Massa inerziale e massa gravitazionale...
Carissimi ragazzi nello studio della gravitazione, delle forze centrali e campi gravitazionali, è stata introdotta la differenza tra massa gravitazionale e massa inerziale, ponendo la condizione che sono la stessa "cosa" con ordine superiore a $ 10^-12 $ . Ora mi chiedevo quale fosse la differenza intrinseca tra le due quantità, essendo ambo appartenenti ad ogni corpo. In attesa di vostre delucidazioni, ringrazio anticipatamente per la collaborazione. 
Risposte
Ti dico come la vedo io, che non sono un fisico. Quindi concedimi il beneficio del dubbio. (Prego anche chi ne sa di più di correggermi!).
In meccanica classica, la massa gravitazionale è una cosa (si tratta della \(m\) che compare nella legge della gravitazione), la massa inerziale un'altra (la \(m\) che compare nell'equazione della dinamica) e la loro equivalenza è un fatto che ti devi bere così, non puoi darne spiegazione ulteriore in termini di principio. Per fare questo devi scomodare la relatività generale.
Mi pare ci sia una analogia con l'equivalenza calore - energia di Joule: in un contesto macroscopico, il fatto che calore e lavoro meccanico siano proporzionali (e quindi, scegliendo per essi la stessa unità di misura, numericamente uguali) è un fatto sperimentale che non puoi spiegare ulteriormente. Per fare questo devi usare la meccanica statistica.
In meccanica classica, la massa gravitazionale è una cosa (si tratta della \(m\) che compare nella legge della gravitazione), la massa inerziale un'altra (la \(m\) che compare nell'equazione della dinamica) e la loro equivalenza è un fatto che ti devi bere così, non puoi darne spiegazione ulteriore in termini di principio. Per fare questo devi scomodare la relatività generale.
Mi pare ci sia una analogia con l'equivalenza calore - energia di Joule: in un contesto macroscopico, il fatto che calore e lavoro meccanico siano proporzionali (e quindi, scegliendo per essi la stessa unità di misura, numericamente uguali) è un fatto sperimentale che non puoi spiegare ulteriormente. Per fare questo devi usare la meccanica statistica.
Ma non è affatto vero che massa inerziale e massa gravitazionale siano uguali!
Guardando le equazioni della fisica classica mi risulta che $m_(g )=\sqrt(G)m_i$.
O no?
Guardando le equazioni della fisica classica mi risulta che $m_(g )=\sqrt(G)m_i$.
O no?
La differenza tra le due masse è molto netta, almeno a livello concettuale.La massa gravitazionale è legata alla capacità di generare un campo gravitazionale, quindi un corpo con massa gravitazionale genererà un campo gravitazionale secondo la legge $C=(G*M)/R^2$.
La massa inerziale invece esprime la capacità di un corpo di perseverare nel suo stato di quiete o di moto, quindi di opporsi a eventuali accelerazioni/decelerazioni.
La massa inerziale invece esprime la capacità di un corpo di perseverare nel suo stato di quiete o di moto, quindi di opporsi a eventuali accelerazioni/decelerazioni.
Concordo con la differenza a livello concettuale che si pone tra le due masse, ma da un punto di vista quantitativo sono la stessa entità, o mi sbaglio?
"Falco5x":
Ma non è affatto vero che massa inerziale e massa gravitazionale siano uguali!
Guardando le equazioni della fisica classica mi risulta che $m_(g )=\sqrt(G)m_i$.
O no?
Da cosa deduci ciò?
A livello quantitativo sono identiche, misteriosamente! xD
"Slashino":
A livello quantitativo sono identiche, misteriosamente! xD
CHissà...
"menale":
[quote="Falco5x"]Ma non è affatto vero che massa inerziale e massa gravitazionale siano uguali!
Guardando le equazioni della fisica classica mi risulta che $m_(g )=\sqrt(G)m_i$.
O no?
