L'energia infinita dell'onda elettromagnetica piana
Il mio professore di elettrodinamica ci ha lasciato come esercizio di provare che l'energia trasportata da un'onda elettromagnetica piana monocromatica è infinita. Dopo aver risolto l'equazione delle onde in gauge di radiazione e trovati i campi elettrico e magnetico della forma:
$ E(x,t)=E_0 cos(kx-\omega t)$ ; $B(x,t)=B_0 cos(kx-\omega t)$
dove $E_0$ e $B_0$ sono vettori reali costanti ed il sistema d'assi è scelto in modo che l'asse $x$ sia lungo la direzione di propagazione, procedo con il calcolo della densità di energia istantanea (unità SI):
$ W(x,t) = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B_0^2}{\mu_0}=\epsilon_0 E_0^2 cos^2(kx-\omega t)$
avendo utilizzato le relazioni $ |B_0|=|E_0|/c$ e $ \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}=c^2$
Se adesso provo ad integrare su tutto lo spazio questa densità, per avere l'energia totale:
$ int_{R^3} W dx dy dz = \epsilon_0E_0^2 int_{R^3} cos^2(kx-\omega t) dx dy dz$
ottengo un termine oscillante dall'integrazione in $x$ del coseno quadro che non saprei come discutere per giungere al risultato "energia infinita". Qualcuno saprebbe illluminarmi e dirmi dove sbaglio? Grazie.
$ E(x,t)=E_0 cos(kx-\omega t)$ ; $B(x,t)=B_0 cos(kx-\omega t)$
dove $E_0$ e $B_0$ sono vettori reali costanti ed il sistema d'assi è scelto in modo che l'asse $x$ sia lungo la direzione di propagazione, procedo con il calcolo della densità di energia istantanea (unità SI):
$ W(x,t) = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B_0^2}{\mu_0}=\epsilon_0 E_0^2 cos^2(kx-\omega t)$
avendo utilizzato le relazioni $ |B_0|=|E_0|/c$ e $ \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}=c^2$
Se adesso provo ad integrare su tutto lo spazio questa densità, per avere l'energia totale:
$ int_{R^3} W dx dy dz = \epsilon_0E_0^2 int_{R^3} cos^2(kx-\omega t) dx dy dz$
ottengo un termine oscillante dall'integrazione in $x$ del coseno quadro che non saprei come discutere per giungere al risultato "energia infinita". Qualcuno saprebbe illluminarmi e dirmi dove sbaglio? Grazie.
Risposte
Sto vedendo esattamente lo stesso problema ..... hai trovato la soluzione ?????
Per curiosità in che università stai studiando????
Per curiosità in che università stai studiando????
Ciao, Studio a L'Aquila. L'ho risolto in parte, considerando la media temporale della densità di energia su un periodo, che è una quantità costante. Questo ha senso fisicamente, dato che uno strumento con tempi di integrazione molto maggiori del periodo di un'onda vedrà proprio questo valore. A parte questa "scappatoia" non ho risolto il problema dell'integrale oscillante ma chiederò in settimana al mio docente dato che entro fine mese devo consegnargli questi esercizi in vista dell'esame. Posterò la risposta.
Ti ho scritto in privato ok?
Vabbé, ma per fissato \(t\), la funzione \((x,y,z)\mapsto \cos^2 (kx-\omega t)\) è positiva e non sommabile su tutto \(\mathbb{R}^3\)...
Per vederlo, innanzitutto leviamoci di mezzo tutte le cose inutili dall'integrando, facendo il cambiamento di variabili:
\[
\begin{cases}
X=kx-\omega t\\
Y=y\\
Z=z
\end{cases}
\]
di modo che:
\[
\iiint_{\mathbb{R}^3} \cos^2 (kx-\omega t)\ \text{d} x\text{d} y\text{d}z = \frac{1}{|k|} \iiint_{\mathbb{R}^3} \cos^2 X\ \text{d} X\text{d} Y\text{d} Z
\]
e basta analizzare il comportamento di \((X,Y,Z)\mapsto \cos^2 X\); fatto ciò, notiamo che su ogni intervallo del tipo \(]-\pi/2 +n\pi, \pi/2 +n\pi[\) con \(n\in \mathbb{Z}\), la funzione \(X\mapsto \cos^2 X\) è integrabile ed ha integrale positivo che non dipende dall'indice \(n\); dunque, detto \(I>0\) il valore di tale integrale, troviamo:
\[
\begin{split}
\iiint_{\mathbb{R}^3} \cos^2 X\ \text{d} X\text{d} Y\text{d} Z &= \lim_{n,m,p\to \infty} \int_{-\pi/2 -n\pi}^{\pi/2 + n\pi} \int_{-m}^m \int_{-p}^p \cos^2 X\ \text{d} X \text{d} Y\text{d} Z \qquad \text{(} n,m,p\in \mathbb{N}\text{)}\\
&=\lim_{n,m,p\to \infty} \int_{-m}^m \int_{-p}^p \left( \sum_{j=-n}^n \int_{-\pi/2+ j\pi}^{\pi/2 +j\pi} \cos^2 X\ \text{d} X\right)\ \text{d} Y\text{d} Z \\
&= \lim_{n,m,p\to \infty} \int_{-m}^m \int_{-p}^p \left( \sum_{j=-n}^n I\right)\ \text{d} Y\text{d} Z\\
&= \lim_{n,m,p\to \infty} 4mp(2n+1)\ I\\
&=+\infty\; .
\end{split}
\]
Per vederlo, innanzitutto leviamoci di mezzo tutte le cose inutili dall'integrando, facendo il cambiamento di variabili:
\[
\begin{cases}
X=kx-\omega t\\
Y=y\\
Z=z
\end{cases}
\]
di modo che:
\[
\iiint_{\mathbb{R}^3} \cos^2 (kx-\omega t)\ \text{d} x\text{d} y\text{d}z = \frac{1}{|k|} \iiint_{\mathbb{R}^3} \cos^2 X\ \text{d} X\text{d} Y\text{d} Z
\]
e basta analizzare il comportamento di \((X,Y,Z)\mapsto \cos^2 X\); fatto ciò, notiamo che su ogni intervallo del tipo \(]-\pi/2 +n\pi, \pi/2 +n\pi[\) con \(n\in \mathbb{Z}\), la funzione \(X\mapsto \cos^2 X\) è integrabile ed ha integrale positivo che non dipende dall'indice \(n\); dunque, detto \(I>0\) il valore di tale integrale, troviamo:
\[
\begin{split}
\iiint_{\mathbb{R}^3} \cos^2 X\ \text{d} X\text{d} Y\text{d} Z &= \lim_{n,m,p\to \infty} \int_{-\pi/2 -n\pi}^{\pi/2 + n\pi} \int_{-m}^m \int_{-p}^p \cos^2 X\ \text{d} X \text{d} Y\text{d} Z \qquad \text{(} n,m,p\in \mathbb{N}\text{)}\\
&=\lim_{n,m,p\to \infty} \int_{-m}^m \int_{-p}^p \left( \sum_{j=-n}^n \int_{-\pi/2+ j\pi}^{\pi/2 +j\pi} \cos^2 X\ \text{d} X\right)\ \text{d} Y\text{d} Z \\
&= \lim_{n,m,p\to \infty} \int_{-m}^m \int_{-p}^p \left( \sum_{j=-n}^n I\right)\ \text{d} Y\text{d} Z\\
&= \lim_{n,m,p\to \infty} 4mp(2n+1)\ I\\
&=+\infty\; .
\end{split}
\]
Grazie mille gugo82, sei stato molto chiaro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo