Limite per $\Delta t -> 0$ , ma senza esagerare
Un salutone a tutti quanti,
leggendo un ottimo libro di elettrotecnica sono incappato in questa definizione di intensità di corrente:
...(ometto alcune parti)...
$ i_s(t) =lim_(\Delta t -> 0) \(Delta Q_S)/\(Delta t) $
e a fondo pagine viene riportato questo promemoria :
Con $\Delta t -> 0$ si intende un intervallo di tempo infinitesimo, e tuttavia abbastanza grande di modo che la superficie $S$ sia attraversata da un numero abbastanza grande di cariche elementari..
Dunque mi chiedevo:
Esiste un modo di definire l'intensità di corrente facendo ricorso ai concetti di carica e di tempo senza dover adoperare questo scempio matematico ? (Una quantità che tende a zero ma che allo stesso tempo si tiene ben lontana dal diventare infinitesima, mah! In ogni caso il libro è ottimo, questa è l'unica pecca che vi ho trovato e pare sia una cosa diffusa nelle definizione di alcuni concetti fisici).
leggendo un ottimo libro di elettrotecnica sono incappato in questa definizione di intensità di corrente:
...(ometto alcune parti)...
$ i_s(t) =lim_(\Delta t -> 0) \(Delta Q_S)/\(Delta t) $
e a fondo pagine viene riportato questo promemoria :
Con $\Delta t -> 0$ si intende un intervallo di tempo infinitesimo, e tuttavia abbastanza grande di modo che la superficie $S$ sia attraversata da un numero abbastanza grande di cariche elementari..
Dunque mi chiedevo:
Esiste un modo di definire l'intensità di corrente facendo ricorso ai concetti di carica e di tempo senza dover adoperare questo scempio matematico ? (Una quantità che tende a zero ma che allo stesso tempo si tiene ben lontana dal diventare infinitesima, mah! In ogni caso il libro è ottimo, questa è l'unica pecca che vi ho trovato e pare sia una cosa diffusa nelle definizione di alcuni concetti fisici).
Risposte
Ciao... premetto che sono ignorante in materia (primo anno di Fisica), però per definire la velocità e l'accelerazione istantanea di un corpo a partire dalla legge oraria il prof. di Fisica generale ha fatto esattamente lo stesso discorso:
$v(t)=lim_(Deltat->0)(Deltax(t))/(Deltat)=(dx(t))/dt$ e $a(t)=lim_(Deltat->0)(Deltav(t))/(Deltat)=d(v(t))/dt=(d^2x(t))/dt^2$.
Ha comunque sottolineato in più occasioni che questa è una operazione matematica che si può applicare in un problema come quello di determinare la velocità di un punto perchè in ogni caso evidentemente il limite da calcolare è molto simile a quella che è la realtà sperimentale effettiva: se si vuole calcolare una velocità "istantanea", bisogna considerare la velocità media in un intervallo di tempo piccolissimo, che però per ovvie ragioni non potrà comunque mai essere infinitesimo nel senso matematico del termine.... Spero di essere stato chiaro = )
$v(t)=lim_(Deltat->0)(Deltax(t))/(Deltat)=(dx(t))/dt$ e $a(t)=lim_(Deltat->0)(Deltav(t))/(Deltat)=d(v(t))/dt=(d^2x(t))/dt^2$.
Ha comunque sottolineato in più occasioni che questa è una operazione matematica che si può applicare in un problema come quello di determinare la velocità di un punto perchè in ogni caso evidentemente il limite da calcolare è molto simile a quella che è la realtà sperimentale effettiva: se si vuole calcolare una velocità "istantanea", bisogna considerare la velocità media in un intervallo di tempo piccolissimo, che però per ovvie ragioni non potrà comunque mai essere infinitesimo nel senso matematico del termine.... Spero di essere stato chiaro = )
"Flaviuz":
$v(t)=lim_(Deltat->0)x(t)=(dx(t))/dt$ e $a(t)=lim_(Deltat->0)v(t)=d(v(t))/dt=(d^2x(t))/dt^2$.
