Massa in fondo e in cima a torre
Ciao, amici!
Ho trovato un problemino di cui trovo una soluzione diversa da quella del libro. Si tratta di calcolare la variazione della massa (relativistica, direi) di un oggetto di 1.00 kg trasportato dalla base (per cui uso il pedice b) alla cima (pedice h) della Tour Eiffel, di cui si considera un'altezza di 300 m.
Calcolerei la velocità tangenziale dell'oggetto al livello del suolo come $v_b=(2\piR)/(86400s)$ dove R è il raggio della terra e in cima alla torre (chiamandone h l'altezza) come $v_h=(2\pi(R+h))/(86400s)$, quindi mi pare che la differenza delle masse relativistiche dovrebbe essere
$\Deltam=m_0/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_b=(m_bsqrt(1-(v_b/c)^2))/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_b~~(1.00kg*sqrt(1-((2\pi6.368*10^6m)/(86400s*3.00*10^8m/s))^2))/sqrt(1-((2\pi(6.368*10^6m+300m))/(86400s*3.00*10^8m/s))^2)-1.00kg~~1.12*10^(-16)kg$
mentre il mio libro dà $1.64*10^-14$ kg. Considerando invece 1.00 kg come massa a riposo il risultato non mi cambierebbe per le prime tre cifre significative calcolando
$\Deltam=m_0/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_0/sqrt(1-(v_b/c)^2)~~1.00kg*(1/sqrt(1-((2\pi(6.368*10^6m+300m))/(86400s*3.00*10^8m/s))^2)-1/sqrt(1-((2\pi6.368*10^6m)/(86400s*3.00*10^8m/s))^2)) ~~1.12*10^(-16)kg$
Che ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Davide
Ho trovato un problemino di cui trovo una soluzione diversa da quella del libro. Si tratta di calcolare la variazione della massa (relativistica, direi) di un oggetto di 1.00 kg trasportato dalla base (per cui uso il pedice b) alla cima (pedice h) della Tour Eiffel, di cui si considera un'altezza di 300 m.
Calcolerei la velocità tangenziale dell'oggetto al livello del suolo come $v_b=(2\piR)/(86400s)$ dove R è il raggio della terra e in cima alla torre (chiamandone h l'altezza) come $v_h=(2\pi(R+h))/(86400s)$, quindi mi pare che la differenza delle masse relativistiche dovrebbe essere
$\Deltam=m_0/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_b=(m_bsqrt(1-(v_b/c)^2))/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_b~~(1.00kg*sqrt(1-((2\pi6.368*10^6m)/(86400s*3.00*10^8m/s))^2))/sqrt(1-((2\pi(6.368*10^6m+300m))/(86400s*3.00*10^8m/s))^2)-1.00kg~~1.12*10^(-16)kg$
mentre il mio libro dà $1.64*10^-14$ kg. Considerando invece 1.00 kg come massa a riposo il risultato non mi cambierebbe per le prime tre cifre significative calcolando
$\Deltam=m_0/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_0/sqrt(1-(v_b/c)^2)~~1.00kg*(1/sqrt(1-((2\pi(6.368*10^6m+300m))/(86400s*3.00*10^8m/s))^2)-1/sqrt(1-((2\pi6.368*10^6m)/(86400s*3.00*10^8m/s))^2)) ~~1.12*10^(-16)kg$
Che ne pensate?
Grazie di cuore a tutti!!!
Davide
Risposte
non sono un esperto di reatività, però credo che il fenomeno a cui si riferisce l'esercizio è quello dell'equivalenza massa-energia. e siccome il corpo guadagna in energia (potenziale) deve perdere in massa..
"giacor86":
non sono un esperto di reatività, però credo che il fenomeno a cui si riferisce l'esercizio è quello dell'equivalenza massa-energia. e siccome il corpo guadagna in energia (potenziale) deve perdere in massa..
be ma se è qualcuno che ce lo porta in cima alla torre l'energia non è conservata, o sbaglio?
Grazie a tutti, amici!
