Masse in caduta collegate da carrucole conservazione energia
chiedo scusa per tutte le mie domande... ma mi ritrovo nuovamente bloccato!!! eppure mi sembra di applicare bene il principio di conservazione dell'energia! vi posto il testo con relativo disegno del libro:
io ho proceduto in questo modo!
allora
$K_f + U_(gf) = K_i + U_(gi)$
$(1/2)m_1 (V_f)^2 + m_1 g h_f = (1/2)m_1 (V_i)^2 + m_1 g h_i$
allora $h_f= 0$ se la massa parte da h=4 arriverà a 0...
$V_i$=0 perché dice che parte da fermo...
dunque mi rimane
$(1/2)m_1 (V_f)^2 = m_1 g h_i$
$m_1$ è in comune con tutti quindi posso semplificarlo
$(1/2) (V_f)^2 = g h_i$
risolvo rispetto a $V_f$
$V_f = sqrt(2gh)$ sostituisco i valori e mi viene una $V_f = 8.85 m/s$
e questa è la velocità di M1 quando tocca il suolo...
ora dall'equazione io vedo che la massa è ininfluente.. (e mi sa strano) infatti se faccio i conti con M2=3 kg ho
$K_f + U_(gf) = K_i + U_(gi)$
$(1/2)m_2 (V_f)^2 + m_2 g h_f = (1/2)m_2 (V_i)^2 + m_2 g h_i$
dove
$h_f= 4 m$ se la massa parte da h=0 arriverà a 4 quando tocca terra m1... essendo collegate da un cavo.
$V_i$=0 perché è fermo al suolo, quindi parte da fermo...
dunque:
$(1/2)m_2 (V_f)^2 + m_2 g h_f = 0 $
e quindi
$(1/2) (V_f)^2 = - g h_f $
e già mi accorgo che non va bene per il segno meno...
$V_f = sqrt(-2gh_f)$ dove $h_f=4$ quindi mi viene un'espressione identica alla precedente solo col segno meno davanti e quindi una radice impossibile (o meglio complessa.. ma non credo sia questo il caso! anche perché il risultato viene numericamente uguale all'altro che è sbagliato!)
il risultato del libro è:
A) 4.43 $m/s$
B) 5 m
ho provato anche a risolverlo impostando le leggi di Newton ma mi sono solo impantanato di più..
che cavolo sbaglio uffa?? =(
io ho proceduto in questo modo!
allora
$K_f + U_(gf) = K_i + U_(gi)$
$(1/2)m_1 (V_f)^2 + m_1 g h_f = (1/2)m_1 (V_i)^2 + m_1 g h_i$
allora $h_f= 0$ se la massa parte da h=4 arriverà a 0...
$V_i$=0 perché dice che parte da fermo...
dunque mi rimane
$(1/2)m_1 (V_f)^2 = m_1 g h_i$
$m_1$ è in comune con tutti quindi posso semplificarlo
$(1/2) (V_f)^2 = g h_i$
risolvo rispetto a $V_f$
$V_f = sqrt(2gh)$ sostituisco i valori e mi viene una $V_f = 8.85 m/s$
e questa è la velocità di M1 quando tocca il suolo...
ora dall'equazione io vedo che la massa è ininfluente.. (e mi sa strano) infatti se faccio i conti con M2=3 kg ho
$K_f + U_(gf) = K_i + U_(gi)$
$(1/2)m_2 (V_f)^2 + m_2 g h_f = (1/2)m_2 (V_i)^2 + m_2 g h_i$
dove
$h_f= 4 m$ se la massa parte da h=0 arriverà a 4 quando tocca terra m1... essendo collegate da un cavo.
$V_i$=0 perché è fermo al suolo, quindi parte da fermo...
dunque:
$(1/2)m_2 (V_f)^2 + m_2 g h_f = 0 $
e quindi
$(1/2) (V_f)^2 = - g h_f $
e già mi accorgo che non va bene per il segno meno...
$V_f = sqrt(-2gh_f)$ dove $h_f=4$ quindi mi viene un'espressione identica alla precedente solo col segno meno davanti e quindi una radice impossibile (o meglio complessa.. ma non credo sia questo il caso! anche perché il risultato viene numericamente uguale all'altro che è sbagliato!)
il risultato del libro è:
A) 4.43 $m/s$
B) 5 m
ho provato anche a risolverlo impostando le leggi di Newton ma mi sono solo impantanato di più..
che cavolo sbaglio uffa?? =(
Risposte
a) Quando il corpo 1 tocca terra, è sceso di $h$ e contemporaneamente il corpo 2 è salito anche lui di $h$. Inoltre i due corpi sono solidali e quindi si muovono con la stessa velocità.
Allora la conservazione dell'energia consente di scrivere che
$m_1 * g * h = m_2 * g * h + 1/2 * (m1 + m2) * v^2$, da cui
$v = sqrt(2 * g * h * (m_1 - m_2)/(m_1 + m_2)) = sqrt(2 * 9.8 * 4 * (5 - 3)/(5 + 3)) = sqrt(2 * 9.8 * 4 * (2)/(8)) ~= 4.43 text( m/s)$.
b) Quando il corpo 1 è arrivato a terra, il corpo 2 si sta muovendo verso l'alto con velocità $v$ e non subisce più la trazione esercitata dalla tensione del filo. E' un corpo lanciato verticalmente verso l'alto, sotto l'azione del suo peso, con una velocità iniziale nota.
Nuovamente, applicando la conservazione dell'energia, si può scrivere che
$1/2 * m_2 * v^2 = m_2 * g * Delta h$,
dove $Delta h$ è l'incremento di altezza, oltre $h$. Da questa equazione si ricava
$Delta h = v^2/(2 * g) = 2 * g * h * (m_1 - m_2)/(m_1 + m_2) * 1/(2 * g) = 1/4 * h$.
Per cui l'altezza massima raggiunta è
$h_(Max) = h + Delta h = h + 1/4 * h = 5/4 * h = 5/4 * 4 = 5 text( m)$.
Allora la conservazione dell'energia consente di scrivere che
$m_1 * g * h = m_2 * g * h + 1/2 * (m1 + m2) * v^2$, da cui
$v = sqrt(2 * g * h * (m_1 - m_2)/(m_1 + m_2)) = sqrt(2 * 9.8 * 4 * (5 - 3)/(5 + 3)) = sqrt(2 * 9.8 * 4 * (2)/(8)) ~= 4.43 text( m/s)$.
b) Quando il corpo 1 è arrivato a terra, il corpo 2 si sta muovendo verso l'alto con velocità $v$ e non subisce più la trazione esercitata dalla tensione del filo. E' un corpo lanciato verticalmente verso l'alto, sotto l'azione del suo peso, con una velocità iniziale nota.
Nuovamente, applicando la conservazione dell'energia, si può scrivere che
$1/2 * m_2 * v^2 = m_2 * g * Delta h$,
dove $Delta h$ è l'incremento di altezza, oltre $h$. Da questa equazione si ricava
$Delta h = v^2/(2 * g) = 2 * g * h * (m_1 - m_2)/(m_1 + m_2) * 1/(2 * g) = 1/4 * h$.
Per cui l'altezza massima raggiunta è
$h_(Max) = h + Delta h = h + 1/4 * h = 5/4 * h = 5/4 * 4 = 5 text( m)$.
non capisco come mai scrivi
$m_1 g h = m_2 g h + 1/2 (m1+ m2)*v^2$
da odve salta fuori?? o.O perché hai scirtto tutto in un unica equazione??? ho cercato la soluzione del libro su internet e ne ho torvata una in inglese ma mi schiaffa li quella stessa espressione senza darmi una spiegazione... sucsa ma io così non capisco... sarò tonto però io impostavo la equazione standard come ho scritto.. e non capisco da dove salta fuori quel pezzo extra $1/2 (m1+m2)v^2$
$m_1 g h = m_2 g h + 1/2 (m1+ m2)*v^2$
da odve salta fuori?? o.O perché hai scirtto tutto in un unica equazione??? ho cercato la soluzione del libro su internet e ne ho torvata una in inglese ma mi schiaffa li quella stessa espressione senza darmi una spiegazione... sucsa ma io così non capisco... sarò tonto però io impostavo la equazione standard come ho scritto.. e non capisco da dove salta fuori quel pezzo extra $1/2 (m1+m2)v^2$
L'energia totale iniziale è solo quella potenziale gravitazionale del corpo di massa $m_1$, perché i corpi partono da fermi e quindi la loro energia cinetica è $=0$; inoltre 2 è sul terreno e ha energia potenziale gravitazionale $=0$, se riferiamo le quote al terreno. Perciò l'energia totale all'inizio è appunto $m_1 * g * h$.
Quando 1 arriva sul terreno, è sceso di $h$ e contemporaneamente 2 è salito di $h$, perché il filo è inestendibile. Allora l'energia potenziale gravitazionale di 1 è $=0$ e quella di 2 è $m_2 * g * h$. In più i due corpi si muovono rigidamente e quindi hanno la stessa velocità: perciò l'energia cinetica totale in quel momento è $1/2 * (m_1 + m_2) * v^2$, dove $v^$ è sia la velocità con cui 1 urta il suolo, sia la velocità con cui 2 arriva all'altezza $h$.
Allora, dato che l'energia si conserva,
$E_text(iniziale) = E_text(finale)$, cioè
$U_1text(iniziale) = U_2text(finale) + E_text(cinetica dei 2 corpi)$.
Quindi
$m_1 * g * h = m_2 * g * h + 1/2 * (m1 + m2) * v^2$.
Quando 1 arriva sul terreno, è sceso di $h$ e contemporaneamente 2 è salito di $h$, perché il filo è inestendibile. Allora l'energia potenziale gravitazionale di 1 è $=0$ e quella di 2 è $m_2 * g * h$. In più i due corpi si muovono rigidamente e quindi hanno la stessa velocità: perciò l'energia cinetica totale in quel momento è $1/2 * (m_1 + m_2) * v^2$, dove $v^$ è sia la velocità con cui 1 urta il suolo, sia la velocità con cui 2 arriva all'altezza $h$.
Allora, dato che l'energia si conserva,
$E_text(iniziale) = E_text(finale)$, cioè
$U_1text(iniziale) = U_2text(finale) + E_text(cinetica dei 2 corpi)$.
Quindi
$m_1 * g * h = m_2 * g * h + 1/2 * (m1 + m2) * v^2$.
Grazie Mille!! come sempre troppo gentile.. e scusa il disturbo!!!
sono riuscito a impostare i calcoli dall'inizio in maniera corretta e ho risolto il punto B sia con le leggi del moto che con le considerazioni energetiche!!!
ti ringrazio ancora!!
sono riuscito a impostare i calcoli dall'inizio in maniera corretta e ho risolto il punto B sia con le leggi del moto che con le considerazioni energetiche!!!
ti ringrazio ancora!!
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