Strane formule
Si comunque il discorso è solido se parliamo di realtà spermentale, ma questa è la definizione teorica di corrente quindi posso immaginare di poter fare tutto quello che voglio, anche di poter cronometrare istanti infinitesimi..nel mio caso il problema nasce dal fatto che se vogliamo essere pignoli il flusso di elettroni attraverso una superficie non è un fenomeno continuo nel tempo, ovvero : se sono abbastanza in gamba da riuscire a fare due fermo-immagine del fenomeno in due istanti infinitesimi successivi noterò che in entrambe le fotografie non vi è alcun passaggio di elettroni..solo che vorrei sapere come scavalcare matematicamente questi problemi in modo da avere una definizione teorica ineccepibile e poter rimanere nel mio mondo perfetto fatto di teoria.
Pazzuzu, parlo con gli studi delle superiori, quindi l' ''analisi'' studiata allora è certamente di livello minore.
Dal punto di vista formale hai ragione tu, è strano che $\Delta t -> 0$ ma non diventi infinitesima (dovrebbe esserlo ''per definizione'' di limite che tende a zero).
Dal punto di vista fisico la giustificazione risiede nel fatto che se si considerasse un effettivo $\Delta t$ infinitesimo non ci sarebbe uno spostamento di cariche, dunque non si potrebbe calcolare l'intensità di corrente. È come voler misurare i 200 metri usando un cronometro che conta massimo 5 secondi.. i 200 si corrono in 20 secondi, non riusciresti a cronometrare nulla.
Una cosa simile la vedemmo quando ci venne introdotta l'energia associata ad un potenziometro $E=1/2 \cdot CV^2$. All'epoca non avevamo visto ancora le derivate, dunque ci eravamo serviti di un grafico con il lavoro in ordinata e la carica in ascissa.. avevamo fatto un discorso simile dicendo che $\Delta Q$ deve essere piccolissimo ma abbastanza grande da contenere delle cariche effettive, dunque non un infinitesimo.
Per il resto ho l'impressione che i fisici tendano ad abusare del linguaggio della matematica, se questa ti sta a cuore quando apri un libro di fisica preparati a dover rinunciare ai formalismi e al rigore matematico.
A lezione regolarmente il nostro prof. di Fisica ci ricorda che ''queste cose a un matematico fanno schifo, ma a noi piacciono così, e funzionano''.
Alla tua domanda rispondo con ''non saprei, comunque questa definizione è comprensibile e raggiunge il suo scopo: esser capita. Per il rigore c'è spazio sui libri di Matematica ''
Dal punto di vista formale hai ragione tu, è strano che $\Delta t -> 0$ ma non diventi infinitesima (dovrebbe esserlo ''per definizione'' di limite che tende a zero).
Dal punto di vista fisico la giustificazione risiede nel fatto che se si considerasse un effettivo $\Delta t$ infinitesimo non ci sarebbe uno spostamento di cariche, dunque non si potrebbe calcolare l'intensità di corrente. È come voler misurare i 200 metri usando un cronometro che conta massimo 5 secondi.. i 200 si corrono in 20 secondi, non riusciresti a cronometrare nulla.
Una cosa simile la vedemmo quando ci venne introdotta l'energia associata ad un potenziometro $E=1/2 \cdot CV^2$. All'epoca non avevamo visto ancora le derivate, dunque ci eravamo serviti di un grafico con il lavoro in ordinata e la carica in ascissa.. avevamo fatto un discorso simile dicendo che $\Delta Q$ deve essere piccolissimo ma abbastanza grande da contenere delle cariche effettive, dunque non un infinitesimo.
Per il resto ho l'impressione che i fisici tendano ad abusare del linguaggio della matematica, se questa ti sta a cuore quando apri un libro di fisica preparati a dover rinunciare ai formalismi e al rigore matematico.
A lezione regolarmente il nostro prof. di Fisica ci ricorda che ''queste cose a un matematico fanno schifo, ma a noi piacciono così, e funzionano''.
Alla tua domanda rispondo con ''non saprei, comunque questa definizione è comprensibile e raggiunge il suo scopo: esser capita. Per il rigore c'è spazio sui libri di Matematica
''
Salve Pazzuzu,
si esiste ed è $ i_s(t) =(Delta Q_S)/(Delta t) $, ma così facendo non hai informazioni sull'intensità di corrente in un particolare $t$, ma in un intervallo di $t$.
Cordiali saluti
"Pazzuzu":
Un salutone a tutti quanti,
leggendo un ottimo libro di elettrotecnica sono incappato in questa definizione di intensità di corrente:
...(ometto alcune parti)...
