Lo scaldabagno
Salve, avrei un quesito di termodinamica.
Mi riferisco al problema sullo scaldabagno. Supponiamo di avre uno scaldabagno di 50 litri ad una temperatura termostata a 70 gradi. Nel fare la doccia supponiamo che si prelevi acqua per 10 litri al minuto. Contemporaneamente all'uscita di acqua dalla doccia, entra nello scaldabagno acqua (10 litri al minuto) ad una temperatura di 20 gradi. La domanda è : qual è l'andamento della temperatura all'interno dello scaldabagno ? quanto vale l'energia da fornire dall'esterno (elettricità) per tenere a 70 gradi la temperatura ?
Mi riferisco al problema sullo scaldabagno. Supponiamo di avre uno scaldabagno di 50 litri ad una temperatura termostata a 70 gradi. Nel fare la doccia supponiamo che si prelevi acqua per 10 litri al minuto. Contemporaneamente all'uscita di acqua dalla doccia, entra nello scaldabagno acqua (10 litri al minuto) ad una temperatura di 20 gradi. La domanda è : qual è l'andamento della temperatura all'interno dello scaldabagno ? quanto vale l'energia da fornire dall'esterno (elettricità) per tenere a 70 gradi la temperatura ?
Risposte
Ciao.
Il problema si può risolvere assumendo che ci sia perfetta miscibilità tra acqua fredda e calda nello scaldabagno.
In sostanza quello che succede è che l'acqua fredda che entra va a raffreddare la massa di acqua calda nello scaldabagno e viceversa quindi:
$cp (T-20) \dot m dt = - M c_p dT$
dove $M$ è la massa d'acqua nel boiler $c_p$ il calore specifico dell'acqua $t$ il tempo e $T$ la temperatura.
Ottieni quindi un'equazione differenziale a variabili separabili:
$(dT)/(dt) = -\dot m / M (T-20)$
che puoi allegramente integrare con il metodo dello scimmione del Prof. Fioravante Patrone (io da ingegneraccio l'ho sempre fatto senza alcuno scrupolo
).
Alla fine, aggiungendo le condizioni iniziali, ottieni
$T(t)=50 exp (- \dot m /M t) + 20$
Quindi la temperatura calerebbe esponenzialmente mentre ti fai la doccia a scaldabagno spento, se ci fosse perfetta miscibilità.
Gli scaldabagni sono fatti però proprio per minimizzare la miscibilità!
Se vuoi calcolare quanto è il consumo questo è ancora più facile: la potenza da fornire all'acqua per mantenere la temperatura a 70°C è
$P=\dot m cp (70-20) = ......$ un bel numero di kW!
Infatti lo scaldabagno non è in grado di riscaldarti l'acqua istantaneamente, per fortuna.
Il problema si può risolvere assumendo che ci sia perfetta miscibilità tra acqua fredda e calda nello scaldabagno.
In sostanza quello che succede è che l'acqua fredda che entra va a raffreddare la massa di acqua calda nello scaldabagno e viceversa quindi:
$cp (T-20) \dot m dt = - M c_p dT$
dove $M$ è la massa d'acqua nel boiler $c_p$ il calore specifico dell'acqua $t$ il tempo e $T$ la temperatura.
Ottieni quindi un'equazione differenziale a variabili separabili:
$(dT)/(dt) = -\dot m / M (T-20)$
che puoi allegramente integrare con il metodo dello scimmione del Prof. Fioravante Patrone (io da ingegneraccio l'ho sempre fatto senza alcuno scrupolo
).Alla fine, aggiungendo le condizioni iniziali, ottieni
$T(t)=50 exp (- \dot m /M t) + 20$
Quindi la temperatura calerebbe esponenzialmente mentre ti fai la doccia a scaldabagno spento, se ci fosse perfetta miscibilità.
Gli scaldabagni sono fatti però proprio per minimizzare la miscibilità!
Se vuoi calcolare quanto è il consumo questo è ancora più facile: la potenza da fornire all'acqua per mantenere la temperatura a 70°C è
$P=\dot m cp (70-20) = ......$ un bel numero di kW!
Infatti lo scaldabagno non è in grado di riscaldarti l'acqua istantaneamente, per fortuna.
Ringrazio, in effetti ero arrivato alla stessa risoluzione (ho ripreso un vecchio libro di fisica tecnica, anni '70 !). Nel frattempo però mi chiedevo se il consumo elettrico (o gas) è lo stesso in questi due casi:
1) spengo lo scaldabagno e faccio la doccia, a fine doccia riaccendo.
2) mantengo acceso lo scaldabagno durante la doccia.
