Massa ridotta

[cadinu]

salve a tutti,
volevo porvi una domanda alla quale non riesco a rispondere:
supponendo di avere due masse m1 e m2 le quali esercitano la forza di gravita F= G*(m1*m2)/R^2, inoltre il sistema è isolato, pertanto voglio conoscere il moto di m2 rispetto a m1 (legge oraria e velocita) ed il moto rispetto ad un'origine qualsiasi di entrambi i corpi i quali si suppone stiano andando uno verso l'altro... tralasciando il discorso legato se m1è maggiore o no di m2, come devo comportarmi?? Non riesco ad integrare l'equazione del moto relativo rispetto al tempo per trovarmi la legge oraria....oltre al discorso legato al centro di massa per trovarmi il moto dei due corpi rispetto all'origine... spero di essermi spiegato bene, e che possiate aiutarmi...

[cyd1]

hai che la forza di P2 su P1 è $F_(21) = -K(m_1 m_2)/(|P_1-P2|^3) * (P_1 -P_2)$
mentre quella su P_2 è $F_(12) = -F_(21)$
posto $F=F_(21) = - F_(12)$
per la legge di newton rispetto ad un oservatore inerziale hai $m_1 a_1 = F$ e $m_2 a_2 = -F$

se ti metti su P1 hai che se O è l'origine del sistema inerziale $(P_2-O) = (P_2 - P_1) + (P_1-O)$
se non c'è rotazione relativa derivi e hai $a_2 = a_(21) + a_1$ dove a_k = acc. assolute e a_21 è l'accelerazione lineare relativa.
cioè $a_(21) = a_2 -a_1$ => $m_2 a_(21) = m_2 a_2 - m_2 a1$
sostituisci $a_2=-F/m_2$ e $a_1=F/m_1$ e hai $m_2 a_(21) = F + m_2/m_1 F$
da cui ricavi $(m_1 m_2)/(m_1 + m_2) a_(21) = F$ che ha la forma di una equazione del moto di newton.
il rapporto $(m_1 m_2)/(m_1 + m_2)$ è detta massa ridotta.
più in generale quando si parla di massa ridotta ci si riferisce appunto alla costante di proporzionalità tra forza e acc. di un sistema a parametri concentrati il cui comportamento è equivalente a quello del sistema in esame.