Leggi di trasformazione dei campi e campo magnetico generato da un filo percorso da corrente
Salve a tutti, mi sarebbe utile se qualcuno mi desse un parere sulla risoluzione del seguente problema.
Calcolare il campo magnetico B generato da una corrente I in un filo rettilineo infinitamente lungo, conoscendo la forma del campo elettrico generato da una distribuzione rettilinea ed uniforme di cariche elettriche statiche, le leggi di trasformazione dei campi elettromagnetici per boost di Lorentz, e usando opportunamente il principio di sovrapposizione per campi elettromagnetici.
Non posto la mia risoluzione per non sviare chi volesse tentare di risolvere il problema, il punto cruciale di questo problema è l'utilizzo del principio di sovrapposizione dei campi, come lo utilizzereste voi?
Ringrazio in anticipo per l'aiuto
Calcolare il campo magnetico B generato da una corrente I in un filo rettilineo infinitamente lungo, conoscendo la forma del campo elettrico generato da una distribuzione rettilinea ed uniforme di cariche elettriche statiche, le leggi di trasformazione dei campi elettromagnetici per boost di Lorentz, e usando opportunamente il principio di sovrapposizione per campi elettromagnetici.
Non posto la mia risoluzione per non sviare chi volesse tentare di risolvere il problema, il punto cruciale di questo problema è l'utilizzo del principio di sovrapposizione dei campi, come lo utilizzereste voi?
Ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
Non ho capito granchè bene quale sia il punto cruciale del principio di sovrapposizione, ma se scegli un boost ortogonale all'asse del filo ti viene direttamente il campo magnetico (se lo scegli parallelo ti si annulla il prodotto vettoriale tra velocità e campo elettrico). A quel punto devi solo fare considerazioni fisiche del tipo riconoscere la corrente come una densità di cariche per la velocità e ricordarti che $\epsilon \mu = 1/c^2$ . Almeno così ad occhio mi pare non ci siano grossi problemi, ma se ho capito male il contesto dimmi pure e vediamo un po'.
Il boost deve essere scelto parallelamente per vedere un moto di cariche nel nuovo sistema. Il mio dubbio è su come utilizzare il principio di sovrapposizione dei campi elettromagnetici visto che si ottiene subito la legge di Biot-Savart per il filo. Allora un modo può essere quello quello di considerare sia il moto di cariche positive, sia il moto di cariche negative, e infine sommare i contributi dati dai campi magnetici ... come dicevo, il dubbio fondamentale non è utilizzare le leggi di trasformazione dei campi, è avere al sovrapposizione di campi. Mi sapete dire qualcosa ora?
Ma parallelo a cosa? Gli assi devono essere paralleli che c'entra il campo.
Edit : Analizziamo un attimo il problema. La richiesta è trovare il campo magnetico di un filo percorso da corrente $I$ ovvero devi trovare che $B=\mu I/(2\pi) 1/r \vect$ dove $ t $ è il versore(ometto il simbolo) tangente alla circonferenza con ass concentrico al filo.
Devi partire dal valore del campo elettrico di una distribuzione di carica lineare cioè da $E=\lambda / (2\pi\epsilon) 1/r \vecz$ ponendo un sistema di riferimento con asse z lungo il filo; hai inoltre a disposizione le espressioni di come il campo cambi sotto lorentz. Riporto solo ciò che ci interessa $B'_p=B_p$ e $B'_o=\gamma (B_o-1/c^2 v\timesE)$ dove i pedici significano parallelo ed ortogonale.
Ora i SR sono con assi paralleli e scelgo una velocità relativa diretta come gli assi $x$ e $x'$. Preso questo filo con densità di carica lineare, la componente parallela al boost del campo è chiaramente nulla, poiché è nullo il campo magnetico nel sistema solidale al filo. Non resta che calcolare la componente ortogonale. Ancora il campo magnetico ortogonale nel sistema solidale è sempre nullo quindi resta
$B'_o=\gamma (-1/c^2 v\timesE)$ ma velocità e campo elettrico sono ortogonali quindi $B'_o=-\gamma /c^2 v E \vect$ dove il versore è diretto verso le y negative. Fine. Ora introduci il valore del campo elettrico
$B'_o=-\gamma /c^2 v (\lambda / (2\pi\epsilon) 1/r ) \vect$ se consideri che $\epsilon\mu=1/c^2$ e che $\gammav\lambda=I$ hai $B=\mu I/(2\pi) 1/r \vect$ (avendo aggiustato il segno con il verso supposto per la corrente)
Edit : Analizziamo un attimo il problema. La richiesta è trovare il campo magnetico di un filo percorso da corrente $I$ ovvero devi trovare che $B=\mu I/(2\pi) 1/r \vect$ dove $ t $ è il versore(ometto il simbolo) tangente alla circonferenza con ass concentrico al filo.
Devi partire dal valore del campo elettrico di una distribuzione di carica lineare cioè da $E=\lambda / (2\pi\epsilon) 1/r \vecz$ ponendo un sistema di riferimento con asse z lungo il filo; hai inoltre a disposizione le espressioni di come il campo cambi sotto lorentz. Riporto solo ciò che ci interessa $B'_p=B_p$ e $B'_o=\gamma (B_o-1/c^2 v\timesE)$ dove i pedici significano parallelo ed ortogonale.
