Linea di corrente (o di flusso)?
Copio parte del testo (quella che mi confonde maggiormente) con cui il Citrini, Noseda spiega le linee di corrente:
....Essa risulta comune a tutta una semplice infinità di punti, il campo di velocità risulta definito da una duplice infinità di corrente.
Mi spiegate per favore perché la traiettoria é definita da una triplice infinità e invece le linee di corrente da una duplice infinità? Per la traiettoria secondo una mia logica mi fa pensare perché siamo nello spazio e quindi la traiettoria può essere definita da una triplice infinità. Ma perché non dovrebbe essere lo stesso per la linee di corrente (o di flusso)?
....Essa risulta comune a tutta una semplice infinità di punti, il campo di velocità risulta definito da una duplice infinità di corrente.
Mi spiegate per favore perché la traiettoria é definita da una triplice infinità e invece le linee di corrente da una duplice infinità? Per la traiettoria secondo una mia logica mi fa pensare perché siamo nello spazio e quindi la traiettoria può essere definita da una triplice infinità. Ma perché non dovrebbe essere lo stesso per la linee di corrente (o di flusso)?
Risposte
Così staccata dal contesto, la frase mi sembra alquanto sibillina. Non si fa prima a concentrarsi sul significato della formula $\vec{j}=\rho \vec{v}$? Una formula vale più di mille parole 
Io vorrei capire con quella frase cosa vogliono dire Citrini e Noseda.
L'ha pure utilizzata il mio professore.
L'ha pure utilizzata il mio professore.
Potresti chiedere al professore... oppure speriamo che qui capiti chi sa cosa intendono gli autori
Il contesto è questo
La faccenda delle "infinità" continua a rimanermi arcana... mi associo alla richiesta di chiarimento
"Formulario":
... Per la traiettoria secondo una mia logica mi fa pensare perché siamo nello spazio e quindi la traiettoria può essere definita da una triplice infinità. Ma perché non dovrebbe essere lo stesso per la linee di corrente (o di flusso)?
Direi semplicemente perché mentre la traiettoria è definita come quella linea che unisce le successive posizioni occupate da una particella fluida, la linea di corrente è invece definita come quella linea che risulta tangente alle loro velocità, in un particolare istante di tempo, ne segue che le particelle fluide che si vengono a trovare sulla una certa linea di corrente, si trovano in generale (e in quell'istante) su una (semplice) infinità di traiettorie distinte e diverse da quella corrispondente alla linea di corrente.
la traiettoria è definita come quella linea che unisce le successive posizioni occupate da una particella fluida, la linea di corrente è invece definita come quella linea che risulta tangente alle loro velocità
Scusa, ma no riesco a vedere la differenza fra "traiettoria" e "linea di corrente". La velocità di una particella è sempre tangente alla sua traiettoria, infatti: $\vec{v} = \dot \vec{r}$.
Io la spiegherei cosi (aperto a ogni rimostranza):
Le traiettorie sono definite con 3 parametri indipendenti nello spazio. Quindi una triplice infinita.
Per le linee di corrente: ad ogni istante, il campo velocita' e' anche esso triplice infinito triplice infinito. Ma linea di flusso, a quel istante, e' un e una sola, tangente al campo delle velocita. Vuol dire che dal triplice infinito, devi togliere l'infinita' semplice della linea di flusso. In definitiva, le componenti della velocita' su due direzioni sono indipendenti (duplice infinita'), ma la terza non e' piu' indipendente perche deve essere tale da far risultare la velocita' tangente alla linea di corrente all'istante $t_0$.
Le traiettorie sono definite con 3 parametri indipendenti nello spazio. Quindi una triplice infinita.
Per le linee di corrente: ad ogni istante, il campo velocita' e' anche esso triplice infinito triplice infinito. Ma linea di flusso, a quel istante, e' un e una sola, tangente al campo delle velocita. Vuol dire che dal triplice infinito, devi togliere l'infinita' semplice della linea di flusso. In definitiva, le componenti della velocita' su due direzioni sono indipendenti (duplice infinita'), ma la terza non e' piu' indipendente perche deve essere tale da far risultare la velocita' tangente alla linea di corrente all'istante $t_0$.
Ma linea di flusso, a quel istante, e' un e una sola, tangente al campo delle velocita.
Scusa ancora, come fa una linea di flusso ad essere tangente alle velocità, in un dato istante? Mi sembrerebbe che le superfici (perchè linee?) di flusso formino angoli vari con le velocità delle particelle ad un dato istante...
Comunque, a parte la geometria che non mi torna, la faccenda dei numeri di infinità adesso è chiara. Grazie.
ps. in geometria differenziale si fanno cose anloghe. Campi vettoriali su varietà, traiettorie e flussi.
Le linee di flusso sono per definizioni tangenti alla velocita'.
Dovrebbero coincidere con la traiettoria solo in caso stazionario (il testo infatti ruota intorno alla parola chiave $t_0$, che diventa parametro, quindi in generale non stazionario).
Cmq, ho postato perche avevo gia' scritto la risposta, ma Renzo mi ha anticipato di qualche minuto, quindi lascio il campo a lui. La mia risposta era frutto di reminiscenze univeristarie. Per una risposta piu' rigorosa dovrei rifarmi tutta la dimostrazione, cosa che non posso fare senza l'ausilio di qualche testo, che non ho a portata di mano.
