Legge oraria/della velocità nella fisica moderna
Allora io ho studiato solo la meccanica classica (sono al liceo), nella quale valgono le leggi di Newton eccetera eccetera, anche se ormai da quasi un secolo si è convenuto che i modelli newtoniani non esistono da nessuna parte.
Bene, mi chiedevo, esiste (nell'ambito della fisica relativistica, per esempio) una formula che evidenzi la legge della velocità di un corpo V(t)? Una legge verosimile, e con questo intendo dire (per esempio) che non raggiungerà mai la velocità della luce, anche se su questo corpo dovesse agire una forza molto grande per un milione di anni?
Io avrei trovato una formula (per la velocità), la cui analisi dimensionale restituisce correttamente la velocità in m/s e il cui grafico è simile a una retta fino a un certo punto, mentre con l'avanzare del tempo curva tendendo a c (per esempio se io continuassi a spingere un oggetto con una forza F, inizialmente il suo moto sarebbe decritto dalla legge oraria classica, ma a velocità paragonabili a quelle della luce assumerebbe tutt'altre caratteristiche), ma non so quanto sia giusta affidabile.
Qualcuno sa rispondermi (o, nel caso, spiegarmi perché quello che chiedo è una cosa stupida - nel caso scusate ma ripeto che ho appena iniziato questi studi)?
Grazie in ogni caso!
Bene, mi chiedevo, esiste (nell'ambito della fisica relativistica, per esempio) una formula che evidenzi la legge della velocità di un corpo V(t)? Una legge verosimile, e con questo intendo dire (per esempio) che non raggiungerà mai la velocità della luce, anche se su questo corpo dovesse agire una forza molto grande per un milione di anni?
Io avrei trovato una formula (per la velocità), la cui analisi dimensionale restituisce correttamente la velocità in m/s e il cui grafico è simile a una retta fino a un certo punto, mentre con l'avanzare del tempo curva tendendo a c (per esempio se io continuassi a spingere un oggetto con una forza F, inizialmente il suo moto sarebbe decritto dalla legge oraria classica, ma a velocità paragonabili a quelle della luce assumerebbe tutt'altre caratteristiche), ma non so quanto sia giusta affidabile.
Qualcuno sa rispondermi (o, nel caso, spiegarmi perché quello che chiedo è una cosa stupida - nel caso scusate ma ripeto che ho appena iniziato questi studi)?
Grazie in ogni caso!
Risposte
Ottima intuizione!!! Il modo più semplice di rispondere alla tua domanda è quello di impostare le equazioni (nel contesto della relatività speciale) del moto relativistico uniformemente accelerato, cioè il moto di un punto materiale di massa [tex]M[/tex] sottoposto ad una forza [tex]F[/tex] costante. La soluzione è data da
[tex]$v(t) = \frac{\frac{F}{m}t}{\sqrt{1+ \frac{F^2}{m^2 c^2}t^2}}$[/tex]
Lascio a te la dimostrazione del fatto che questa espressione tende a [tex]c[/tex] per tempi grandi. Se sei interessato a capire come si ricava...questa è un'altra storia. Se sai cosa sono le derivata e le equazioni differenziali posso farti vedere un modo semplice per ricavarla.
[tex]$v(t) = \frac{\frac{F}{m}t}{\sqrt{1+ \frac{F^2}{m^2 c^2}t^2}}$[/tex]
Lascio a te la dimostrazione del fatto che questa espressione tende a [tex]c[/tex] per tempi grandi. Se sei interessato a capire come si ricava...questa è un'altra storia. Se sai cosa sono le derivata e le equazioni differenziali posso farti vedere un modo semplice per ricavarla.
Ciao grazie della risposta 
Si, so cosa sono le derivate e le integrali, mentre sulle differenziali non sono granché preparato...
Dunque se vedi nella domanda ho scritto che avevo trovato una formula, in sostanza ho utilizzato la legge V(t)=V0+at (omettendo il V0 velocità iniziale per comodità), sostituendo all'accelerazione F/m, tenendo anche conto che la massa varia in funzione della velocità (secondo la formula di einstein $ m=(m0)/sqrt(1-(V^2)/(c^2) $ ). Risolvendo rispetto a V ho trovato che:
$ V(t)=(F*t*c)/sqrt(m^2c^2+F^2t^2) $ (con m ovviamente intendo m0 cioè massa iniziale), che poi è la stessa cosa che hai detto tu (basta, sotto la radice, risolvere, e al denominatore viene m^2*c^2, che può essere portato al numeratore e semplificato).
