Masse collegate con molla
Ciao a tutti, ho un problema molto strano da porvi, e spererei che poteste davvero darmi una mano.
Ho 2 masse m e M che inizialmente ferme, unite da una molla compressa. Ad un certo punto la molla si decompreme e fa partire le 2 masse: m verso sinistra e M verso destra. Conosco il moto di M: percorre un tratto x1 e poi cade da una altezza h e percorre un tratto x2 in un tempo t.
Conosco: m, M, x1, x2, t.
Trovare: l' altezza $h$, la compressione iniziale della molla $x_0$, e la velocità finale di m $V_mf$.
Ho impostato la conservazione della quantità di moto: Pi = Pf quindi $0 = mV_mf + MV_Mf$
Poi la conservazione dell' energia: Ei = Ef quindi: $1/2kx_0^2$ = $1/2mV_mf^2 + 1/2MV_Mf^2$
Ho pensato che M percorra il tratto $x_1$ e $x_2$ nel tempo $t$ come se il moto fosse rettilineo uniforme. E da lì ho cominciato i ragionamenti, cioè $V_Mi = (x_1 + x_2)/t$ ...e da qui la risoluzione dell' esercizio era banale.. però mi rendo conto che in questo modo non tengo conto della compressione della molla $x_0$, quindi sommare $x_1$ nella formula della velocità in realtà è sbagliato, perchè c'è un piccolo tratto, cioè $x_0$, in cui accellera..
Quindi come dovrei partire??
Accetto qualsiasi suggerimento..
Grazie in anticipo..
Ho 2 masse m e M che inizialmente ferme, unite da una molla compressa. Ad un certo punto la molla si decompreme e fa partire le 2 masse: m verso sinistra e M verso destra. Conosco il moto di M: percorre un tratto x1 e poi cade da una altezza h e percorre un tratto x2 in un tempo t.
Conosco: m, M, x1, x2, t.
Trovare: l' altezza $h$, la compressione iniziale della molla $x_0$, e la velocità finale di m $V_mf$.
Ho impostato la conservazione della quantità di moto: Pi = Pf quindi $0 = mV_mf + MV_Mf$
Poi la conservazione dell' energia: Ei = Ef quindi: $1/2kx_0^2$ = $1/2mV_mf^2 + 1/2MV_Mf^2$
Ho pensato che M percorra il tratto $x_1$ e $x_2$ nel tempo $t$ come se il moto fosse rettilineo uniforme. E da lì ho cominciato i ragionamenti, cioè $V_Mi = (x_1 + x_2)/t$ ...e da qui la risoluzione dell' esercizio era banale.. però mi rendo conto che in questo modo non tengo conto della compressione della molla $x_0$, quindi sommare $x_1$ nella formula della velocità in realtà è sbagliato, perchè c'è un piccolo tratto, cioè $x_0$, in cui accellera..
Quindi come dovrei partire??
Accetto qualsiasi suggerimento..
Grazie in anticipo..
Risposte
Se ho capito bene le due masse non rimangono attaccate alla molla e quindi, in assenza di attrito, si muovono di moto rettilineo uniforme.
Il moto di M si può dividere in 3 intervalli: moto rettilineo con accelerazione variabile, moto rettilineo uniformemente accelerato e caduta libera.
La velocità con cui M si stacca dalla molla è la stessa con cui essa inizia a cadere.
Poniamo t=t1+t2; Per il moto uniforme si ha t1=x1/v (per v intendo VM).
Per la caduta libera si ha x2=v*t2-(1/2)*g*t2^2+h, da cui ricavo t2. Sommando le espressioni trovate per t1 e t2 ed eguagliandole a t ottengo una nuova equazione nelle incognite v e h. Poichè ci sono 4 incognite e 3 equazioni, possiamo considerare anche la conservazione dell'energia:
si ha, infatti, (1/2)*M*v^2=Mg(h-x2).
Spero di essere stato chiaro.
P.S: nella conservazione dell'energia che hai scritto il termine x0 va elevato al quadrato.
