Macchina termica
Un dubbio:
Una macchina termica che lavora tra 2 sorgenti alla temperatura T1=970 K e T2=650K produce un lavoro L=600 J per ciclo, assorbendo il calore Q1 = 2200 J.
a) Trovare il rendimento della macchina (ok 0,27)
b) calcolare la variazione di entropia dell'universo per ogni ciclo della macchina (ok =0,19 J/K)
il dubbio
c) sostituendo la sorgente a temperatura T1 con un corpo di capacità termica C=10^5 j/K inizialmente a temperatura T1, calcolare il lavoro massimo che potrebbe essere svolto dalla macchina, immaginando di avere eliminato eventuali fonti di irreversibilità.
Ho fatto le seguenti considerazioni:
1- Tolte le fonti di irreversibilità ci troviamo in una macchina ideale di Carnot dove T2/T1 = Q2/Q1 (ricavato dal rendimento)
2- Allora Q1 = 2387,7 J calore immesso nella macchina
3- il corpo ad ogni ciclo cede la quantità Q1 di calore (oppure no?) $=> \DeltaT = Q/C=0,0238 K$ ovverosia la quantità di temperatura persa da T1 ad ogni ciclo
Se questo passaggio e' corretto ma ho molti dubbi
4- Il processo proseguirà fino a che T1=T2=650K e ottengo un totale di 13445 cicli macchina che danno 10,6 Mj di lavoro massimo ottenuto fino all'equilibrio.
Non sono convinto del passaggio 3 per un semplice motivo: se il ciclo da entropia dell'universo nulla deve essere $ -(\deltaQ_1) /T_1 + (\deltaQ_2)/T_2 =0$.
Evidentemente se scende T1 deve scendere Q1 in modo che il rapporto sia costante: ma allora la quantità $\DeltaT,\DeltaQ$ non sono costanti quindi come fare?
Ancora una cosa: Il testo dice il lavoro max che potrebbe essere svolto: io ho inteso fino all'equilibrio tra le sorgenti se fosse sul ciclo tutto il castello che ho costruito crollerebbe miseramente......
grazie a chiuque voglia cimentarsi con sto caldo....
Una macchina termica che lavora tra 2 sorgenti alla temperatura T1=970 K e T2=650K produce un lavoro L=600 J per ciclo, assorbendo il calore Q1 = 2200 J.
a) Trovare il rendimento della macchina (ok 0,27)
b) calcolare la variazione di entropia dell'universo per ogni ciclo della macchina (ok =0,19 J/K)
il dubbio
c) sostituendo la sorgente a temperatura T1 con un corpo di capacità termica C=10^5 j/K inizialmente a temperatura T1, calcolare il lavoro massimo che potrebbe essere svolto dalla macchina, immaginando di avere eliminato eventuali fonti di irreversibilità.
Ho fatto le seguenti considerazioni:
1- Tolte le fonti di irreversibilità ci troviamo in una macchina ideale di Carnot dove T2/T1 = Q2/Q1 (ricavato dal rendimento)
2- Allora Q1 = 2387,7 J calore immesso nella macchina
3- il corpo ad ogni ciclo cede la quantità Q1 di calore (oppure no?) $=> \DeltaT = Q/C=0,0238 K$ ovverosia la quantità di temperatura persa da T1 ad ogni ciclo
Se questo passaggio e' corretto ma ho molti dubbi
4- Il processo proseguirà fino a che T1=T2=650K e ottengo un totale di 13445 cicli macchina che danno 10,6 Mj di lavoro massimo ottenuto fino all'equilibrio.
Non sono convinto del passaggio 3 per un semplice motivo: se il ciclo da entropia dell'universo nulla deve essere $ -(\deltaQ_1) /T_1 + (\deltaQ_2)/T_2 =0$.
Evidentemente se scende T1 deve scendere Q1 in modo che il rapporto sia costante: ma allora la quantità $\DeltaT,\DeltaQ$ non sono costanti quindi come fare?
Ancora una cosa: Il testo dice il lavoro max che potrebbe essere svolto: io ho inteso fino all'equilibrio tra le sorgenti se fosse sul ciclo tutto il castello che ho costruito crollerebbe miseramente......
grazie a chiuque voglia cimentarsi con sto caldo....