$ i_s(t) =lim_(\Delta t -> 0) \(Delta Q_S)/\(Delta t) $
e a fondo pagine viene riportato questo promemoria :
Con $\Delta t -> 0$ si intende un intervallo di tempo infinitesimo, e tuttavia abbastanza grande di modo che la superficie $S$ sia attraversata da un numero abbastanza grande di cariche elementari..
Dunque mi chiedevo:
Esiste un modo di definire l'intensità di corrente facendo ricorso ai concetti di carica e di tempo senza dover adoperare questo scempio matematico ? (Una quantità che tende a zero ma che allo stesso tempo si tiene ben lontana dal diventare infinitesima, mah! In ogni caso il libro è ottimo, questa è l'unica pecca che vi ho trovato e pare sia una cosa diffusa nelle definizione di alcuni concetti fisici).
si esiste ed è $ i_s(t) =(Delta Q_S)/(Delta t) $, ma così facendo non hai informazioni sull'intensità di corrente in un particolare $t$, ma in un intervallo di $t$.
Cordiali saluti
per cominciare, premetto che leggere i vostri post mi ha messo un po' di tristezza: non conoscere il significato (nè geometrico, nè fisico evidentemente) delle derivate è grave, anche per chi frequenta un istituto superiore, perchè la matematica, pur se fatta a livello un po' più elementare, non cambia da quella che si fa all'università. non voglio criticare nessuno, ma se avete la necessità di approfondire degli studi, allora c'è il bisogno di approfondire le conoscenze di matematica, ovvero capire ciò che si fa, e perchè lo si fa. condanno eresie del tipo "derivate e limiti, scempi matematici": la matematica è un linguaggio necessario ad esprimere molti concetti, quindi sarebbe bene impararla e capirla. quando si dice che i fisici abusano della matematica, ci si riferisce più che altro al modo in cui (mal)trattano il differenziale, non certo alle definizioni di velocità, accelerazione, corrente e via dicendo: quelle sono rigorose eccome!
chiudo la parentesi, sperando in un approccio ai problemi più critico e professionale in futuro.
le "strane formule" riportate erroneamente sopra, dovrebbero essere derivate. l'invito è quello di riguardarsi la definizione.
Strane formule
Si comunque il discorso è solido se parliamo di realtà spermentale, ma questa è la definizione teorica di corrente quindi posso immaginare di poter fare tutto quello che voglio, anche di poter cronometrare istanti infinitesimi..nel mio caso il problema nasce dal fatto che se vogliamo essere pignoli il flusso di elettroni attraverso una superficie non è un fenomeno continuo nel tempo, ovvero : se sono abbastanza in gamba da riuscire a fare due fermo-immagine del fenomeno in due istanti infinitesimi successivi noterò che in entrambe le fotografie non vi è alcun passaggio di elettroni..solo che vorrei sapere come scavalcare matematicamente questi problemi in modo da avere una definizione teorica ineccepibile e poter rimanere nel mio mondo perfetto fatto di teoria.[/quote]
un istante non si cronometra (altrimenti non si chiamerebbe istante), semmai un intervallo.
cercando di interpretare quello che vuoi dire, il flusso degli elettroni è sicuramente un fenomeno continuo, esattamente come lo è lo scorrere dell'acqua in un tubo. la foto cattura l'immagine in un istante, come potrebbe tale immagine muoversi? devi pensare che il tempo non è fatto di molti istanti, ma di molti intervalli piccolissimi attaccati l'uno all'altro: noi viviamo in un mondo a tempo continuo, non a tempo discreto.
ammettendo che riesci a scattare due foto in due istanti vicinissimi (separati da un intervallo piccolissimo di tempo), puoi trovare la velocità dell'elettrone osservando di quanto si è spostato nella seconda foto, rispetto alla posizione occupata nella prima foto. minore è il tempo che separa le due foto, maggiore sarà la precisione della misura della velocità "istantanea"
chiudo la parentesi, sperando in un approccio ai problemi più critico e professionale in futuro.
le "strane formule" riportate erroneamente sopra, dovrebbero essere derivate. l'invito è quello di riguardarsi la definizione.
"Pazzuzu":
[quote="Flaviuz"]
$v(t)=lim_(Deltat->0)x(t)=(dx(t))/dt$ e $a(t)=lim_(Deltat->0)v(t)=d(v(t))/dt=(d^2x(t))/dt^2$.
