Manubrio e velocità angolare di rotazione
Un corpo puntiforme di massa $M = 2.4 kg$ è attaccato all’estremità di un’asta rigida, sottile, avente massa trascurabile e lunghezza $L = 1.2 m$ avente l’altra estremità ancorata ad una cerniera liscia O.
Un secondo corpo puntiforme di massa $m = M/2$ è fissato all’altra estremità dell’asta incernierata nel punto O. Il corpo fissato all’estremità inferiore dell’asta è tirato lateralmente da una corda in configurazione orizzontale in modo tale che l’asta formi un angolo $theta = pi/3 rad $ con la verticale.
Determinare nel sistema di coordinate cartesiane Oxyz, indicato in figura:
a) la tensione T della corda;
b) la reazione R esercitata dalla cerniera sull’asta nel punto di sospensione;
c) nell’ipotesi che la corda improvvisamente si spezzi, la velocità angolare di rotazione del sistema quando l’asta raggiunge le configurazione verticale.
SOL:
a)
Visto che il corpo rigido è in equilibrio, allora il momento delle forze esterne è nullo.
Prendo come polo O, pertanto il momento delle forze agenti sulla massa M è $ vecr_Mxx(Mvecg+vecT_M) = vecr_MxxMvecg + vecr_MxxvecT_M =0$
Sviluppando i prodotti vettoriali:
$-LMgsen(theta) + LT_Msen(150)=0$
da cui $T_M=Mgsqrt(3)$.
b)
Un'altra condizione per l'equilibrio è che la risultante delle forze esterne sia nulla.
Pertanto lungo l'asse x: $vecR + vecT_M=0$ per cui $R=T_M=Mgsqrt(3)$.
c)
Posso usare la conservazione dell'energia meccanica.
$E_(m,i)=mgLsen(theta)=mgLsen(30)$
$E_(m,f)=1/2M(Ldot(theta))^2$
Uguagliando: $ dot(theta)^2=g/L $
e quindi $dottheta=w=sqrt(g/L)$.
E' corretto ? Grazie mille a chiunque vorrà confermare o correggermi
Un secondo corpo puntiforme di massa $m = M/2$ è fissato all’altra estremità dell’asta incernierata nel punto O. Il corpo fissato all’estremità inferiore dell’asta è tirato lateralmente da una corda in configurazione orizzontale in modo tale che l’asta formi un angolo $theta = pi/3 rad $ con la verticale.
Determinare nel sistema di coordinate cartesiane Oxyz, indicato in figura:
a) la tensione T della corda;
b) la reazione R esercitata dalla cerniera sull’asta nel punto di sospensione;
c) nell’ipotesi che la corda improvvisamente si spezzi, la velocità angolare di rotazione del sistema quando l’asta raggiunge le configurazione verticale.
SOL:
a)
Visto che il corpo rigido è in equilibrio, allora il momento delle forze esterne è nullo.
Prendo come polo O, pertanto il momento delle forze agenti sulla massa M è $ vecr_Mxx(Mvecg+vecT_M) = vecr_MxxMvecg + vecr_MxxvecT_M =0$
Sviluppando i prodotti vettoriali:
$-LMgsen(theta) + LT_Msen(150)=0$
da cui $T_M=Mgsqrt(3)$.
b)
Un'altra condizione per l'equilibrio è che la risultante delle forze esterne sia nulla.
Pertanto lungo l'asse x: $vecR + vecT_M=0$ per cui $R=T_M=Mgsqrt(3)$.
c)
Posso usare la conservazione dell'energia meccanica.
$E_(m,i)=mgLsen(theta)=mgLsen(30)$
$E_(m,f)=1/2M(Ldot(theta))^2$
Uguagliando: $ dot(theta)^2=g/L $
e quindi $dottheta=w=sqrt(g/L)$.
E' corretto ? Grazie mille a chiunque vorrà confermare o correggermi
Risposte
La reazione della cerniera ha sia componente verticale sia orizzontale, tu hai trovato solo la componente orizzontale.
