa sospesa, ma anche la carrucola 2, che oppone resistenza, quindi applica alla carrucola 1 un "momento resistente" , che senza scervellarsi troppo puoi subito dire quanto vale : vale $I_2\alpha_2$ . Perciò ora hai (nb : ora l'accelerazione della massa sospesa è minore di quella di prima) :
$Mg -T = Ma $ --------(4)
$TR - I_2\alpha_2 = I_1\alpha_1$ ---------(5)
la (4) è l'equazione del moto per la massa sospesa , la (5) è l'equazione del moto per la carrucola 1, che tiene conto del "momento resistente" rappresentato dalla carrucola 2 .
Ma le due carrucole sono uguali , cioè $I_1 = I_2$ , e le accelerazioni angolari hanno lo stesso valore e verso opposto.
Sostituendo i valori dati, e tenendo conto che, in modulo, $\alpha_1= \alpha_2 = a/R$ , io trovo che deve essere : $a = 0.5g$ .
Insomma , è come se la forza peso dovesse accelerare la massa sospesa , e metà della massa di ciascuna delle due pulegge.
Hai completamente ragione confrontando i calcoli noto l'errore , ma quindi pongo la stessa domanda anche a te : è corretto utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato per trovare a?
Di solito nei problemi sono date le forze e/o i momenti agenti , per cui le due equazioni cardinali della dinamica permettono di determinare le accelerazioni, lineari o angolari che siano, come hai visto nel tuo problema. Naturalmente se il riferimento non è inerziale (a rigori, F = ma vale solo in un riferimento inerziale ) si deve tener conto anche delle forze apparenti.
Una volta note le accelerazioni, è certamente corretto utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato, per determinare velocità, spostamenti, tempi…quello che occorre.
Ma altre volte si procede come i gamberi : dati i tempi, spostamenti, velocità, determinare le accelerazioni.
Quindi : dipende. Comunque le leggi del moto unif.acc. ci sono , e allora usiamole quando è il caso!
Altre volte per esempio è più semplice ricorrere a principi energetici….dipende.
Una volta note le accelerazioni, è certamente corretto utilizzare le leggi del moto uniformemente accelerato, per determinare velocità, spostamenti, tempi…quello che occorre.
Ma altre volte si procede come i gamberi : dati i tempi, spostamenti, velocità, determinare le accelerazioni.
Quindi : dipende. Comunque le leggi del moto unif.acc. ci sono , e allora usiamole quando è il caso!
Altre volte per esempio è più semplice ricorrere a principi energetici….dipende.
Grazie mille a entrambi!
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