Strane formule
Si comunque il discorso è solido se parliamo di realtà spermentale, ma questa è la definizione teorica di corrente quindi posso immaginare di poter fare tutto quello che voglio, anche di poter cronometrare istanti infinitesimi..nel mio caso il problema nasce dal fatto che se vogliamo essere pignoli il flusso di elettroni attraverso una superficie non è un fenomeno continuo nel tempo, ovvero : se sono abbastanza in gamba da riuscire a fare due fermo-immagine del fenomeno in due istanti infinitesimi successivi noterò che in entrambe le fotografie non vi è alcun passaggio di elettroni..solo che vorrei sapere come scavalcare matematicamente questi problemi in modo da avere una definizione teorica ineccepibile e poter rimanere nel mio mondo perfetto fatto di teoria.
[/quote]un istante non si cronometra (altrimenti non si chiamerebbe istante), semmai un intervallo.
cercando di interpretare quello che vuoi dire, il flusso degli elettroni è sicuramente un fenomeno continuo, esattamente come lo è lo scorrere dell'acqua in un tubo. la foto cattura l'immagine in un istante, come potrebbe tale immagine muoversi? devi pensare che il tempo non è fatto di molti istanti, ma di molti intervalli piccolissimi attaccati l'uno all'altro: noi viviamo in un mondo a tempo continuo, non a tempo discreto.
ammettendo che riesci a scattare due foto in due istanti vicinissimi (separati da un intervallo piccolissimo di tempo), puoi trovare la velocità dell'elettrone osservando di quanto si è spostato nella seconda foto, rispetto alla posizione occupata nella prima foto. minore è il tempo che separa le due foto, maggiore sarà la precisione della misura della velocità "istantanea"
Da quanto leggo in questo interessante 3d, mi sembra che si faccia un po' di confusione tra la teoria fisica e i metodi per misurare i parametri fisici, concetti che dovrebbero essere ben distinti e che invece spesso vengono confusi.
La teoria fisica può essere rigorosa almeno quanto la matematica che la rappresenta, i metodi per valutare i parametri fisici invece non possono prescindere dal fatto che la corrente elettrica è un fenomeno discreto costituito da eventi singoli molto numerosi e casuali. Il punto di contatto tra la teoria fisica e i metodi per valutare i parametri può a mio avviso essere costituito dall'utilizzo dei concetti tipici della teoria della probabilità, una teoria pure lei matematicamente descritta in modo ineccepibile. Dunque nessun attrito tra fisica e matematica.
Cerco di spiegarmi meglio con un esempio.
Prendiamo la grandezza fisica "corrente elettrica che attraversa una superficie."
In un certo istante t questa corrente si calcola in questo modo:
[tex]{i_S}\left( t \right) = \int_S {\rho \left( t \right)\vec v\left( t \right) \cdot {{\vec u}_S}dS}[/tex]
dove la densità di carica [tex]\rho \left( t \right) = qN\left( t \right)[/tex] è la carica dell'elettrone moltiplicata per la densità di elettroni N (numero per metro cubo)
Fin qui non c'è nulla di approssimativo, questa è la teoria.
Se poi però ci si domanda come si fa a valutare [tex]\vec v\left( t \right)[/tex] e [tex]N\left( t \right)[/tex] esattamente nel punto in cui si prende [tex]{dS}[/tex], allora si abbandona la teoria fisica e si passa ai metodi statistici per determinare il valore più probabile di una certa grandezza. E questi valori più probabili dei parametri in gioco sono delle astrazioni matematicamente sostenute da una teoria ineccepibile.
Il risultato finale di questo discorso è che la corrente [tex]{i_S}\left( t \right)[/tex] calcolata coi valori più probabili di [tex]\vec v\left( t \right)[/tex] e di [tex]N\left( t \right)[/tex] è anch'essa una media probabilistica di tutti i possibili valori. Però qui, cioè nella teoria della probabilità, sta, secondo me, il punto di raccordo tra il comportamento reale e caotico dei singoli oggetti fisici e la teoria fisica che descrive il comportamento medio degli stessi senza dover derogare da alcun rigore matematico.
La teoria fisica può essere rigorosa almeno quanto la matematica che la rappresenta, i metodi per valutare i parametri fisici invece non possono prescindere dal fatto che la corrente elettrica è un fenomeno discreto costituito da eventi singoli molto numerosi e casuali. Il punto di contatto tra la teoria fisica e i metodi per valutare i parametri può a mio avviso essere costituito dall'utilizzo dei concetti tipici della teoria della probabilità, una teoria pure lei matematicamente descritta in modo ineccepibile. Dunque nessun attrito tra fisica e matematica.