C'è qualcosa che non va nelle energie iniziali e finali che hai trovato, quale punto hai preso come riferimento per il potenziale?
C'è qualcosa che non va nelle energie iniziali e finali che hai trovato, quale punto hai preso come riferimento per il potenziale?
il punto b) in realtà chiedeva la reazione del gancio. E' stato un errore di copiatura del testo, grazie per avermelo fatto notare. E' corretto in tal caso?
Come riferimento ho preso il potenziale nullo quando l'asta è disposta orizzontalmente, mentre massimo se è disposta lungo la verticale...
avrei dovuto forse scrivere: $E_(m,f)=1/2M(Ldot(theta))^2 + MgL$ ?
Come riferimento ho preso il potenziale nullo quando l'asta è disposta orizzontalmente, mentre massimo se è disposta lungo la verticale...
avrei dovuto forse scrivere: $E_(m,f)=1/2M(Ldot(theta))^2 + MgL$ ?
Se la quota del potenziale zero è quando l'asta è verticale, allora l'energia potenziale iniziale è $U_i=-MgLcostheta$, mentre la finale è $U_f=-MgL$
Per come è stato scelto il riferimento le due energie non dovrebbero avere il segno negativo..o sbaglio ?
L'espressione dell'energia cinetica, visto che il moto è rotazionale è $E_k=1/2(I)w^2$ ?
Quindi la conservazione dell'energia diventa: $MgLcos(theta) =1/2(I)w^2 + MgL$
E' corretto ora?
L'espressione dell'energia cinetica, visto che il moto è rotazionale è $E_k=1/2(I)w^2$ ?
Quindi la conservazione dell'energia diventa: $MgLcos(theta) =1/2(I)w^2 + MgL$
E' corretto ora?
Si l'energia cinetica va bene, la potenziale no...perché dici che le due energia potenziali devono essere negative e poi le metti positive?
Le ho messe positive per come è orientato il sistema di riferimento. Non capisco dove sto sbagliando.
Tutto ciò che si trova sopra la quota dello zero ha energia potenziale positiva, tutto ciò che si trova sotto ha energia potenziale negativa...non è che se sei su un palazzo e lasci cadere un sasso fissando un asse orientato in giù allora l'energia potenziale del sasso aumenta mentre cade dal palazzo...
Ora mi è chiaro !
Pertanto la conservazione diventa:
$-MgL/2=1/2Iw^2 - MgL$
da cui trovo che $w^2=MgL/I$
$I$ deve essere il momento d'inerzia calcolato rispetto ad un asse passante per il centro di massa, giusto ?
Ho che $x_(cm)=L/3 $ mentre $y_(cm)=Lsqrt(3)/3 $.
Per trovare il momento d'inerzia applico la definizione $I=sum m_iR_i^2=sum m_i(x_i^2 + y_i^2)$. ?
Pertanto la conservazione diventa:
$-MgL/2=1/2Iw^2 - MgL$
da cui trovo che $w^2=MgL/I$
$I$ deve essere il momento d'inerzia calcolato rispetto ad un asse passante per il centro di massa, giusto ?
Ho che $x_(cm)=L/3 $ mentre $y_(cm)=Lsqrt(3)/3 $.
Per trovare il momento d'inerzia applico la definizione $I=sum m_iR_i^2=sum m_i(x_i^2 + y_i^2)$. ?
Il momento di inerzia è quello relativo all'asse attorno al quale ruota l'asta
Ok. L'asta ruota attorno all'asse passante per la massa m, incernierata nel punto O.
Il suo momento di inerzia è $I_O=m*0 + M*L^2=ML^2$
quindi $w =sqrt(g/L)$.
Ti ringrazio moltissimo per la tua disponibilità nel farmi ragionare
Il suo momento di inerzia è $I_O=m*0 + M*L^2=ML^2$
quindi $w =sqrt(g/L)$.
Ti ringrazio moltissimo per la tua disponibilità nel farmi ragionare
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