Leggi dell'ottica dalle equazioni di Maxwell, problema!
Salve a tutti, nel dedurre le leggi dell'ottica geometrica a partire dalle equazioni di Maxwell ho incontrato un piccolo problema che non so come risolvere. Seguendo ciò che è trattato nei "Principi di ottica" di M.Born ed E.Wolf, una volta dato il campo scalare indice di rifrazione $n(\vec{r})$ e l'ansatz di soluzione per i campi $\vec{E}$ ed $\vec{H}$ come $\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{e}_0(\vec{r})e^{i(S(\vec{r})-\omega t)}$ ed $\vec{H}(\vec{r},t) = \vec{h}_0(\vec{r})e^{i(S(\vec{r})-\omega t)}$ (con $\S(\vec{r}) $ funzione reale detta iconale, definita in tutto lo spazio) da inserire nelle equazioni di Maxwell, si trova che la funzione $S$ soddisfa la cosiddetta equazione dell'iconale: $(\nabla S)^2 = n^2$. A questo punto vengono definiti i raggi ottici come le linee in ogni punto tangenti al campo vettoriale $\hat{s}(\vec{r}) = \frac{\nabla S(\vec{r})}{n(\vec{r})}$ che soddisfano l'equazione del raggio $\frac{d}{ds} ( n \frac{d\vec{r}}{ds}) = \nabla n$, (dove $s$ è l'ascissa curvilinea del raggio e $\vec{r}(s)$ l'equazione parametrica dello stesso) una volta date le opportune condizioni iniziali.
Il mio problema sorge qui. Se mi limito a considerare come ansatz quello appena effettuato, riesco a prevedere correttamente la propagazione dei raggi nei materiali e la loro rifrazione alle interfacce, una volta fissate le condizioni iniziali (che nel caso più semplice è la forma di un fronte d'onda in una data regione di spazio, o se preferite la posizione e la forma della sorgente dei raggi), ma non a prevedere i raggi riflessi. Immagino ad esempio questa semplicissima geometria: due dielettrici isotropi e omogenei di indice di rifrazione $n_1$ e $n_2$ separati da un'interfaccia piana indefinita, con un sorgente puntiforme di onde sferiche nel mezzo 1. Le condizioni iniziali sono indicate dalle normali al fronte d'onda $S_0$ appartenente all'iconale $S(\vec{r})$. A questo punto risolvo l'equazione dei raggi con queste condizioni iniziali, applico le condizioni di continuità del campo $\hat{s}(\vec{r}) = \frac{\nabla S(\vec{r})}{n(\vec{r})}$ all'interfaccia dovute al fatto che $\nabla \times n\hat{s} = \nabla \times \nabla S(\vec{r}) = 0$ (legge di Snell sostanzialmente) e trovo che i raggi si propagano dalla sorgente in linea retta fino all'interfaccia, dopodichè subiscono rifrazione e proseguono in linea retta nel secondo mezzo. Tutto questo è stato previsto usando come ansatz quello citato sopra. Ma delle onde riflesse nessuna traccia, il campo $\hat{s}(\vec{r})$ cosi individuato risolvendo le equazioni del raggio è dato dai soli raggi emanati dalla sorgente e da quelli rifratti, fine. Dato che le onde riflesse ci devono essere per soddisfare le condizioni al bordo dell'interfaccia per i campi $E$ ed $H$, come faccio a farle saltare fuori? Devo inserire come ansatz la sovrapposizione lineare di due campi, ognuno con la propria iconale, dove uno è il campo riflesso e uno quello rifratto sfruttando la linearità delle equazioni di Maxwell? Che dominio avrebbe nello spazio l'iconale del campo riflesso?
Il mio problema sorge qui. Se mi limito a considerare come ansatz quello appena effettuato, riesco a prevedere correttamente la propagazione dei raggi nei materiali e la loro rifrazione alle interfacce, una volta fissate le condizioni iniziali (che nel caso più semplice è la forma di un fronte d'onda in una data regione di spazio, o se preferite la posizione e la forma della sorgente dei raggi), ma non a prevedere i raggi riflessi. Immagino ad esempio questa semplicissima geometria: due dielettrici isotropi e omogenei di indice di rifrazione $n_1$ e $n_2$ separati da un'interfaccia piana indefinita, con un sorgente puntiforme di onde sferiche nel mezzo 1. Le condizioni iniziali sono indicate dalle normali al fronte d'onda $S_0$ appartenente all'iconale $S(\vec{r})$. A questo punto risolvo l'equazione dei raggi con queste condizioni iniziali, applico le condizioni di continuità del campo $\hat{s}(\vec{r}) = \frac{\nabla S(\vec{r})}{n(\vec{r})}$ all'interfaccia dovute al fatto che $\nabla \times n\hat{s} = \nabla \times \nabla S(\vec{r}) = 0$ (legge di Snell sostanzialmente) e trovo che i raggi si propagano dalla sorgente in linea retta fino all'interfaccia, dopodichè subiscono rifrazione e proseguono in linea retta nel secondo mezzo. Tutto questo è stato previsto usando come ansatz quello citato sopra. Ma delle onde riflesse nessuna traccia, il campo $\hat{s}(\vec{r})$ cosi individuato risolvendo le equazioni del raggio è dato dai soli raggi emanati dalla sorgente e da quelli rifratti, fine. Dato che le onde riflesse ci devono essere per soddisfare le condizioni al bordo dell'interfaccia per i campi $E$ ed $H$, come faccio a farle saltare fuori? Devo inserire come ansatz la sovrapposizione lineare di due campi, ognuno con la propria iconale, dove uno è il campo riflesso e uno quello rifratto sfruttando la linearità delle equazioni di Maxwell? Che dominio avrebbe nello spazio l'iconale del campo riflesso?
Risposte
Se non sbaglio dalle equazioni del raggio che hai scritto tu si dovrebbe ricavare il principio di fermat (o comunque si può mostrare che le due formulazioni sono equivalenti) e da quest'ultimo si ricava l'ottica geometrica...
fammi sapere se riesci a proseuire così sennò cerco vecchie cose...
fammi sapere se riesci a proseuire così sennò cerco vecchie cose...
Grazie della risposta, innanzitutto! Si come hai detto tu il principio di Fermat lo si può ricavare direttamente dall'equazione dell'iconale oppure da quella dei raggi (una deriva dall'altra), in quanto le soluzioni (raggi) sono le curve $gamma$ che rendono stazionario il funzionale $int_{\gamma}n\hat{s} \cdot d\vec{r}$. Tuttavia questo non mi aiuta se non a calcolare le traiettorie dei raggi rifratti, infatti il principio ha come ipotesi che vi sia un unico raggio che congiunge due punti dello spazio, mentre in presenza di onde riflesse è possibile che più raggi della sorgente vegano intersecati da quelli riflessi, basti pensare al fuoco di uno specchio sferico. In tal caso non solo Fermat non vale più, ma il campo $n\hat{s}$ non è più nemmeno univocamente definito nelle regioni di spazio dove più di un fronte d'onda passa nello stesso punto, rendendo il calcolo alle variazioni privo di senso!
"MBUnitn":
Tuttavia questo non mi aiuta se non a calcolare le traiettorie dei raggi rifratti, infatti il principio ha come ipotesi che vi sia un unico raggio che congiunge due punti dello spazio, mentre in presenza di onde riflesse è possibile che più raggi della sorgente vegano intersecati da quelli riflessi, basti pensare al fuoco di uno specchio sferico. In tal caso non solo Fermat non vale più, ma il campo $n\hat{s}$ non è più nemmeno univocamente definito nelle regioni di spazio dove più di un fronte d'onda passa nello stesso punto, rendendo il calcolo alle variazioni privo di senso!
andiamo per gradi,
restando al caso semplice di un mezzo riflettente (fallo in 2D, è immediato) se mandi un raggio da A e B fissati in un punto del piano P fissato da un parametro e applichi il principio di minimo cammino otterrai la legge di riflessione dell'ottica geometrica.
La legge di snell l'hai già ricavata, l'ottica geometrica adesso ce l'hai!
In generale il principio afferma che la luce percorrerà il cammino con minimo "sforzo", quindi le rette in un mezzo, ed ecco tutto quello che serve per l'ottica mi pare no? Ci sono modi di fare quello che dici tu ovvero far sì che più cammini abbiano lo stesso valore del funzionale. Infatti il vero principio che discende dal calcolo delle variazioni richiede la STAZIONARIETA' del funzionale non il minimo... (un bellissimo libro che chiarirà tutti i tuoi dubbi se ancora ne hai è QED: la strana storia della luce e qualcosa.. di Feynmann)
"MBUnitn":
andiamo per gradi,
restando al caso semplice di un mezzo riflettente (fallo in 2D, è immediato) se mandi un raggio da A e B fissati in un punto del piano P fissato da un parametro e applichi il principio di minimo cammino otterrai la legge di riflessione dell'ottica geometrica.
La legge di snell l'hai già ricavata, l'ottica geometrica adesso ce l'hai!
Ma il "cammino" di cui parli è $\int_{gamma}n\hat{s} \cdot d\vec{r}$, con $\hat{s} = \frac{nabla S}{n}$ da cui $int_{gamma} nabla S \cdot d\vec{r} = S(A) - S(B)$ con A e B estremi della curva, ed S funzione iconale che definisce il campo $\hat{s}$. Se nello stesso mezzo devo avere un onda diretta (quella che origina riflessione) e una riflessa, queste non posso rappresentarle con lo stesso iconale (necessariamente devo includerne almeno due, nel caso 1D $S_1 = kx$ ed $S_2 = -kx$, ma qui è facile..) quindi se $\hat{s}$ non è più univocamente definito perchè ora nello stesso punto ho due iconali (in particolare $\hat{s}_1 = k$ ed $\hat{s}_2 = -k$), come posso calcolare tale integrale? Io voglio ragionare in termini di iconali presenti nel mezzo, e il loro dominio nello spazio, perchè è da quelle che si parte per definire i raggi, senza aver ben chiaro come sono fatte in caso di riflessione, come faccio a parlare di raggi e a disegnarli??? Scusami Fox se magari mi esprimo male nell'esporre il problema!
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