Cerco di spiegarmi meglio con un esempio.
Prendiamo la grandezza fisica "corrente elettrica che attraversa una superficie."
In un certo istante t questa corrente si calcola in questo modo:
[tex]{i_S}\left( t \right) = \int_S {\rho \left( t \right)\vec v\left( t \right) \cdot {{\vec u}_S}dS}[/tex]
dove la densità di carica [tex]\rho \left( t \right) = qN\left( t \right)[/tex] è la carica dell'elettrone moltiplicata per la densità di elettroni N (numero per metro cubo)
Fin qui non c'è nulla di approssimativo, questa è la teoria.
Se poi però ci si domanda come si fa a valutare [tex]\vec v\left( t \right)[/tex] e [tex]N\left( t \right)[/tex] esattamente nel punto in cui si prende [tex]{dS}[/tex], allora si abbandona la teoria fisica e si passa ai metodi statistici per determinare il valore più probabile di una certa grandezza. E questi valori più probabili dei parametri in gioco sono delle astrazioni matematicamente sostenute da una teoria ineccepibile.
Il risultato finale di questo discorso è che la corrente [tex]{i_S}\left( t \right)[/tex] calcolata coi valori più probabili di [tex]\vec v\left( t \right)[/tex] e di [tex]N\left( t \right)[/tex] è anch'essa una media probabilistica di tutti i possibili valori. Però qui, cioè nella teoria della probabilità, sta, secondo me, il punto di raccordo tra il comportamento reale e caotico dei singoli oggetti fisici e la teoria fisica che descrive il comportamento medio degli stessi senza dover derogare da alcun rigore matematico.
@ Giant_Rick : energia associata a un potenziometro ? forse a un condensatore 
.
Elettrotecnica è una materia ingegneristica e quindi applicativa.
Senza nulla voler togliere alla discussione sopra riportata, vorrei che chi segue questa materia ne abbia anche un senso fisico:
quali sono le unità di misura per la intensità di corrente -Ampere
e come la si misura- con uno strumento detto amperometro.
che effetti produce la corrente elettrica - riscaldamento etc etc
e via discorrendo
.Elettrotecnica è una materia ingegneristica e quindi applicativa.
Senza nulla voler togliere alla discussione sopra riportata, vorrei che chi segue questa materia ne abbia anche un senso fisico:
quali sono le unità di misura per la intensità di corrente -Ampere
e come la si misura- con uno strumento detto amperometro.
che effetti produce la corrente elettrica - riscaldamento etc etc
e via discorrendo
"enr87":
....
E' incredibile quello che hai scritto, non ho quasi parole. Forse non hai nemmeno letto i miei post o l'hai fatto troppo velocemente. Non ho tempo di rispondere a tutto quello che hai scritto, commenterò giusto due frasi :
"condanno eresie del tipo "derivate e limiti, scempi matematici""
Io non ho mai detto una cosa del genere, anzi il mio post è in difesa del formalismo matematico se non te ne fossi accorto. Lo scempio a cui mi riferisco è quello fatto della nozione di limite (la quantità $\Delta t ->0$ ma non diventa infinitesima). Io adoro il formalismo matematico ed è proprio per questo che ho aperto questo topic, per difenderlo.
Riguardo alla storia delle fotografie : il mio era un esperimento mentale, e quello che dici tu rivela che davvero non hai letto nulla di quello che è stato scritto finora, perchè lo stesso libro da cui ho preso la citazione che ha scatenato l'apertura di questo topic ritiene che $Delta t$ non debba essere troppo piccolo altrimenti le cariche non "farebbero in tempo" ad attraversare la nostra superficie $S$ di riferimento. Per favore,la prossima volta prenditi un pò più di tempo per analizzare quello che gli utenti scrivono..
Ripeto per non essere frainteso :
Un limite in cui una quantità diventa piccola ma non troppo per me non ha senso, è uno scempio dal punto di vista matematico..La mia domanda era : Come definire l'intensità di corrente istantanea aggirando questo pasticcio matematico?
p.s. Lo so benissimo che le formule sopra sono derivate, il mio "strane formule" era riferito al fatto che l'espressione
$ v(t) = lim_(\Delta t -> 0) x(t) =... $ non è rigorosa .
