L'operatore Energia non è Hermitiano???
Sia [tex]|\psi\rangle[/tex] un ket e [tex]A[/tex] un operatore lineare non meglio specificato.
per definizione di ket si ha
[tex]|A\psi\rangle=A |\psi\rangle[/tex]
si definisce l'aggiunto di [tex]A[/tex] come
[tex]\langle A \psi|=:\langle\psi|A^+[/tex]
Ora passiamo all'equazione di Schr\"odinger
[tex]H|\psi\rangle=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle[/tex]
se voglio passare ai bra ottengo
[tex]\langle\psi| H=\langle\psi| \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\right)[/tex]
e devo forse pensare allora che l'operatore [tex]E[/tex] non sia hermitiano?
Ma allora come può essere uguale all'operatore [tex]H[/tex] che invece è hermitiano e quindi dà sempre autovalori reali?
per definizione di ket si ha
[tex]|A\psi\rangle=A |\psi\rangle[/tex]
si definisce l'aggiunto di [tex]A[/tex] come
[tex]\langle A \psi|=:\langle\psi|A^+[/tex]
Ora passiamo all'equazione di Schr\"odinger
[tex]H|\psi\rangle=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle[/tex]
se voglio passare ai bra ottengo
[tex]\langle\psi| H=\langle\psi| \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\right)[/tex]
e devo forse pensare allora che l'operatore [tex]E[/tex] non sia hermitiano?
Ma allora come può essere uguale all'operatore [tex]H[/tex] che invece è hermitiano e quindi dà sempre autovalori reali?
Risposte
non capisco bene quello che non è chiaro...
comunque $i \frac{\partial}{\partialt}$ è hermitiano e lo verifichi applicando la definizione di operatore hermitiano.
comunque $i \frac{\partial}{\partialt}$ è hermitiano e lo verifichi applicando la definizione di operatore hermitiano.
Intanto ti ringrazio della risposta;
forse mi sono un pò fuso oggi... ma
perché l'operatore sia hermitiano deve valere
[tex]\langle f|i \frac{\partial}{\partial t}|g\rangle= \langle g|i \frac{\partial}{\partial t}|f\rangle^*[/tex] per ogni [tex]f,g[/tex] appartenenti allo spazio di Hilbert
ora se sviluppo il primo ottengo [tex]i \int_{\mathbb{R}^3} f^*(x) \frac{\partial g}{\partial t}(x) dx= i \frac{d}{dt} \int_{\mathbb{R}^3} f^*(x) g(x) dx - i \int_{\mathbb{R}^3} g(x) \frac{\partial f^*}{\partial t}(x) dx[/tex]
il secondo termine sarebbe proprio quello che desidererei per dire che l'operatore è hermitiano, ma come posso dire che il primo integrale è nullo?
forse mi sono un pò fuso oggi... ma
perché l'operatore sia hermitiano deve valere
[tex]\langle f|i \frac{\partial}{\partial t}|g\rangle= \langle g|i \frac{\partial}{\partial t}|f\rangle^*[/tex] per ogni [tex]f,g[/tex] appartenenti allo spazio di Hilbert
ora se sviluppo il primo ottengo [tex]i \int_{\mathbb{R}^3} f^*(x) \frac{\partial g}{\partial t}(x) dx= i \frac{d}{dt} \int_{\mathbb{R}^3} f^*(x) g(x) dx - i \int_{\mathbb{R}^3} g(x) \frac{\partial f^*}{\partial t}(x) dx[/tex]
il secondo termine sarebbe proprio quello che desidererei per dire che l'operatore è hermitiano, ma come posso dire che il primo integrale è nullo?
Mi sono appena alzato e rischio di sparare una stupidaggine, ma...
L'operatore [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex] è hermitiano solo sulle funzioni che soddisfano [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x) = H \psi(x)[/tex], con [tex]H[/tex] hermitiano. Non deve essere infatti hermitiano sullo spazio di Hilbert cinematico ma solo sul cosiddetto spazio di Hilbert "fisico" (ad occhio però non mi pare sia neanche uno spazio di Hilbert, mi sbaglio?), ovvero lo spazio di funzioni che soddisfa l'equazione di Schroedinger con una data [tex]H[/tex].
L'operatore [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex] è hermitiano solo sulle funzioni che soddisfano [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x) = H \psi(x)[/tex], con [tex]H[/tex] hermitiano. Non deve essere infatti hermitiano sullo spazio di Hilbert cinematico ma solo sul cosiddetto spazio di Hilbert "fisico" (ad occhio però non mi pare sia neanche uno spazio di Hilbert, mi sbaglio?), ovvero lo spazio di funzioni che soddisfa l'equazione di Schroedinger con una data [tex]H[/tex].
io non conosco la differenza tra spazio di Hilbert cinematico e spazio di Hilbert fisico... 
allora:
se integriamo per parti: dovresti avere: $i\int_{-infty}^{+infty} f(t)^*\frac{delg(t)}{delt}dt=i[f^*(t)g(t)]_{-infty}^{+\infty} - i\int_{-infty}^{+infty} \frac{delf^*(t)}{delt}g(t)dt$
dove il termine $i[f^*(t)g(t)]_{-infty}^{+\infty}$ va a 0 perchè all'infinito le funzioni si annullano...
ditemi se ho sbagliato qualcosa o se qualcosa non è chiaro che così vado a dare un occhiata agli appunti...
PS: il * non si vede bene ma c'è...
se integriamo per parti: dovresti avere: $i\int_{-infty}^{+infty} f(t)^*\frac{delg(t)}{delt}dt=i[f^*(t)g(t)]_{-infty}^{+\infty} - i\int_{-infty}^{+infty} \frac{delf^*(t)}{delt}g(t)dt$
dove il termine $i[f^*(t)g(t)]_{-infty}^{+\infty}$ va a 0 perchè all'infinito le funzioni si annullano...
ditemi se ho sbagliato qualcosa o se qualcosa non è chiaro che così vado a dare un occhiata agli appunti...
PS: il * non si vede bene ma c'è...
"Cantaro86":
allora:
se integriamo per parti: dovresti avere: $i\int_{-infty}^{+infty} f(t)^*\frac{delg(t)}{delt}dt=i[f^*(t)g(t)]_{-infty}^{+\infty} - i\int_{-infty}^{+infty} \frac{delf^*(t)}{delt}g(t)dt$
dove il termine $i[f^*(t)g(t)]_{-infty}^{+\infty}$ va a 0 perchè all'infinito le funzioni si annullano...
ditemi se ho sbagliato qualcosa o se qualcosa non è chiaro che così vado a dare un occhiata agli appunti...
PS: il * non si vede bene ma c'è...
Questo direi che non è vero, poichè nel prodotto scalare l'integrazione è sullo spazio e non sul tempo.
Questo è l'argomento che si usa per mostrare che [tex]p = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}[/tex] è hermitiano, nel qual caso la cosa funziona poichè le funzioni si annullano all'infinito.
@Fox: Nomi a parte, quello che intendo è che in generale un operatore non è hermitiano su tutto lo spazio di Hilbert ma solo in un certo dominio.
Per tutte le funzioni che soddisfano [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = H \psi(x,t)[/tex] con [tex]H[/tex] hermitiano (questo è il dominio di cui parlo sopra) allora [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex] è un operatore hermitiano.
"Cantaro86":
ditemi se ho sbagliato qualcosa o se qualcosa non è chiaro che così vado a dare un occhiata agli appunti...
"Eredir":
Questo direi che non è vero, poichè nel prodotto scalare l'integrazione è sullo spazio e non sul tempo.
ecco... appunti...
Mi sa che ho capito.
Lo spazio di Hilbert fisico è quello formato dalle [tex]\psi[/tex] che rispettano l'equazione di Schr\"odinger dipendente dal tempo per una qualche Hamiltoniana.
Ci penserò, comunque mi pare un pò una tautologia...
Se prendo un operatore hermitiano [tex]A[/tex] e un operatore NON hermitiano [tex]B[/tex]
posso dire che [tex]B[/tex] è hermitiano su tutte le [tex]\psi[/tex] tali che [tex]B\psi=A\psi[/tex]
ma chi mi assicura che esistono delle [tex]\psi[/tex] così? E siamo sicuri che gli stati dei sistemi avranno questa proprietà?
Lo spazio di Hilbert fisico è quello formato dalle [tex]\psi[/tex] che rispettano l'equazione di Schr\"odinger dipendente dal tempo per una qualche Hamiltoniana.
Ci penserò, comunque mi pare un pò una tautologia...
Se prendo un operatore hermitiano [tex]A[/tex] e un operatore NON hermitiano [tex]B[/tex]
posso dire che [tex]B[/tex] è hermitiano su tutte le [tex]\psi[/tex] tali che [tex]B\psi=A\psi[/tex]
ma chi mi assicura che esistono delle [tex]\psi[/tex] così? E siamo sicuri che gli stati dei sistemi avranno questa proprietà?
In effetti uno potrebbe dire che:
"per ogni [tex]| \psi\rangle[/tex] che rappresenta lo stato di un sistema fisico vale l'equazione di Schr\"odinger dipendente dal tempo"
quindi risulta [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex] operatore hermitiano ed ecco perché si chiama spazio di Hilbert fisico...
Inoltre non ci sono problemi per quello che dicevo inizialmente poiché
risulta
[tex]H|\psi\rangle=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle[/tex]
da cui, passando ai bra
[tex]\langle\psi| H=\langle\psi| i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex]
poiché entrambi sono operatori hermitiani
e proiettando sulla base delle [tex]x[/tex]
[tex]\langle\psi| H |x\rangle=\langle\psi| i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|x\rangle= \langle x | i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi\rangle ^* = -i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \psi | x \rangle[/tex]
"per ogni [tex]| \psi\rangle[/tex] che rappresenta lo stato di un sistema fisico vale l'equazione di Schr\"odinger dipendente dal tempo"
quindi risulta [tex]i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex] operatore hermitiano ed ecco perché si chiama spazio di Hilbert fisico...
Inoltre non ci sono problemi per quello che dicevo inizialmente poiché
risulta
[tex]H|\psi\rangle=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle[/tex]
da cui, passando ai bra
[tex]\langle\psi| H=\langle\psi| i \hbar \frac{\partial}{\partial t}[/tex]
poiché entrambi sono operatori hermitiani
e proiettando sulla base delle [tex]x[/tex]
[tex]\langle\psi| H |x\rangle=\langle\psi| i \hbar \frac{\partial}{\partial t}|x\rangle= \langle x | i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi\rangle ^* = -i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \psi | x \rangle[/tex]
Ho trovato queste note riguardo gli spazi di Hilbert in meccanica quantistica, nelle sezioni VII.4 e VII.5 viene formalizzata precisamente la questione che ponevi sotto il nome di teorema di Stone.
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