Da cosa deduci ciò?[/quote]
E' un po' una battuta e una provocazione, ma non troppo.
Supponiamo che si vogliano definire due caratterisatiche della materia, la prima detta massa inerziale tale che la massa unitaria soggetta alla forza unitaria dia luogo alla accelerazione unitaria, la seconda chiamata massa gravitazionale tale che due masse unitarie poste a distanza unitaria si attraggano con una forza attrattiva unitaria (a parità di masse la forza in questione deve diminuire col quadrato della distanza).
Detto in formule:
$m_i=F/a$
$m_g\cdotm_(g)=Fr^2$
Si è visto che le formule sono valide entrambe solo se si pone $m_(g )=\sqrt(G)m_i$.
Il fattore G mette d'acordo le due masse che sono sia concettualmente che numericamente molto diverse tra loro, anche se perfettamente proporzionali.
Allora invece di definire due masse se ne è definita solo una, quella che ho chiamato $m_i$ chiamandola semplicemente m, mentre al posto dell'altra si è preferito mettere il fatore G a secondo membro a denominatore, scrivendo così:
$m=F/a$
$m\cdotm=F(r^2)/(G)$
Ah, ok ok. Comunque anche attraverso la tua spiegazione, Falco5x, ne deduco che differenze anche quantitative, oltre che qualitative, vi sono e come, per quanto minime possano sembrare.
Non è ben detto, menale. Io veramente non sono completamente d'accordo con Falco su un punto: la costante \(G\). Questa costante non è data a priori, infatti, ma è definita apposta in modo tale che faccia tornare i conti nell'equazione
\[\tag{1} F=G \frac{m_1 m_2}{r^2}.\]
Io infatti direi che noi assumiamo quale proprietà fondamentale della materia l'avere inerzia, quantificata da una grandezza detta massa (inerziale) con le proprietà che sappiamo (è positiva, è additiva, eccetera). Succede poi che a Newton cade in testa la famosa mela e allora egli compie i suoi celebri studi sulla gravitazione concludendo che l'attrazione gravitazionale è direttamente proporzionale al prodotto delle masse (inerziali) e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Questo significa che esiste una certa costante, che chiameremo \(G\), tale da fare valere l'equazione (1).
Quale sia, numericamente, questa costante, dipende dalla scelta delle unità di misura. Volendo, potremmo anche scegliere le unità di misura in modo tale che \(G=1\). Il mistero in questa teoria è: "perché nell'equazione (1) compare proprio la massa inerziale, e non un'altra proprietà della materia tagliata specificamente per l'attrazione gravitazionale?".
Come dicevo, in ambito classico questo mistero va bevuto e basta: è così perché gli esperimenti sono in accordo con l'equazione (1). In ambito relativistico invece le cose cambiano, ma di questo non so dire assolutamente nulla.
\[\tag{1} F=G \frac{m_1 m_2}{r^2}.\]
Io infatti direi che noi assumiamo quale proprietà fondamentale della materia l'avere inerzia, quantificata da una grandezza detta massa (inerziale) con le proprietà che sappiamo (è positiva, è additiva, eccetera). Succede poi che a Newton cade in testa la famosa mela e allora egli compie i suoi celebri studi sulla gravitazione concludendo che l'attrazione gravitazionale è direttamente proporzionale al prodotto delle masse (inerziali) e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Questo significa che esiste una certa costante, che chiameremo \(G\), tale da fare valere l'equazione (1).
Quale sia, numericamente, questa costante, dipende dalla scelta delle unità di misura. Volendo, potremmo anche scegliere le unità di misura in modo tale che \(G=1\). Il mistero in questa teoria è: "perché nell'equazione (1) compare proprio la massa inerziale, e non un'altra proprietà della materia tagliata specificamente per l'attrazione gravitazionale?".