Qualcuno potrebbe mica spiegare come sono legate l'energia potenziale gravitazionale e la massa relativistica? Ho provato con $m_2-m_1=(\DeltaE)/c^2=(\DeltaU+\DeltaK)/c^2=(-(GM(m_1\gamma_2/\gamma_1))/R_2-(-GMm_1)/R_1)/c^2+(\DeltaK)/c^2$ dove con $m_1\gamma_2/\gamma_1=m_1sqrt(1-(v_2/c)^2)/sqrt(1-(v_1/c)^2)$ (sono gamma, anche se sembrano un po' hypsilon) ho tenuto conto della variazione di velocità tangenziale dovuta all'aumento di distanza dal centro della terra (assumendo che $m_1$ sia la massa relativistica alla base, per cui la massa a riposo sarebbe $m_0=m_1/\gamma_1$). Così $\Deltam$, includendo il $(\DeltaK)/c^2$ calcolato all'inizio del thread, mi risulta $(3.27*10^-14+1.12*10^-16)$ kg...
Curiosamente l'esercizio proposto dal mio libro è "a crocette" e una delle risposte elencate è proprio $3.27*10^-14$ anche se quella indicata come giusta nelle soluzioni è $1.64*10^-14$...
Che cosa ne pensate?
Grazie $+oo$ a tutti!!!
Qualcuno potrebbe mica spiegare come sono legate l'energia potenziale gravitazionale e la massa relativistica? Ho provato con $m_2-m_1=(\DeltaE)/c^2=(\DeltaU+\DeltaK)/c^2=(-(GM(m_1\gamma_2/\gamma_1))/R_2-(-GMm_1)/R_1)/c^2+(\DeltaK)/c^2$ dove con $m_1\gamma_2/\gamma_1=m_1sqrt(1-(v_2/c)^2)/sqrt(1-(v_1/c)^2)$ (sono gamma, anche se sembrano un po' hypsilon) ho tenuto conto della variazione di velocità tangenziale dovuta all'aumento di distanza dal centro della terra (assumendo che $m_1$ sia la massa relativistica alla base, per cui la massa a riposo sarebbe $m_0=m_1/\gamma_1$). Così $\Deltam$, includendo il $(\DeltaK)/c^2$ calcolato all'inizio del thread, mi risulta $(3.27*10^-14+1.12*10^-16)$ kg...
Curiosamente l'esercizio proposto dal mio libro è "a crocette" e una delle risposte elencate è proprio $3.27*10^-14$ anche se quella indicata come giusta nelle soluzioni è $1.64*10^-14$...
Che cosa ne pensate?
Grazie $+oo$ a tutti!!!
Dovrei fare un'aggiunta: ho dato per scontato che il problema proponesse di calcolare la variazione di massa relativistica, ma credo che una variazione di energia non cinetica, come quella potenziale gravitazionale, porti nel sistema di riferimento una variazione della massa a riposo, non di quella relativistica... o non è così?
In questo caso, considererei la variazione massa a riposo
$m_(0,f)-m_(0,i)=(\DeltaU)/c^2=(-(GMm_(0,f))/(r_f)-(-GMm_(0,i))/r_i)/c^2$ da cui $\Deltam_0=((((GM)/r_i)+c^2)/(((GM)/r_f)+c^2)-1)m_(0,i)$ che, a tre cifre significative, è sempre $3.27*10^-14$ kg.
È giusto il mio ragionamento specialmente per quanto riguarda la relazione tra energia potenziale e massa a riposo?
Grazie $+oo$ a tutti!!!!!
In questo caso, considererei la variazione massa a riposo
$m_(0,f)-m_(0,i)=(\DeltaU)/c^2=(-(GMm_(0,f))/(r_f)-(-GMm_(0,i))/r_i)/c^2$ da cui $\Deltam_0=((((GM)/r_i)+c^2)/(((GM)/r_f)+c^2)-1)m_(0,i)$ che, a tre cifre significative, è sempre $3.27*10^-14$ kg.
È giusto il mio ragionamento specialmente per quanto riguarda la relazione tra energia potenziale e massa a riposo?
Grazie $+oo$ a tutti!!!!!
"giacor86":
non sono un esperto di reatività, però credo che il fenomeno a cui si riferisce l'esercizio è quello dell'equivalenza massa-energia. e siccome il corpo guadagna in energia (potenziale) deve perdere in massa..