"Falco5x":
La teoria fisica può essere rigorosa almeno quanto la matematica che la rappresenta, i metodi per valutare i parametri fisici invece non possono prescindere dal fatto che la corrente elettrica è un fenomeno discreto costituito da eventi singoli molto numerosi e casuali. Il punto di contatto tra la teoria fisica e i metodi per valutare i parametri può a mio avviso essere costituito dall'utilizzo dei concetti tipici della teoria della probabilità, una teoria pure lei matematicamente descritta in modo ineccepibile. Dunque nessun attrito tra fisica e matematica.
l risultato finale di questo discorso è che la corrente iSt calcolata coi valori più probabili di v⃗t e di Nt è anch'essa una media probabilistica di tutti i possibili valori. Però qui, cioè nella teoria della probabilità, sta, secondo me, il punto di raccordo tra il comportamento reale e caotico dei singoli oggetti fisici e la teoria fisica che descrive il comportamento medio degli stessi senza dover derogare da alcun rigore matematico.
Interessantissimo, cercherò più informazioni a riguardo, ti ringrazio...non mi ero mai venuto in mente di vederla da questo punto di vista
"Pazzuzu":
La mia domanda era: come definire l'intensità di corrente istantanea aggirando questo pasticcio matematico?
Ovviamente, la domanda è pertinente. Dovresti partire dalla densità di corrente microscopica:
$vecj(vecx,t)=\sum_{k=1}^Nq_kvec(v_k)(t)\delta(vecx-vec(x_k)(t))$
Per saperne di più, dovresti consultare J.D. Jackson, Elettrodinamica classica, 6.7 Deduzione delle equazioni dell'elettromagnetismo macroscopico. Pur avendo solide basi matematiche e fisiche, la lettura risulta molto impegnativa. Tuttavia, nella prima parte puoi trovare una trattazione rigorosa, ma abbordabile, dei processi di media spazio-temporale ricordati da "Falco5x". In ogni modo, questa lettura sta alla materia che stai studiando, come la "Fisica dello stato solido" sta alla "Scienza delle costruzioni".
"Camillo":
@ Giant_Rick : energia associata a un potenziometro ? forse a un condensatore
Sì, stavo guardando il progetto di un preamplificatore per chitarra e mi è rimasto in testa il potenziometro
"Pazzuzu":
[quote="enr87"]....
E' incredibile quello che hai scritto, non ho quasi parole. Forse non hai nemmeno letto i miei post o l'hai fatto troppo velocemente. Non ho tempo di rispondere a tutto quello che hai scritto, commenterò giusto due frasi :
"condanno eresie del tipo "derivate e limiti, scempi matematici""
Io non ho mai detto una cosa del genere, anzi il mio post è in difesa del formalismo matematico se non te ne fossi accorto. Lo scempio a cui mi riferisco è quello fatto della nozione di limite (la quantità $\Delta t ->0$ ma non diventa infinitesima). Io adoro il formalismo matematico ed è proprio per questo che ho aperto questo topic, per difenderlo.
Riguardo alla storia delle fotografie : il mio era un esperimento mentale, e quello che dici tu rivela che davvero non hai letto nulla di quello che è stato scritto finora, perchè lo stesso libro da cui ho preso la citazione che ha scatenato l'apertura di questo topic ritiene che $Delta t$ non debba essere troppo piccolo altrimenti le cariche non "farebbero in tempo" ad attraversare la nostra superficie $S$ di riferimento. Per favore,la prossima volta prenditi un pò più di tempo per analizzare quello che gli utenti scrivono..
Ripeto per non essere frainteso :
Un limite in cui una quantità diventa piccola ma non troppo per me non ha senso, è uno scempio dal punto di vista matematico..La mia domanda era : Come definire l'intensità di corrente istantanea aggirando questo pasticcio matematico?
p.s. Lo so benissimo che le formule sopra sono derivate, il mio "strane formule" era riferito al fatto che l'espressione
$ v(t) = lim_(\Delta t -> 0) x(t) =... $ non è rigorosa .
