Massa di una molla nella legge di Hooke
Non capisco perchè nella legge di Hooke, verificandola sperimentalmente con un sensore di forza a cui è appesa una molla, con attaccata una massa $M$ sospesa in aria, la massa efficace del sistema sia $M_[EFF]=M+m/3$, dove $m$ è la massa della molla... ad esempio, quando il sistema è in equilibrio non vedo perchè il sensore di forza debba registrare una forza pari a: $\bar F$$=$$(M+m/3) \bar g$...
Risposte
Prova qui: http://vic.com/~syost/physics/spring.pdf. Inoltre, ne parlarono sommariamente anche in questo forum: molla-e-gravita-t10232.html?hilit=mass
Già.
Anche a me non torna affatto quel m/3; ho fatto due conti e mi salta fuori m/2.
Riporto qua sotto il mio ragionamento, può darsi che abbia sbagliato io qualcosa, e nel qual caso chi mi segnala dove sta l'errore sarà un benemerito.
Problema: prendiamo una molla di costante k e massa m, appendiamola al soffitto e attacchiamoci sotto la massa M. Di quanto si allunga la molla? quale massa dovrei attaccare ad una molla avente medesimo k e massa nulla per avere lo stesso allungamento?
Per comodità sistemo un asse verticale orientato verso l'alto e con l'origine sul punto dove è attaccata la massa M. La lunghezza della molla già in trazione sia L, la lunghezza della stessa a riposo sia $L_0$. Il soffitto dunque si pone ad ascissa y=L.
Per prima cosa mi sono proposto di mettere in relazione la lunghezza di un tratto di molla con lo sforzo di trazione in quel punto, e mi è venuta fuori la seguente relazione:
[tex]\frac{{dy}}{{dm}} = \frac{\tau }{{mk}} + \frac{{{L_0}}}{m}[/tex]
($\tau$ è lo sforzo di trazione)
Non sto a spiegare questa formula, l'ho ricavata dalla relazione di base delle molle senza massa [tex]F = k\left( {L - {L_0}} \right)[/tex])
La formula dice quale deve essere la lunghezza di un trattino di molla di massa dm sottoposta in quel punto a uno sforzo di trazione $\tau$, stante m la massa totale della molla e $L_0$ la sua lunghezza a riposo.
Per una molla appesa si sa anche che la gravità aumenta lo sforzo di trazione della molla all'aumentare di y nella seguente misura:
[tex]d\tau = gdm[/tex]
Sostituendo ottengo:
[tex]\begin{array}{l}
g\frac{{dy}}{{d\tau }} = \frac{\tau }{{mk}} + \frac{{{L_0}}}{m} \\
dy = \frac{1}{{mg}}\left( {\frac{\tau }{k}d\tau + {L_0}d\tau } \right) \\
y = \frac{1}{{mg}}\left( {\frac{{\left( {{\tau ^2} - {\tau _0}^2} \right)}}{{2k}} + \left( {\tau - {\tau _0}} \right){L_0}} \right) \\
\end{array}[/tex]
Le condizioni per y=0 e y=L sono:
[tex]\begin{array}{l}
{\tau _0} = Mg \\
\tau = \left( {M + m} \right)g \\
\end{array}[/tex]
Sostituendo ottengo:
[tex]\begin{array}{l}
L = \frac{1}{{mg}}\left( {\frac{{\left( {{{\left( {m + M} \right)}^2}{g^2} - {M^2}{g^2}} \right)}}{{2k}} + \left( {\left( {m + M} \right)g - Mg} \right){L_0}} \right) \\
L = \frac{{gm}}{{2k}}\left( {1 + 2\frac{M}{m}} \right) + {L_0} \\
\end{array}[/tex]
L'allungamento della molla è dunque:
[tex]\Delta L = \frac{{gm}}{{2k}}\left( {1 + 2\frac{M}{m}} \right)[/tex]
Se avessi una molla senza massa, per avere il medesimo allungamento dovrei appendere una massa equivalente secondo la formula:
[tex]\Delta L = \frac{{g{M_{eq}}}}{k}[/tex]
da cui l'equivalenza:
[tex]{M_{eq}} = \frac{m}{2}\left( {1 + 2\frac{M}{m}} \right) = \frac{m}{2} + M[/tex]
Insomma quel m/3 non mi esce fuori in nessun caso.
Anche a me non torna affatto quel m/3; ho fatto due conti e mi salta fuori m/2.
Riporto qua sotto il mio ragionamento, può darsi che abbia sbagliato io qualcosa, e nel qual caso chi mi segnala dove sta l'errore sarà un benemerito.
Problema: prendiamo una molla di costante k e massa m, appendiamola al soffitto e attacchiamoci sotto la massa M. Di quanto si allunga la molla? quale massa dovrei attaccare ad una molla avente medesimo k e massa nulla per avere lo stesso allungamento?
Per comodità sistemo un asse verticale orientato verso l'alto e con l'origine sul punto dove è attaccata la massa M. La lunghezza della molla già in trazione sia L, la lunghezza della stessa a riposo sia $L_0$. Il soffitto dunque si pone ad ascissa y=L.
Per prima cosa mi sono proposto di mettere in relazione la lunghezza di un tratto di molla con lo sforzo di trazione in quel punto, e mi è venuta fuori la seguente relazione:
[tex]\frac{{dy}}{{dm}} = \frac{\tau }{{mk}} + \frac{{{L_0}}}{m}[/tex]
($\tau$ è lo sforzo di trazione)
Non sto a spiegare questa formula, l'ho ricavata dalla relazione di base delle molle senza massa [tex]F = k\left( {L - {L_0}} \right)[/tex])
La formula dice quale deve essere la lunghezza di un trattino di molla di massa dm sottoposta in quel punto a uno sforzo di trazione $\tau$, stante m la massa totale della molla e $L_0$ la sua lunghezza a riposo.
Per una molla appesa si sa anche che la gravità aumenta lo sforzo di trazione della molla all'aumentare di y nella seguente misura:
[tex]d\tau = gdm[/tex]
Sostituendo ottengo:
[tex]\begin{array}{l}
g\frac{{dy}}{{d\tau }} = \frac{\tau }{{mk}} + \frac{{{L_0}}}{m} \\
dy = \frac{1}{{mg}}\left( {\frac{\tau }{k}d\tau + {L_0}d\tau } \right) \\
y = \frac{1}{{mg}}\left( {\frac{{\left( {{\tau ^2} - {\tau _0}^2} \right)}}{{2k}} + \left( {\tau - {\tau _0}} \right){L_0}} \right) \\
\end{array}[/tex]
Le condizioni per y=0 e y=L sono:
[tex]\begin{array}{l}
{\tau _0} = Mg \\
\tau = \left( {M + m} \right)g \\
\end{array}[/tex]
Sostituendo ottengo:
[tex]\begin{array}{l}
L = \frac{1}{{mg}}\left( {\frac{{\left( {{{\left( {m + M} \right)}^2}{g^2} - {M^2}{g^2}} \right)}}{{2k}} + \left( {\left( {m + M} \right)g - Mg} \right){L_0}} \right) \\
L = \frac{{gm}}{{2k}}\left( {1 + 2\frac{M}{m}} \right) + {L_0} \\
\end{array}[/tex]
L'allungamento della molla è dunque:
[tex]\Delta L = \frac{{gm}}{{2k}}\left( {1 + 2\frac{M}{m}} \right)[/tex]
Se avessi una molla senza massa, per avere il medesimo allungamento dovrei appendere una massa equivalente secondo la formula:
[tex]\Delta L = \frac{{g{M_{eq}}}}{k}[/tex]
da cui l'equivalenza:
[tex]{M_{eq}} = \frac{m}{2}\left( {1 + 2\frac{M}{m}} \right) = \frac{m}{2} + M[/tex]
Insomma quel m/3 non mi esce fuori in nessun caso.
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