Linearizzazione pendolo attrito e autovalori

[roberta19861]

Consideriamo il caso del pendolo in presenza di attrito:
[tex]\left\{
\begin{array}{ll}
\dot{x}_1 = x_2 & \ \ \ \ \\
\dot{x}_2 =-\omega^2 sen x_1-2\epsilon x_2 &
\end{array}
\right.[/tex]
Devo classificare i punti di equilibrio in asitoticamente stabili e instabili a seconda della parte reale degli autovalori del sistema linearizzato, se sono tutti negativi il punto è asintoticamente stabile, se ne esite uno positivo è stabile, se la parte reale non c'è non posso dire nulla.
[tex]Cerco i punti di equilibrio
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
x_2 = 0 \\
-\omega^2 sin x_1=0
\end{array}
\right.
$$
Quindi i punti di equilibrio sono del tipo $(k \pi,0)$ con $k=0,1.$


La matrice A è:
$$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\omega^2cos(x_1) & -2\epsilon \\
\end{array}
\right)
$$
Che in $(0,0)$ è
$$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-\omega^2 & -2\epsilon \\
\end{array}
\right)
$$

Il polinomio associato è $\lambda^2+2\epsilon\lambda+\omega^2=0$ cioè $ \lambda = \frac{-2\epsilon\pm \sqrt{4\epsilon^2-4\omega^2}}{2}$.
Linearizzo in $(\pi,0 )$.
La matrice $A$ in $(\pi,0)$ è
$$
{\mathcal A} = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\omega^2 & -2\epsilon \\
\end{array}
\right)
$$
\end{es}

Il polinomio associato è $\lambda^2+2\epsilon\lambda-\omega^2=0$ cioè $ \lambda = \frac{-2\epsilon\pm \sqrt{4\epsilon^2+4\omega^2}}{2}$.[/tex]
Dopo aver fatto questo non riesco a classificare gli autovalori. non riesco a trarre le conclusioni.Qualcuno mi può aiutare? GRAZIE

[cyd1]

beh se $lambda_(1,2)= - epsilon pm sqrt(epsilon^2 - omega^2)$
con $epsilon>0$

hai i seguenti casi

se $epsilon^2 > omega^2$
hai due autovalori asintoticamente stabili, infatti uno è la somma di due numeri negativi, l'altro è comunque negativo poichè evidentemente
$epsilon > sqrt(epsilon^2 - omega^2)$, i modi saranno esponenziali asint. stabili

se $epsilon^2=omega^2$
hai due autovalori coincidenti con parte reale negativa => due modi ancora asintoticamente stabili

se $epsilon^2 hai due autovalori complessi e coniugati, ma la parte reale è comunque negativa quindi i modi sono comunque asint. stabili anche se probabilmente oscillanti.

[roberta19861]

Ok, e nel secondo caso, cosa posso dire?
Com'è il punto di equilibrio?
grazie

[cyd1]

beh nel secondo caso $(x1,x2)=(pi,0)$ la matrice del sistema linearizzato è $A= ((0,1),(omega^2,-2 epsilon))$

quindi gli autovalori sono $lambda_(1,2) = -epsilon pm sqrt(epsilon^2 + omega^2)$

dunque dato che $sqrt(epsilon^2 + omega^2) > epsilon$
un autovalore sarà a parte reale positia e quindi il sistema è instabile

[roberta19861]

GRAZIE