[/quote]
io penso che sia tu che fraintendi o che non ti esprimi molto bene, tant'è che ripeti quelli che dici di non aver mai detto: "Un limite in cui una quantità diventa piccola ma non troppo per me non ha senso, è uno scempio dal punto di vista matematico". se mi dici che per te è uno scempio non obbietto nulla, è un tuo parere e non ho il diritto di farti pensare quello che voglio io; ma dal punto di vista matematico è una cosa naturalissima. capisci perchè sono in disaccordo?
per quanto riguarda la frase del tuo libro resto un po' perplesso: la superficie ha spessore nullo, per cui mi viene naturale pensare che, pur prendendo un intervallo di tempo piccolissimo, sia possibile ricavare l'intensità di corrente dal punto di vista teorico. comunque a questo proposito ti hanno già risposto sopra.
p.s.: un consiglio, senza toni polemici: riguardati la definizione di derivata e poi rileggi quello che hai scritto nel tuo post scriptum
"enr87":
p.s.: un consiglio, senza toni polemici: riguardati la definizione di derivata e poi rileggi quello che hai scritto nel tuo post scriptum
Forse sarebbe stato meglio che al posto di $x(t)$ vi fosse una quantità in cui fosse presente $\Delta t$, magari un rapporto incrementale , no ? Comunque è una cosa a cui non ho dato peso visto che si trattava di un'inezia..
"enr87":
se mi dici che per te è uno scempio non obbietto nulla, è un tuo parere e non ho il diritto di farti pensare quello che voglio io; ma dal punto di vista matematico è una cosa naturalissima. capisci perchè sono in disaccordo?
Non è per nulla naturale visto che $\Delta t$ deve tendere a $0$ per la definizione di limite mentre il libro mi dice che non deve diventare infinitesimo..c'è qualcosa che non va , sei d'accordo o trovi che sia "naturale" ? mah..
In ogni caso finalmente ho trovato una discussione che lessi tempo fa :
http://www.matematicamente.it/forum/limite-che-tende-a-0-ma-non-troppo-materia-continua-discret-t55320.html?hilit=limite%20ma%20non%20troppo%20limite%20volumetto%20ma%20non%20troppo
Trovi ancora che sia una cosa naturale ?
"speculor":
[quote="Pazzuzu"]
La mia domanda era: come definire l'intensità di corrente istantanea aggirando questo pasticcio matematico?
Ovviamente, la domanda è pertinente. Dovresti partire dalla densità di corrente microscopica:
$vecj(vecx,t)=\sum_{k=1}^Nq_kvec(v_k)(t)\delta(vecx-vec(x_k)(t))$
Per saperne di più, dovresti consultare J.D. Jackson, Elettrodinamica classica, 6.7 Deduzione delle equazioni dell'elettromagnetismo macroscopico. Pur avendo solide basi matematiche e fisiche, la lettura risulta molto impegnativa. Tuttavia, nella prima parte puoi trovare una trattazione rigorosa, ma abbordabile, dei processi di media spazio-temporale ricordati da "Falco5x". In ogni modo, questa lettura sta alla materia che stai studiando, come la "Fisica dello stato solido" sta alla "Scienza delle costruzioni".[/quote]
Grazie mille per il suggerimento, mi basta l'infarinatura di fondo che mi avete dato voi, era un approccio a cui non avevo mai pensato..
"Pazzuzu":
Forse sarebbe stato meglio che al posto di xt vi fosse una quantità in cui fosse presente Δt, magari un rapporto incrementale , no ? Comunque è una cosa a cui non ho dato peso visto che si trattava di un'inezia..
davo per scontato che lo sapessi, l'errore macroscopico è che dici che non è rigorosa, contrariamente a quanto detto precedentemente anche da Falco5x:
"Falco5x":
La teoria fisica può essere rigorosa almeno quanto la matematica che la rappresenta
[..]Però qui, cioè nella teoria della probabilità, sta, secondo me, il punto di raccordo tra il comportamento reale e caotico dei singoli oggetti fisici e la teoria fisica che descrive il comportamento medio degli stessi senza dover derogare da alcun rigore matematico.
stai confondendo la realtà con l'astrazione teorica, comunque l'importante è che tu pensi di aver capito
"enr87":
stai confondendo la realtà con l'astrazione teorica, comunque l'importante è che tu pensi di aver capito
Dai , lascia stare.