Il moto di M si può dividere in 3 intervalli: moto rettilineo con accelerazione variabile, moto rettilineo uniformemente accelerato e caduta libera.
La velocità con cui M si stacca dalla molla è la stessa con cui essa inizia a cadere.
Poniamo t=t1+t2; Per il moto uniforme si ha t1=x1/v (per v intendo VM).
Per la caduta libera si ha x2=v*t2-(1/2)*g*t2^2+h, da cui ricavo t2. Sommando le espressioni trovate per t1 e t2 ed eguagliandole a t ottengo una nuova equazione nelle incognite v e h. Poichè ci sono 4 incognite e 3 equazioni, possiamo considerare anche la conservazione dell'energia:
si ha, infatti, (1/2)*M*v^2=Mg(h-x2).
Spero di essere stato chiaro.
P.S: nella conservazione dell'energia che hai scritto il termine x0 va elevato al quadrato.
x2=v*t2-(1/2)*g*t2^2+h
Ciao, come mai hai scritto $+h$ alla fine della formula ? senza contare che in questa formula hai mischiato termini in x con termini in ( come $1/2*g*t_2^2$)
...poi il v di questa formula da dove lo hai trovato ? Anche se avessi sostituito questa seconda formula:
t1=x1/v
in quella di x2, avresti comunque il termine t1 incognito..
Poi il il moto di M non si potrebbe dividere in 2 parti ? la prima parte di un tratto in cui accellare per la decompressione della molla, ed uni di moto rettilineo uniforme ?
"stefano_89":x2=v*t2-(1/2)*g*t2^2+h
Ciao, come mai hai scritto $+h$ alla fine della formula ? senza contare che in questa formula hai mischiato termini in x con termini in ( come $1/2*g*t_2^2$)
...poi il v di questa formula da dove lo hai trovato ? Anche se avessi sostituito questa seconda formula:
t1=x1/v
in quella di x2, avresti comunque il termine t1 incognito..
Poi il il moto di M non si potrebbe dividere in 2 parti ? la prima parte di un tratto in cui accellare per la decompressione della molla, ed uni di moto rettilineo uniforme ?
Come ho anche detto prima, per v intendo quella che tu hai indicato con VM (una mia comodità di scrittura).
L'h alla fine della formula serve perchè, fissato un asse z verticale orientato verso l'alto e avente l'origine a terra, la coordinata iniziale è proprio h (per correttezza, x2 andrebbe chiamato in questo caso z2, ma non è questo quello che importa.)
I termini t1 e t2, secondo il mio ragionamento, in realtà scompaiono: se scrivi una equazione esplicitando t1, cioè t1=x1/v, ed una esplicitando t2, cioè
t2=f(h,v) (con questo intendo dire che t2 dipende da h e v incognite), alla fine ottieni t=x1/v + f(h,v): dove sono t1 e t2? Sono scomparsi!!
Perchè dici che ci sono solo due parti? La caduta libera è un moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione g!!
P.S. Forse ho frainteso io un dettaglio importante: la velocità finale di M è quella che M possiede quando si stacca dalla molla, oppure quella che ha dopo la caduta? Nel primo caso la soluzione va bene così, nel secondo la velocità si trova con le note leggi della cinematica del moto uniformemente accelerato (dopo aver risolto il problema comunque nello stesso modo)
Perchè dici che ci sono solo due parti?
Dico solo 2 perchè cmq se contiano la velocita $V_M$ lungo l' asse x, dopo il tratto x1 in cui è solo orizzontale il moto, possiamo continuare a considerare $V_M$ come un moto rettilineo uniforme lungo $x_2$ nel tempo $t_2$. Quindi secondo me la velocità lungo l' asse x è costante e pari alla velocità massima impressa dalla molla dopo la decompressione.
"stefano_89":Perchè dici che ci sono solo due parti?