Ora i SR sono con assi paralleli e scelgo una velocità relativa diretta come gli assi $x$ e $x'$. Preso questo filo con densità di carica lineare, la componente parallela al boost del campo è chiaramente nulla, poiché è nullo il campo magnetico nel sistema solidale al filo. Non resta che calcolare la componente ortogonale. Ancora il campo magnetico ortogonale nel sistema solidale è sempre nullo quindi resta
$B'_o=\gamma (-1/c^2 v\timesE)$ ma velocità e campo elettrico sono ortogonali quindi $B'_o=-\gamma /c^2 v E \vect$ dove il versore è diretto verso le y negative. Fine. Ora introduci il valore del campo elettrico
$B'_o=-\gamma /c^2 v (\lambda / (2\pi\epsilon) 1/r ) \vect$ se consideri che $\epsilon\mu=1/c^2$ e che $\gammav\lambda=I$ hai $B=\mu I/(2\pi) 1/r \vect$ (avendo aggiustato il segno con il verso supposto per la corrente)
Esatto, è esattamente ciò che ho fatto per risolvere il problema inizialmente, tuttavia non viene utilizzato in tale procedimento in maniera esplicita il principio di sovrapposizione dei campi elettromagnetici, quindi la risposta così data, pur se sensata, non utilizza una richiesta esplicita del problema, e quindi risulta una risposta parziale. Quello che vorrei capire è dove il principio di sovrapposizione viene applicato esplicitamente. Allora le mie ipotesi sono 2:
1) Si fa esattamente lo stesso procedimento, ma anzi che considerare come trasforma il campo magnetico nel boost, si trova come trasforma il campo elettrico, a questo punto il campo magnetico generato da una carica in moto è conosciuto ($B = v^^ E$), si sommano i campi magnetici generati dalle cariche, in questo modo anche i campi elettrici sommano .... e si ottiene esattamente lo stesso risultato.
2) Bisogna considerare anche un moto di cariche negative, oltre che positive per parlare di corrente ... quindi il procedimento iniziale (non necessariamente quello dell'ipotesi 1)) va fatto una distribuzione di cariche negative statiche e per una distribuzione di cariche positive statiche. Infine si sommano i contributi e la corrente risulterà: $I = lambda_{+} v_+ + lambda _{-}v_-$.
Con entrambi questi metodi si utilizza la sovrapposizione in maniera esplicita... ma magari mi sfugge qualcosa.
1) Si fa esattamente lo stesso procedimento, ma anzi che considerare come trasforma il campo magnetico nel boost, si trova come trasforma il campo elettrico, a questo punto il campo magnetico generato da una carica in moto è conosciuto ($B = v^^ E$), si sommano i campi magnetici generati dalle cariche, in questo modo anche i campi elettrici sommano .... e si ottiene esattamente lo stesso risultato.
2) Bisogna considerare anche un moto di cariche negative, oltre che positive per parlare di corrente ... quindi il procedimento iniziale (non necessariamente quello dell'ipotesi 1)) va fatto una distribuzione di cariche negative statiche e per una distribuzione di cariche positive statiche. Infine si sommano i contributi e la corrente risulterà: $I = lambda_{+} v_+ + lambda _{-}v_-$.
Con entrambi questi metodi si utilizza la sovrapposizione in maniera esplicita... ma magari mi sfugge qualcosa.
Sul 1) ci può anche stare che vedere come cambia il campo elettrico e poi ricavare il magnetico ma è un po' una cosa circolare, alla fine. Se ritieni abbia problemi l'approccio diretto sul campo magnetico non è poi molto diversa questa seconda via.
Sul 2) anche, certo puoi considerare separatamente il contributo del moto di cariche positive e negative però il punto è che quando vai a scrivere $\lambda$ stai già dicendo che in quella somma ci sarà una parte di cariche opposte che faranno annullare le rispettive correnti e l'eccedenza di cariche che sarà l'unica, diciamo, efficace. Quindi anche qui diciamo è più un modo per provare a rigirare le cose in funzione del testo che non trovare un risultato di fisica. Secondo me l'uso "opportuno della sovrapposizione" si esaurisce nelle considerazioni sul fatto che nelle relazioni delle trasformazioni di campo alcuni contributi nella sovrapposizioni dei termini elettrici e magnetici sono nulli. Ad esempio la componente $B_o$ nella risoluzione che avevo fatto. Quella è comunque una sovrapposizione esplicita dei campi, io credo che abbia voluto solo enfatizzare questa cosa ed anche la simmetria rotazionale del sistema. Per il resto francamente non viene in mente un altro modo di procedere che non sia un rimescolare le carte tanto per metterci altre somme.
Sul 2) anche, certo puoi considerare separatamente il contributo del moto di cariche positive e negative però il punto è che quando vai a scrivere $\lambda$ stai già dicendo che in quella somma ci sarà una parte di cariche opposte che faranno annullare le rispettive correnti e l'eccedenza di cariche che sarà l'unica, diciamo, efficace. Quindi anche qui diciamo è più un modo per provare a rigirare le cose in funzione del testo che non trovare un risultato di fisica. Secondo me l'uso "opportuno della sovrapposizione" si esaurisce nelle considerazioni sul fatto che nelle relazioni delle trasformazioni di campo alcuni contributi nella sovrapposizioni dei termini elettrici e magnetici sono nulli. Ad esempio la componente $B_o$ nella risoluzione che avevo fatto. Quella è comunque una sovrapposizione esplicita dei campi, io credo che abbia voluto solo enfatizzare questa cosa ed anche la simmetria rotazionale del sistema. Per il resto francamente non viene in mente un altro modo di procedere che non sia un rimescolare le carte tanto per metterci altre somme.
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