A me sia per intuito sia per calcolo mi pare sia la stessa cosa: o riscaldo una massa intera da, temperatura a regime a fine doccia, fino a 70 oppure riscaldo continuamente le piccole masse fredde (che man mano entrano nello scaldabagno) fino a 70, l'energia complessiva dovrebbe essere la stessa. E' così ?
1) spengo lo scaldabagno e faccio la doccia, a fine doccia riaccendo.
2) mantengo acceso lo scaldabagno durante la doccia.
A me sia per intuito sia per calcolo mi pare sia la stessa cosa: o riscaldo una massa intera da, temperatura a regime a fine doccia, fino a 70 oppure riscaldo continuamente le piccole masse fredde (che man mano entrano nello scaldabagno) fino a 70, l'energia complessiva dovrebbe essere la stessa. E' così ?
All'inizio parti da uno scaldabagno con 50 litri di acqua a 70°C. Se ne consumi mettiamo 30 litri per tornare alla situazione iniziale devi spendere l'energia necessaria a riscaldare 30 litri d'acqua da 20°C a 70°C.
Questo indipendentemente da come la riscaldi.
Supponiamo anche per assurdo che il tuo scaldabagno abbia una potenza sufficiente a riscaldare l'acqua da 20 a 70 via via che la consumi, (se fai il calcolo vedrai che non è così anche perché saresti ben sopra il limite di potenza che puoi assorbire dalla rete che mi sembra per utenze domestiche sia al massimo di 3kW), bene quello che cambierebbe rispetto al caso di scaldabagno spento è la potenza elettrica assorbita, ma l'energia complessiva consumata sarebbe sempre la stessa.
Questo indipendentemente da come la riscaldi.
Supponiamo anche per assurdo che il tuo scaldabagno abbia una potenza sufficiente a riscaldare l'acqua da 20 a 70 via via che la consumi, (se fai il calcolo vedrai che non è così anche perché saresti ben sopra il limite di potenza che puoi assorbire dalla rete che mi sembra per utenze domestiche sia al massimo di 3kW), bene quello che cambierebbe rispetto al caso di scaldabagno spento è la potenza elettrica assorbita, ma l'energia complessiva consumata sarebbe sempre la stessa.
Si certo se devo recuperare in breve tempo l'energia è chiaro che ho bisogno di potenze in gioco alte. Mi serviva sapere che l'energia necessaria a riportare a temperatura termostata (70 gradi) è la stessa sia che lo faccia "dopo" sia "durante". Se non erro in termini matematici gli elementi in gioco sono in entrambi i casi la massa totale di acqua che entra (a 20 gradi) e il salto di temperatura da recuperare (da 20 a 70); indipendentemente dalla massa del boiler.
Grazie.
Grazie.
Sì.
Comunque bisogna dire che la grandezza del boiler incide sui consumi, infatti qui abbiamo assunto che il boiler è perfettamente isolato, ma in realtà anche se lentamente l'acqua si raffredda.
Uno scaldabagno più grande ha un inerzia termica maggiore e si raffredda più lentamente.
Da qui si entra nell'annosa questione è meglio avere uno scaldabagno grande o uno piccolo? E' meglio tenerlo sempre acceso o solo quando serve?
Uno piccolo certamente conviene accenderlo solo prima di usare l'acqua calda, ma con uno più grande come ci si deve comportare?
Probabilmente questa è una cosa già più volte dibattuta e la risposta sicura e la classica: "dipende".
Dipende da quanto, quando e come si usa l'acqua calda....
Comunque bisogna dire che la grandezza del boiler incide sui consumi, infatti qui abbiamo assunto che il boiler è perfettamente isolato, ma in realtà anche se lentamente l'acqua si raffredda.
Uno scaldabagno più grande ha un inerzia termica maggiore e si raffredda più lentamente.
Da qui si entra nell'annosa questione è meglio avere uno scaldabagno grande o uno piccolo? E' meglio tenerlo sempre acceso o solo quando serve?
Uno piccolo certamente conviene accenderlo solo prima di usare l'acqua calda, ma con uno più grande come ci si deve comportare?
Probabilmente questa è una cosa già più volte dibattuta e la risposta sicura e la classica: "dipende".
Dipende da quanto, quando e come si usa l'acqua calda....
Infatti il mio quesito nasceva proprio da una esigenza economica. Altro quesito dello stesso genere è :
Conviene tenere una pentola a fuoco lento in attesa che bolla l'acqua oppure tenere fuoco alto in modo da far bollire in tempi brevi ? L'energia da somministrare "a naso" dovrebbe essere sempre la stessa.....o no ? e i consumi ?
Conviene tenere una pentola a fuoco lento in attesa che bolla l'acqua oppure tenere fuoco alto in modo da far bollire in tempi brevi ? L'energia da somministrare "a naso" dovrebbe essere sempre la stessa.....o no ? e i consumi ?
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