...azz
comunque davide da genova stavi ragionando in maniera esatta, usando la tua notazione, la variazione di 'massa' è
$ Deltam=m_0/sqrt(1-(v_h/c)^2)-m_0/sqrt(1-(v_b/c)^2) $
poichè il moto è palesemente non relativistico $v_h, v_b < < c$ si ha
$ Deltam ~~ m_0/(2c^2)(v_h^2-v_b^2) ~~ m_0/(2c^2)(2pi)(2hR)/T $
inoltre se si tiene conto che $h < < R$
$ Deltam ~~ m_0/(2c^2)(2pi)(2hR)/T $
dove $T$ è il tempo di rotazione terrestre e $m_0$ è un kilo, e se non sbaglio è dell'ordine di $10^-14 kg$ .
Grazie di cuore a Zerolucat e a tutti per gli interventi!!!
È quindi corretta la mia interpretazione che una variazione di energia non cinetica, come quella potenziale gravitazionale, porta nel sistema di riferimento una variazione della massa a riposo, non di quella relativistica? Dato che mi pare che $E-K=m_0c^2$...
Allo stesso modo mi pare che la massa a riposo possa variare con una perdita di energia cinetica in un sistema chiuso, per esempio in un urto anelastico, se si conserva invece la massa relativistica m, visto che l'energia cinetica è $K=mc^2-m_0c^2$: dico bene?
Scusate l'ignoranza, ma il mio testo non affronta l'argomento degli urti che in maniera sommaria e poi presenta diversi esercizi sull'argomento...
P.S.: Non ho ben capito perché $v_h, v_b < < c => \Deltam ~~ m_0/(2c^2)(v_h^2-v_b^2) ~~ m_0/(2c^2)(2pi)(2hR)/T$...
È quindi corretta la mia interpretazione che una variazione di energia non cinetica, come quella potenziale gravitazionale, porta nel sistema di riferimento una variazione della massa a riposo, non di quella relativistica? Dato che mi pare che $E-K=m_0c^2$...
Allo stesso modo mi pare che la massa a riposo possa variare con una perdita di energia cinetica in un sistema chiuso, per esempio in un urto anelastico, se si conserva invece la massa relativistica m, visto che l'energia cinetica è $K=mc^2-m_0c^2$: dico bene?
Scusate l'ignoranza, ma il mio testo non affronta l'argomento degli urti che in maniera sommaria e poi presenta diversi esercizi sull'argomento...
P.S.: Non ho ben capito perché $v_h, v_b < < c => \Deltam ~~ m_0/(2c^2)(v_h^2-v_b^2) ~~ m_0/(2c^2)(2pi)(2hR)/T$...
oh, scusate, non avevo capito assolutamente il problema.
Tranquillo, siamo tutti qui per imparare..
Grazie a tutti per i contributi!!!!
E i miei sono deliri o è vero che una variazione di energia non cinetica (come quella potenziale gravitazionale) porta nel sistema di riferimento una variazione della massa a riposo e non di quella relativistica, dato che mi pare che l'energia non cinetica sia $E-K=m_0c^2$ e quindi dipendente da $m_0$ mentre $c^2$ è costante?
Grazie $+oo$ a tutti!!!!
E i miei sono deliri o è vero che una variazione di energia non cinetica (come quella potenziale gravitazionale) porta nel sistema di riferimento una variazione della massa a riposo e non di quella relativistica, dato che mi pare che l'energia non cinetica sia $E-K=m_0c^2$ e quindi dipendente da $m_0$ mentre $c^2$ è costante?
Grazie $+oo$ a tutti!!!!
Mi rispondo per condividere ciò che ho trovato sull'argomento. Da Introduction to elementary particles di David Griffiths, che ho consultato su Googlebooks, risulta proprio che, dato che $\Delta(E-K)=c^2Deltam_0$, se l'energia cinetica non si conserva in un urto avvenuto in un sistema isolato, dove $\DeltaE=0=\Delta(E-K)+\DeltaK$, varia anche la massa a riposo $m_0$.
Mi sembrerebbe quindi anche del tutto corretto affermare che $\Delta(E-K)=c^2\Deltam_0$ contiene anche l'energia potenziale gravitazionale, così come contiene quella potenziale elastica, per esempio.
Ciao a tutti!
Mi sembrerebbe quindi anche del tutto corretto affermare che $\Delta(E-K)=c^2\Deltam_0$ contiene anche l'energia potenziale gravitazionale, così come contiene quella potenziale elastica, per esempio.
Ciao a tutti!
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