Dovrebbero coincidere con la traiettoria solo in caso stazionario (il testo infatti ruota intorno alla parola chiave $t_0$, che diventa parametro, quindi in generale non stazionario).
Cmq, ho postato perche avevo gia' scritto la risposta, ma Renzo mi ha anticipato di qualche minuto, quindi lascio il campo a lui. La mia risposta era frutto di reminiscenze univeristarie. Per una risposta piu' rigorosa dovrei rifarmi tutta la dimostrazione, cosa che non posso fare senza l'ausilio di qualche testo, che non ho a portata di mano.
Bene, allora continuo a non capire e scusate se sono insistente. Come fanno traiettorie e linee di flusso (o di corrente) ad essere distinte e contemporaneamente tangenti alle velocità?
ps. in geometria differenziale i flussi sono un'altra cosa. Avevo frainteso.
ps. in geometria differenziale i flussi sono un'altra cosa. Avevo frainteso.
Posseggo il Citrini Noseda, ho consultato la parte di testo che Chiara ha pubblicato : la spiegazione sta sostanzialmente nel fondo del paragrafo, che è stato riprodotto in parte.
Traiettorie e linee di corrente sono due concetti distinti, e in generale esse non coincidono.
Traiettoria è il luogo dei punti successivamente occupati, nel tempo, da un singola particella di fluido. E quindi ogni particella ha la sua traiettoria.
Invece la linea di corrente è la curva tangente, in un certo istante, ai vettori velocità, per ciascuno dei suoi punti.
Se si fa una fotografia istantanea del campo dei vettori velocità, in un certo istante $t_0$, si ottiene l'immagine delle linee di corrente, curve le cui tangenti sono i vettori velocità in quell'istante. Ma non è detto che il campo di vettori velocità si presenti sempre uguale, in ogni istante di tempo.
Se invece si considera una particella fluida che all'istante $t_0$ si trova in un punto $M_0$ , questa in un intervallo $dt$ si sposta di un segmento $M_0M_1 = v_0dt$ lungo la propria traiettoria, che coincide col segmento di linea di corrente $L_0$ relativa all'istante $t_0$, che aveva $v_0$ come tangente in $M_0$.
Ma non è detto che quando la particella giunge in $M_1$ la velocità sia la stessa che esisteva, in $M_1$ , all'istante $t_0$: quindi in $M_1$ la traiettoria della particella ivi giunta si distacca dalla linea di corrente $L_0$.
Questo perché in generale il moto non è permanente . Se invece il moto è permanente (o stazionario che dir si voglia) , allora tutte le particelle che passano per un certo punto hanno, in quel punto, la stessa velocità , perché $v$ in quel punto non dipende dal tempo. Le istantanee del campo di velocità scattate in istanti diversi sono uguali.
Perciò in tal caso (moto permanente) traiettorie e linee di corrente coincidono.
Traiettorie e linee di corrente sono due concetti distinti, e in generale esse non coincidono.
Traiettoria è il luogo dei punti successivamente occupati, nel tempo, da un singola particella di fluido. E quindi ogni particella ha la sua traiettoria.
Invece la linea di corrente è la curva tangente, in un certo istante, ai vettori velocità, per ciascuno dei suoi punti.
Se si fa una fotografia istantanea del campo dei vettori velocità, in un certo istante $t_0$, si ottiene l'immagine delle linee di corrente, curve le cui tangenti sono i vettori velocità in quell'istante. Ma non è detto che il campo di vettori velocità si presenti sempre uguale, in ogni istante di tempo.
Se invece si considera una particella fluida che all'istante $t_0$ si trova in un punto $M_0$ , questa in un intervallo $dt$ si sposta di un segmento $M_0M_1 = v_0dt$ lungo la propria traiettoria, che coincide col segmento di linea di corrente $L_0$ relativa all'istante $t_0$, che aveva $v_0$ come tangente in $M_0$.
Ma non è detto che quando la particella giunge in $M_1$ la velocità sia la stessa che esisteva, in $M_1$ , all'istante $t_0$: quindi in $M_1$ la traiettoria della particella ivi giunta si distacca dalla linea di corrente $L_0$.
Questo perché in generale il moto non è permanente . Se invece il moto è permanente (o stazionario che dir si voglia) , allora tutte le particelle che passano per un certo punto hanno, in quel punto, la stessa velocità , perché $v$ in quel punto non dipende dal tempo. Le istantanee del campo di velocità scattate in istanti diversi sono uguali.
Perciò in tal caso (moto permanente) traiettorie e linee di corrente coincidono.
Ahhh, ora capisco. Consideravo solo il caso stazionario. Grazie Navigatore e... viva gli ingegneri!
ps. buona Pasqua!
ps. buona Pasqua!
Grazie, ricambio gli auguri, a te e a tutti, nessuno escluso.
Viva tutti coloro che sono appassionati di scienza, come te e come tanti, indipendentemente dai titoli accademici. Viva chi la coltiva per puro desiderio di conoscere.
Archimede non aveva nessuna laurea , Faraday non aveva seguito studi regolari.
Viva tutti coloro che sono appassionati di scienza, come te e come tanti, indipendentemente dai titoli accademici. Viva chi la coltiva per puro desiderio di conoscere.
Archimede non aveva nessuna laurea , Faraday non aveva seguito studi regolari.
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