Come dicevo, in ambito classico questo mistero va bevuto e basta: è così perché gli esperimenti sono in accordo con l'equazione (1). In ambito relativistico invece le cose cambiano, ma di questo non so dire assolutamente nulla.
@dissonance
Mi sembra che tu abbia inquadrato correttamente il problema. Ammesso che ogni corpo possa essere descritto da una grandezza fisica chiamata massa inerziale e da una grandezza fisica chiamata massa gravitazionale, l'evidenza empirica, l'esperimento di Eotvos per esempio, ci dice che il loro rapporto è costante, cioè indipendente dal corpo preso in considerazione. Scegliendo opportunamente le unità di misura, è possibile fare in modo che questa costante valga $1$ e quindi affermare l'uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale. Questa posizione giustifica la presenza della costante $G$ nell'usuale espressione della forza gravitazionale.
Mi sembra che tu abbia inquadrato correttamente il problema. Ammesso che ogni corpo possa essere descritto da una grandezza fisica chiamata massa inerziale e da una grandezza fisica chiamata massa gravitazionale, l'evidenza empirica, l'esperimento di Eotvos per esempio, ci dice che il loro rapporto è costante, cioè indipendente dal corpo preso in considerazione. Scegliendo opportunamente le unità di misura, è possibile fare in modo che questa costante valga $1$ e quindi affermare l'uguaglianza tra massa inerziale e massa gravitazionale. Questa posizione giustifica la presenza della costante $G$ nell'usuale espressione della forza gravitazionale.
Dunque la differenza o l'uguaglianza tra le due strutture resta un mistero, stando alle ultime conclusioni.
"menale":
Dunque la differenza o l'uguaglianza tra le due strutture resta un mistero, stando alle ultime conclusioni.
In che senso un mistero? Se per mistero intendi una cosa come il perchè la massa dell'elettrone ha il valore che ha, allora sì, si tratta di un mistero.
"dissonance":
Non è ben detto, menale. Io veramente non sono completamente d'accordo con Falco su un punto: la costante \(G\). Questa costante non è data a priori, infatti, ma è definita apposta in modo tale che faccia tornare i conti
Ma certo che le cose stanno così, ho ben detto che la mia era una mezza provocazione.
E l'ho detta per far capire che le due masse sono numericamente uguali solo perché abbiamo voluto far quadrare i conti in questo modo, però abbiamo potuto farlo proprio grazie al fatto, questo sì davvero sorprendente, che tra due proprietà concettualmente assai diverse esiste una relazione di proporzionalità diretta.
E in questa proporzionalità è insito qualcosa di profondo, perché grazie a essa risulta impossibile distiguere con mezzi interni tra alcune forze apparenti dovute a un sistema accelerato e forze reali dovute a una gravitazione in atto.
Molto interessante questa visione, Falco5x.
@speculor-Non intendevo "mistero" in quel senso. Era più un mistero legato alle "leggi di natura".
@speculor-Non intendevo "mistero" in quel senso. Era più un mistero legato alle "leggi di natura".
"Falco5x":Lo so bene che tu lo sai ( come direbbe Celentano
Ma certo che le cose stanno così, ho ben detto che la mia era una mezza provocazione.
), e molto meglio di me! Spero di non averti offeso. E in questa proporzionalità è insito qualcosa di profondo, perché grazie a essa risulta impossibile distiguere con mezzi interni tra alcune forze apparenti dovute a un sistema accelerato e forze reali dovute a una gravitazione in atto.
Già. Immagino che sia proprio questa osservazione una delle chiavi di volta della teoria moderna della gravitazione. Pur non sapendone nulla, suggerirei a menale la lettura di questo articolo divulgativo:
http://en.wikisource.org/wiki/Time,_Spa ... ravitation
è scritto da Einstein in persona e parla proprio di questo argomento.
Caro, dissonance, l'articolo era interessante, soprattutto nel momento in cui mette in evidenza come le nuove teorie sulla gravitazione, divergano dalle congetture newtoniane.
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