Sottolineo che all'inizio della discussione ho corretto la definizione di velocità e accelerazione, che per un madornale e grossolano errore avevo scritto come un limite non di un rapporto incrementale, ma della legge stessa... scusate.
guarda, secondo me è un errore "concettuale" dell'autore, è una mia opinione prendila come ti pare. mi spiego.
la teoria dei circuiti è una teoria assiomatica che studia una struttura matematica, un'astrazione.
una voltaindividuato il fenomeno fisico di cui vuoi indagare la struttura e una volta creata un'astrazione (con determinati assiomi, che possono derivare anche da fattori sperimentali ma che nel tuo piccolo sistema sono assiomi, non c'è distinzione di razza o sesso) destinata ad essere analizzata tramite la matematica hai creato inevitabilmente una scissione tra fenomeno e rappresentazione astratta. scissione non nel senso che si perdono di vista, certo, il modello e il fenomeno restano legati poichè la validità di questo sarà in qualche modo verificata dal comportamento del fenomeno, ma nel senso che , benchè la corrente in realtà sia un flusso discreto e la carica è quantizzata, se, per le dinamiche di interesse, una rappresentazione sottoforma di quantità continua della carica, la cui definizione costituisce una definizione di partenza per la teoria è ritenuta valida all'interno della tua rappreserntazione allora quella è e su quela puoi fare le tue analisi, dunque se nella tua teoria dei circuiti nelle connessioni ideali la carica si muove in moto continuo allora la definizione di corrente come la derivata ha senso sempre, anche se in realtà in un intervallo dt non passa nemmeno un e- nel fenomeno reale. ha senso perchè deriva da un assioma. poi chiaramente se la teoria sviluppata non porta a risultati soddisfacenti potrai reinventarla, ma non piace molto il fatto che si possa derivare una definizione da una quantità primitiva, fondamentale, all'interno della teoria usando gli strumenti della matematica definendola in termini di concetti esterni che non esistono nelle tue premesse, come appunto il fatto che il flusso sia discreto. cioè come puoi sporcare la definizione di una grandezza, definita secondo le regole formali proprie della tua teoria e derivata da un concetto primitivo con un concetto che in essa NON esiste? al massimo ci penserai quando dovrai fare il percorso inverso e ad andare a creare un fenomeno che segua la tua teoria, ma quelle sono azioni ESTERNE al tuo sistema, alla tua teoria dei circuiti.
la teoria dei circuiti è una teoria assiomatica che studia una struttura matematica, un'astrazione.
una voltaindividuato il fenomeno fisico di cui vuoi indagare la struttura e una volta creata un'astrazione (con determinati assiomi, che possono derivare anche da fattori sperimentali ma che nel tuo piccolo sistema sono assiomi, non c'è distinzione di razza o sesso) destinata ad essere analizzata tramite la matematica hai creato inevitabilmente una scissione tra fenomeno e rappresentazione astratta. scissione non nel senso che si perdono di vista, certo, il modello e il fenomeno restano legati poichè la validità di questo sarà in qualche modo verificata dal comportamento del fenomeno, ma nel senso che , benchè la corrente in realtà sia un flusso discreto e la carica è quantizzata, se, per le dinamiche di interesse, una rappresentazione sottoforma di quantità continua della carica, la cui definizione costituisce una definizione di partenza per la teoria è ritenuta valida all'interno della tua rappreserntazione allora quella è e su quela puoi fare le tue analisi, dunque se nella tua teoria dei circuiti nelle connessioni ideali la carica si muove in moto continuo allora la definizione di corrente come la derivata ha senso sempre, anche se in realtà in un intervallo dt non passa nemmeno un e- nel fenomeno reale. ha senso perchè deriva da un assioma. poi chiaramente se la teoria sviluppata non porta a risultati soddisfacenti potrai reinventarla, ma non piace molto il fatto che si possa derivare una definizione da una quantità primitiva, fondamentale, all'interno della teoria usando gli strumenti della matematica definendola in termini di concetti esterni che non esistono nelle tue premesse, come appunto il fatto che il flusso sia discreto. cioè come puoi sporcare la definizione di una grandezza, definita secondo le regole formali proprie della tua teoria e derivata da un concetto primitivo con un concetto che in essa NON esiste? al massimo ci penserai quando dovrai fare il percorso inverso e ad andare a creare un fenomeno che segua la tua teoria, ma quelle sono azioni ESTERNE al tuo sistema, alla tua teoria dei circuiti.
Un altro assioma è che fisici e matematici si guardano sempre con grande sospetto reciproco e sui formalismi matematici fanno sempre baruffa 
.
Scherzi a parte sono abbastanza d'accordo con cyd, la funzione matematica carica elettrica per essere derivabile deve essere continua, e rappresenta una opportuna astrazione della carica reale che è invece discreta.
.Scherzi a parte sono abbastanza d'accordo con cyd, la funzione matematica carica elettrica per essere derivabile deve essere continua, e rappresenta una opportuna astrazione della carica reale che è invece discreta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo