Macchina frigorifera che opera tra due sorgenti costanti
Ciao, non riesco a capire come ricavarmi la temperatura di una delle due sorgenti in questo esercizio, come posso fare?
Testo:
Una macchina frigorifera reversibile opera tra due sorgenti (a temperature costanti) costituite rispettivamente da acqua alla temperatura $ T_{2} = 0 °C $ e da una quantità pari a $ n = 5mol $ di un gas ideale mantenute alla temperatura $ T_{1} $. Si determini l’aumento relativo del volume del gas $ \varepsilon = \frac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}} $ dopo che una massa pari a $ m = 70g $ di acqua è stata trasformata in ghiaccio, e la corrispondente variazione di entropia delle sorgenti.
[$ \gamma _{acq} ^{sol} = 333.5kJ/kg.s $]
Ecco come ho ragionato (premetto che ho posto $T_{0} = T_{2}$ e $T_{c} = T_{1}$).
Dal rendimento di una macchina frigorifera so che
$ \xi = \frac{ Q_{0} } { | W | } = \frac{ Q_{0} } { | Q_{c} + Q_{0} | } = \frac{ T_{0} }{T_{c} - T_{0} } < 1$,
dove $Q_{0}$ è il calore assorbito e $T_{0}$ la temperatura della sorgente da cui viene assorbito, $Q_{c}$ quello ceduto e $T_{c} > T_{0}$ la temperatura della sorgente a cui viene ceduto, $ | W | = | Q_{c} + Q_{0} |$ il lavoro compiuto.
Come prima cosa mi calcolo il calore latente necessario da sottrarre alla massa d'acqua affinché essa si solidifichi (cioè, il calore $ Q_{0} $):
$ Q_{0} = - \gamma _{acq} ^{sol} m $;
Dopodiché, dalla relazione che intercorre tra il rendimento e i calori scambiati di un ciclo frigorifero mi ricavo
$ | W | = Q_{0} \frac{ ( T_{c} - T_{0} ) }{ T_{0} } $
$ | Q_{c} + Q_{0} | = Q_{0} \frac{ ( T_{c} - T_{0} ) }{ T_{0} } $
$ Q_{c} = Q_{0} \frac{ ( T_{c} - T_{0} ) }{ T_{0} } - Q_{0} = Q_{0} ( \frac{ T_{c} - T_{0} }{ T_{0} } - 1 ) $
$ | Q_{c} | = Q_{0} (1 - \frac{ T_{c} - T_{0} }{ T_{0} } )$ .
So che essendo la temperatura $ T_{c} $ a cui si trova il gas sempre costante, quando questo riceve calore deve compiere una trasformazione isoterma per evitare che la sua temperatura aumenti, di conseguenza si deve raffreddare espandendo il suo volume. Per cui detto $|Q_{c}|$ il calore che viene acquistato dal gas abbiamo
$ |Q_{c}| = nRT_{c} ln \frac{ V _{f} }{ V _{i} } $
infine, da queste relazioni ottengo quella principale
$ Q_{0} (1 - \frac{ T_{c} - T_{0} }{ T_{0} } ) = nRT_{c} ln \frac{ V _{f} }{ V _{i} } $
Ma oltre ai volumi ho ancora l'incognita della temperatura $T_{c}$ del gas, che tra l'altro non potrei semplicemente eliminare perché mi serve per calcolare l'entropia della seconda sorgente... come posso fare a ricavarla?
Testo:
Una macchina frigorifera reversibile opera tra due sorgenti (a temperature costanti) costituite rispettivamente da acqua alla temperatura $ T_{2} = 0 °C $ e da una quantità pari a $ n = 5mol $ di un gas ideale mantenute alla temperatura $ T_{1} $. Si determini l’aumento relativo del volume del gas $ \varepsilon = \frac{V_{f} - V_{i}}{V_{i}} $ dopo che una massa pari a $ m = 70g $ di acqua è stata trasformata in ghiaccio, e la corrispondente variazione di entropia delle sorgenti.
[$ \gamma _{acq} ^{sol} = 333.5kJ/kg.s $]
Ecco come ho ragionato (premetto che ho posto $T_{0} = T_{2}$ e $T_{c} = T_{1}$).
Dal rendimento di una macchina frigorifera so che
$ \xi = \frac{ Q_{0} } { | W | } = \frac{ Q_{0} } { | Q_{c} + Q_{0} | } = \frac{ T_{0} }{T_{c} - T_{0} } < 1$,
dove $Q_{0}$ è il calore assorbito e $T_{0}$ la temperatura della sorgente da cui viene assorbito, $Q_{c}$ quello ceduto e $T_{c} > T_{0}$ la temperatura della sorgente a cui viene ceduto, $ | W | = | Q_{c} + Q_{0} |$ il lavoro compiuto.
Come prima cosa mi calcolo il calore latente necessario da sottrarre alla massa d'acqua affinché essa si solidifichi (cioè, il calore $ Q_{0} $):
$ Q_{0} = - \gamma _{acq} ^{sol} m $;
Dopodiché, dalla relazione che intercorre tra il rendimento e i calori scambiati di un ciclo frigorifero mi ricavo
$ | W | = Q_{0} \frac{ ( T_{c} - T_{0} ) }{ T_{0} } $
$ | Q_{c} + Q_{0} | = Q_{0} \frac{ ( T_{c} - T_{0} ) }{ T_{0} } $
$ Q_{c} = Q_{0} \frac{ ( T_{c} - T_{0} ) }{ T_{0} } - Q_{0} = Q_{0} ( \frac{ T_{c} - T_{0} }{ T_{0} } - 1 ) $
$ | Q_{c} | = Q_{0} (1 - \frac{ T_{c} - T_{0} }{ T_{0} } )$ .
So che essendo la temperatura $ T_{c} $ a cui si trova il gas sempre costante, quando questo riceve calore deve compiere una trasformazione isoterma per evitare che la sua temperatura aumenti, di conseguenza si deve raffreddare espandendo il suo volume. Per cui detto $|Q_{c}|$ il calore che viene acquistato dal gas abbiamo
$ |Q_{c}| = nRT_{c} ln \frac{ V _{f} }{ V _{i} } $
infine, da queste relazioni ottengo quella principale
$ Q_{0} (1 - \frac{ T_{c} - T_{0} }{ T_{0} } ) = nRT_{c} ln \frac{ V _{f} }{ V _{i} } $
Ma oltre ai volumi ho ancora l'incognita della temperatura $T_{c}$ del gas, che tra l'altro non potrei semplicemente eliminare perché mi serve per calcolare l'entropia della seconda sorgente... come posso fare a ricavarla?
Risposte
Scusate sono nuovo, ho sbagliato categoria? Affrontate anche problemi di termodinamica in questa sezione?
Qualcuno mi può rispondere che domani ho l'esame di fisica gentilmente?
Ciao. Metto giù un po' di corsa, spero di non essere troppo affrettato e perdermi qualcosa.
Dalla reversibilità della trasformazione hai
uguagliando al lavoro compiuto isotermicamente dal gas ottieni:
$W_(isot)=Q_c" "to" "(Q_0)/(T_0)*T_c=nRT_c "ln"(V_f)/(V_i)" "$, relazione da cui $T_c$ scompare e che permette di ottenere il rapporto tra i volumi del gas.
Salvo, ribadisco, miei errori.
P.S.: quello delle macchine frigorifere non si chiama rendimento bensì coefficiente di prestazione o efficienza, e non è necessariamente minore di $1$.
Dalla reversibilità della trasformazione hai
$|Delta S_(gas)|=|Delta S_(acqua)|" "to" "Q_c=(Q_0)/(T_0)*T_c" "$;
uguagliando al lavoro compiuto isotermicamente dal gas ottieni:
$W_(isot)=Q_c" "to" "(Q_0)/(T_0)*T_c=nRT_c "ln"(V_f)/(V_i)" "$, relazione da cui $T_c$ scompare e che permette di ottenere il rapporto tra i volumi del gas.
Salvo, ribadisco, miei errori.
P.S.: quello delle macchine frigorifere non si chiama rendimento bensì coefficiente di prestazione o efficienza, e non è necessariamente minore di $1$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo