Massa rotante su piano inclinato
Ciao, amici! Uno dei capi di un filo di massa trascurabile è attaccato ad una massa puntiforme di 1.2 kg che ha attrito trascurabile con un piano inclinato di \(\theta=37°\), sul quale si muove lungo una traiettoria circolare di raggio \(R=0.75 \text{ m}\). Nella posizione più bassa la tensione del filo è di 110 N.
La prima parte dell'esercizio che vorrei capire come risolvere, che è a corredo del capitolo sull'introduzione al lavoro, consiste nel determinare il modulo \(v_0\) della velocità della massa in tale punto più basso, ma non ho idea di come fare.
Per cominciare ho provato a calcolare la forza risultante agente sulla massa, sempre che possa servire a qualcosa e, posto un riferimento tridimensionale cartesiano destrorso con il piano $xy$ parallelo a quello su cui ruota la nostra massa e l'asse $z$ diretto verso l'alto, con l'asse delle $x$ parallelo alla retta che passa per il centro del cerchio e per il punto più basso di tale traiettoria circolare e diretto verso il basso, direi che la forza risultante agente sulla massa sia \(\mathbf{F}=(mg\cos(37°-90°)-110\text{ N}, F_y,0 )\), ma non ne riesco a determinarne la componente \(F_y\), sempre, che, appunto, questa sia la strada giusta per calcolare \(v_0\)...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!
La prima parte dell'esercizio che vorrei capire come risolvere, che è a corredo del capitolo sull'introduzione al lavoro, consiste nel determinare il modulo \(v_0\) della velocità della massa in tale punto più basso, ma non ho idea di come fare.
Per cominciare ho provato a calcolare la forza risultante agente sulla massa, sempre che possa servire a qualcosa e, posto un riferimento tridimensionale cartesiano destrorso con il piano $xy$ parallelo a quello su cui ruota la nostra massa e l'asse $z$ diretto verso l'alto, con l'asse delle $x$ parallelo alla retta che passa per il centro del cerchio e per il punto più basso di tale traiettoria circolare e diretto verso il basso, direi che la forza risultante agente sulla massa sia \(\mathbf{F}=(mg\cos(37°-90°)-110\text{ N}, F_y,0 )\), ma non ne riesco a determinarne la componente \(F_y\), sempre, che, appunto, questa sia la strada giusta per calcolare \(v_0\)...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!
Risposte
Sul corpo agiscono 3 forze: la forza peso $mg$, la tensione del filo T e la reazione del piano.
In un sistemo di riferimento scelto da te, la scomposizione di queste 3 forze ti porta a scrivere:
$mg*sin(37)-T=ma$. La reazione, essendo ortoganle al piano, non ha compnenti su x.
Il corpo descrive una circonferenza. La componente lungo l'asse x dell'accelerazione e' solo quella centripeta, cioe'
$a=-{v^2}/{R}$
Quindi, semplicemente, $mg*sin(37)-110=-m{v^2}/{R}$ da cui ricavi v (nota la massa, ovviamente, che tu non menzioni nel problema).
In un sistemo di riferimento scelto da te, la scomposizione di queste 3 forze ti porta a scrivere:
$mg*sin(37)-T=ma$. La reazione, essendo ortoganle al piano, non ha compnenti su x.
Il corpo descrive una circonferenza. La componente lungo l'asse x dell'accelerazione e' solo quella centripeta, cioe'
$a=-{v^2}/{R}$
Quindi, semplicemente, $mg*sin(37)-110=-m{v^2}/{R}$ da cui ricavi v (nota la massa, ovviamente, che tu non menzioni nel problema).
Uh, già, l'accelerazione è sempre scomponibile in tangenziale e centripeta: \(\mathbf{a}=\frac{dv}{dt}\hat{\mathbf{t}}+\frac{v^2}{\rho}\hat{\mathbf{n}}\)... $\infty$ grazie!
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