Risposte
Come stavi iniziando a osservare tu, poiché la temperatura T1 non è costante è necessario immaginare infiniti cicli perfetti ciascuno dei quali assorbe calore infinitesimo, in modo che la T1 possa essere considerata costante mentre cede calore. E ciascuno di questi cicli deve dare un contributo di entropia pari a zero.
Come lavoro massimo effettuato dalla macchina io interpreto: tutto il lavoro effettuato dal momento in cui la macchina inizia a lavorare (quando la sorgente calda ha temperatura T1) fino a quando cessa di funzionare, cioè finché il serbatoio caldo ha raggiunto la temperatura T2.
Facendo considerazioni di questo tipo, a me per il quesito c) viene fuori che il lavoro complessivo dovrebbe essere circa $60*10^5 J$. Ti risulta qualcosa del genere?
Come lavoro massimo effettuato dalla macchina io interpreto: tutto il lavoro effettuato dal momento in cui la macchina inizia a lavorare (quando la sorgente calda ha temperatura T1) fino a quando cessa di funzionare, cioè finché il serbatoio caldo ha raggiunto la temperatura T2.
Facendo considerazioni di questo tipo, a me per il quesito c) viene fuori che il lavoro complessivo dovrebbe essere circa $60*10^5 J$. Ti risulta qualcosa del genere?
$\deltaQ_1 = C\DeltaT, \deltaQ_2=\deltaQ_1 T_2/T$ dove T è la temperatura istante per istante del corpo 1. Ora
$dW = \deltaQ_1-\deltaQ_2 = C(1-T_2/T) dT$ quindi da T1 = 970 K a 650K ottengo
$-W = C(T_1-T_2)+CT_2Ln(T_2/T_1) = 60*10^5 J$ -W perchè il lavoro iniziale è max e finale è nullo quindi la variazione è negativa: in diminuzione
Toglimi una curiosità: hai fatto un ragionamento diverso? io ho fatto una fatica boia a ricavarmi questa relazione finale.......magari non ho visto qualcosa che rendesse i passaggi + semplici..
ciao
$dW = \deltaQ_1-\deltaQ_2 = C(1-T_2/T) dT$ quindi da T1 = 970 K a 650K ottengo
$-W = C(T_1-T_2)+CT_2Ln(T_2/T_1) = 60*10^5 J$ -W perchè il lavoro iniziale è max e finale è nullo quindi la variazione è negativa: in diminuzione
Toglimi una curiosità: hai fatto un ragionamento diverso? io ho fatto una fatica boia a ricavarmi questa relazione finale.......magari non ho visto qualcosa che rendesse i passaggi + semplici..
ciao
Più o meno il mio ragionamento è uguale.
(per comodità considero i calori Q e Q2 in valore assoluto, sapendo che Q entra nel sistema dal serbatoio caldo a temperatura variabile T con valore iniziale T1, e Q2 esce verso il serbatoio freddo a temperatura costante T2)
$dS=(\deltaQ)/T-(\deltaQ_2)/T_2=0
$(\deltaQ)/T=(\deltaQ_2)/T_2$
$-(CdT)/T=(\deltaQ_2)/T_2$
$\int_(T_2)^(T_1)C/TdT=(\DeltaQ_2)/T_2$
$\DeltaQ_2=CT_2ln((T_1)/(T_2))$
$\DeltaQ=C[T_1-T_2]
$\DeltaW=\DeltaQ-DeltaQ_2=C[T_1-T_2]-CT_2ln((T_1)/(T_2))$
(per comodità considero i calori Q e Q2 in valore assoluto, sapendo che Q entra nel sistema dal serbatoio caldo a temperatura variabile T con valore iniziale T1, e Q2 esce verso il serbatoio freddo a temperatura costante T2)
$dS=(\deltaQ)/T-(\deltaQ_2)/T_2=0
$(\deltaQ)/T=(\deltaQ_2)/T_2$
$-(CdT)/T=(\deltaQ_2)/T_2$
$\int_(T_2)^(T_1)C/TdT=(\DeltaQ_2)/T_2$
$\DeltaQ_2=CT_2ln((T_1)/(T_2))$
$\DeltaQ=C[T_1-T_2]
$\DeltaW=\DeltaQ-DeltaQ_2=C[T_1-T_2]-CT_2ln((T_1)/(T_2))$
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