Manubrio attaccato ad un perno

[ennegi]

Ciao a tutti sono ancora qui
Vi presento questo problemino che ho svolto ma so che non l'ho svolto correttamente...mi servirebbe una mano per capire dov'è l'errore

Due corpi puntiformi di massa m=2 kg e M=6kg sono fissati alle estremità di un'asta rigida, sottile di massa trascurabile e di lunghezza L = 0,8 m, formando un manubrio asimmetrico. Il manubrio è imperniato su un asse orizzontale fisso passante per il punto medio O dell'asta attorno a cui il sistema può ruotare senza attrito. Il manubrio viene mantenuto in quiete in configurazione orizzontale tramite un filo ideale disposto verticalmente che collega la massa m ad un gancio G ancorato al suolo.



Dati:

- m = 2 kg
- M = 6 kg
- L = 0,5 m


Domanda:
trovare la tensione della fune T e la reazione del vincolo in O





Soluzione:





$ma = -F_{pm} + R - T = 0 $
$Ma = - F_{pM} + R = 0 $

incognite: R e T
uso la formula sottostante per risolvere il problema

$\sum_{i=1}^{n} (F_i \times r_i) = 0$

$F_{pm} \times \sin \theta \cdot \frac{L}{2} - F_{pM}F \times \sin \theta \cdot \frac{L}{2} + R \times 0 - T \times \sin \theta \cdot \frac{L}{2} = 0 $

in questo modo non serve più considerare R perché la distanza da O a R è 0
$\theta = 90$° quindi $\sin \theta = 1$

$-F_{pm} \cdot \frac{L}{2} - F_{pM} \cdot \frac{L}{2} = T \cdot \frac{L}{2} $

$\frac{0,25 (-mg - Mg)}{0,25} = T $

$-g(M + m) = T = 78,48 N$



nel sistema iniziale:

$ma = -F_{pm} + R - T = 0 $
$Ma = - F_{pM} + R = 0 $

sommo le due espressioni con T ora nota

$-F_{pM} - F_{pm} + 2R - T = 0$
$-2R = -g (M+m) - 78,48 = \frac{-2\cdot(-78,48)}{2} $


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SICURAMENTE c'è un errore, però non riesco proprio a trovarlo...mi aiutate?


NB: noto che $F_{pm}$ non viene scritto come dovrebbe; per intenderci, dovrebbe corrispondere alla forza peso della massa $m$

[ennegi]

forse ho capito dove ho sbagliato...dovevo considerare $R$ distribuito per le due masse, quindi $r$ relativo a $R$ era, per la parte in cui sostiene $m$, $L/2$ e così anche per $M$? Poi si annulleranno perché sono opposte rispetto all'asse x (diciamo del pavimento)

Non so se mi sono spiegato...

[ennegi]

ho risolto di nuovo completamente l'esercizio e penso che ora sia giusto:


T = tensione della fune
Mg = massa grande x accelerazione di gravità
mg = massa piccola x accelerazione gravità
R = resistenza del vincolo
O = vincolo
MM = momento dato dalla forza peso di M attorno a O
Mm = momento dato dalla forza peso di m attorno a O


$T + Mg + mg - R = 0$; ------> questo perchè le forze T, Mg e mg tirano verso il basso, mentre R è verso l'alto
per cui
$R = T + Mg + mg$; ----> incognita T

Andiamo a trovarci T:
$MM = Mg \cdot (L/2) = 6 \cdot 9.81 \cdot (0.5/2) = 14,715 Nm$
$Mm = mg \cdot (L/2) = 2 \cdot 9.81 \cdot (0.5/2) = 4,905 Nm$

Ora calcolo la differenza dei due momenti (chiamiamola Mr), perchè devo trovarmi la forza grazie alla quale il corpo più piccolo (m) andrebbe verso l'alto, dato che il momento di M è maggiore. Quindi:

$Mr = MM - Mm = 14.715 - 4.905 = 9,81 Nm$

Ora divido quello che ho trovato per $L/2$ per trovarmi la forza:

$Mr / (L/2) = 9.81 / (0.5/2) = 39,24 N$

Quindi il corpo m va in su con una forza di $39,24 N$. Da questo si può dedurre che la tensione della fune T sia pari a 39,24 N, dato che è l'esatto opposto.

Ora sei in grado di calcolarti R:

$R = T + Mg + mg = 39,24 + 58,86 + 19,62 = 117,72 N$

[Sk_Anonymous]

La differenza tra i due momenti non può che essere bilanciata dal momento di $T$ rispetto ad $O$, quindi è giusta l'ultima soluzione : la forza con cui $m$ andrebbe su è bilanciata dalla tensione $T$ del filo.
Non ho controllato i calcoli ma penso siano esatti.

NG, quando risolvi questi problemi non ti impegolare con la Dinamica, se si tratta di problemi di Statica! Te l'ho già detto la scorsa volta: equilibrio di forze alla traslazione orizzontale e alla traslazione verticale, equilibrio di momenti.

Hai finito i dollari?

[ennegi]

grazie i dollari?

[Sk_Anonymous]

E che, li vuoi da me???
Ti servono per scrivere le formule.

[ennegi]

ah scusa non avevo capito cosa intendevi XD No non li ho usati perché ho cercato di scrivere il più velocemente possibile...di solito li metto sempre...non volevo perdere l'idea