Dico solo 2 perchè cmq se contiano la velocita $V_M$ lungo l' asse x, dopo il tratto x1 in cui è solo orizzontale il moto, possiamo continuare a considerare $V_M$ come un moto rettilineo uniforme lungo $x_2$ nel tempo $t_2$. Quindi secondo me la velocità lungo l' asse x è costante e pari alla velocità massima impressa dalla molla dopo la decompressione.
Non capisco il perchè. Se la massa M è in caduta durante il tratto x2, come fa il moto ad essere uniforme?
Potresti considerare il moto totale (x1+x2) come rettilineo ed uniforme solo se VM fosse la velocità media di M, ma non lo è: essa è la velocità istantanea di M acquistata dopo la decompressione, costante solo nel tratto x1.
Dico che lungo x è uniforme, mentre lungo y accellera. è il solito discorso della caduta di un corpo: si scompone il moto in uno rettineo uniforme lungo x e una uniformente accellerato lungo y con accellerazione g..
aspetta.. adesso che rileggo bene.. tu sei partito con il mio stesso ragionamento: hai detto che v è v = x1/t1 quindi costante nel tratto x1.
Ma questo era proprio il mio quesito; mi spiego meglio.. il mio cruccio è riguardo al primo tratto: volevo sapere infatti se in x1 la velocità è costante, e tu con quella formula me lo hai confermato. Ma secondo me era sbagliata: perchè c'è un piccolo tratto di x1 in cui la massa accellera per via della decompressione; infatti la massa parte da ferma.
Ma questo era proprio il mio quesito; mi spiego meglio.. il mio cruccio è riguardo al primo tratto: volevo sapere infatti se in x1 la velocità è costante, e tu con quella formula me lo hai confermato. Ma secondo me era sbagliata: perchè c'è un piccolo tratto di x1 in cui la massa accellera per via della decompressione; infatti la massa parte da ferma.
Ora ho capito finalmente cosa intendi!!
Credo anche di aver interpretato male il testo: x2 è il tratto percorso in orizzontale, non in verticale!!
L'espressione che hai scritto tu per la velocità è giusta; se consideri solo il moto rettilineo, il tratto precedente non ti interessa.
X0 lo hai scritto nell'equazione dell'energia, quindi non è vero che non lo utilizzi (3 equazioni 3 incognite).
Credo anche di aver interpretato male il testo: x2 è il tratto percorso in orizzontale, non in verticale!!
L'espressione che hai scritto tu per la velocità è giusta; se consideri solo il moto rettilineo, il tratto precedente non ti interessa.
X0 lo hai scritto nell'equazione dell'energia, quindi non è vero che non lo utilizzi (3 equazioni 3 incognite).
ah grazie mille..
ma spiegami un' ultima cosa ?
come mai il tratto in precedenza non mi dovrebbe interessare ? è perchè la molla non è collegata a qualcosa di fisso ?
ma spiegami un' ultima cosa ?
come mai il tratto in precedenza non mi dovrebbe interessare ? è perchè la molla non è collegata a qualcosa di fisso ?
M percorre 3 tratti: x0,x1 e x2. Il modulo della velocità è dato semplicemente dallo spazio percorso fratto il tempo impiegato per percorrerlo.
Se t è il tempo impiegato per percorrere x1 e x2, allora x0 non va preso in considerazione.
Se t è il tempo impiegato per percorrere x1 e x2, allora x0 non va preso in considerazione.
"VINX89":
M percorre 3 tratti: x0,x1 e x2. Il modulo della velocità è dato semplicemente dallo spazio percorso fratto il tempo impiegato per percorrerlo.
Se t è il tempo impiegato per percorrere x1 e x2, allora x0 non va preso in considerazione.
ah giusto.. grazie ancora..
"stefano_89":
[quote="VINX89"]M percorre 3 tratti: x0,x1 e x2. Il modulo della velocità è dato semplicemente dallo spazio percorso fratto il tempo impiegato per percorrerlo.
Se t è il tempo impiegato per percorrere x1 e x2, allora x0 non va preso in considerazione.
ah giusto.. grazie ancora..
[/quote]Di niente...scusami tu per aver capito male il testo.
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