In ogni caso sono contento di esserci arrivato da solo (anche se il grosso del lavoro ho idea che l'abbia fatto Einstein..
).
Ho ancora un paio di domande: questa formula è davvero affidabile, oppure si dovrebbe ancora considerare qualche altro aspetto?
Serve a qualcosa? Voglio dire, esiste una situazione in cui una forza agisce per così lungo tempo da dover applicare questa formula? Voglio dire, non l'ho trovata né sui libri né su internet...
Ah, e un'altra cosa: hai detto "il modo più semplice"; ne esistono altri o era per dire?
Si, so cosa sono le derivate e le integrali, mentre sulle differenziali non sono granché preparato...
Dunque se vedi nella domanda ho scritto che avevo trovato una formula, in sostanza ho utilizzato la legge V(t)=V0+at (omettendo il V0 velocità iniziale per comodità), sostituendo all'accelerazione F/m, tenendo anche conto che la massa varia in funzione della velocità (secondo la formula di einstein $ m=(m0)/sqrt(1-(V^2)/(c^2) $ ). Risolvendo rispetto a V ho trovato che:
$ V(t)=(F*t*c)/sqrt(m^2c^2+F^2t^2) $ (con m ovviamente intendo m0 cioè massa iniziale), che poi è la stessa cosa che hai detto tu (basta, sotto la radice, risolvere, e al denominatore viene m^2*c^2, che può essere portato al numeratore e semplificato).
In ogni caso sono contento di esserci arrivato da solo (anche se il grosso del lavoro ho idea che l'abbia fatto Einstein..
).Ho ancora un paio di domande: questa formula è davvero affidabile, oppure si dovrebbe ancora considerare qualche altro aspetto?
Serve a qualcosa? Voglio dire, esiste una situazione in cui una forza agisce per così lungo tempo da dover applicare questa formula? Voglio dire, non l'ho trovata né sui libri né su internet...
Ah, e un'altra cosa: hai detto "il modo più semplice"; ne esistono altri o era per dire?
Guarda, in generale...esiste sempre una maniera più complicata di quella che uno ha in mente di ricavare una formula. 
Ho capito come hai fatto a ottenerla. Bel trick...però attento che funziona solo in questo caso particolare, cioè nel moto uniformemente accelerato. Se prendi una forza che dipende dal tempo [tex]F(t)[/tex] non puoi più usarlo, ma devi modificarlo leggermente. Purtroppo ora non ho tempo ma dopo ti posto qualche conto.
Ho capito come hai fatto a ottenerla. Bel trick...però attento che funziona solo in questo caso particolare, cioè nel moto uniformemente accelerato. Se prendi una forza che dipende dal tempo [tex]F(t)[/tex] non puoi più usarlo, ma devi modificarlo leggermente. Purtroppo ora non ho tempo ma dopo ti posto qualche conto.
Beh certo in quel caso non funziona, però non è tanto diverso, basta che all'accelerazione anziché F/m sostituisci F(t)/m.. o no?
Comunque, se hai voglia di spiegarmi qualcosa di più mi fai un favore, altrimenti ti ringrazio semplicemente per avermi schiarito un po' di più i dubbi..
Comunque, se hai voglia di spiegarmi qualcosa di più mi fai un favore, altrimenti ti ringrazio semplicemente per avermi schiarito un po' di più i dubbi..
Ciao, cerco quindi di darti un'idea della prova di quella formula. Come saprai la legge di Newton
[tex]F = m a[/tex]
(facciamo in una dimensione per semplicità) è in realtà un'equazione differenziale del secondo ordine nelle derivate temporali. Questo perchè se la legge oraria è [tex]x(t)[/tex] allora
[tex]$ v = \frac{dx}{dt} $[/tex]
[tex]$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2} $[/tex]
Dunque la legge di Newton è da intendersi come
[tex]$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F\left( x, \frac{dx}{dt}, t \right)$[/tex]
dove la forza può dipendere dalla posizione (tipo la molla), dalla velocità (tipo l'attrito) e dal tempo. In realtà così scritta non funziona proprio sempre. E' meglio introdurre la quantità di moto
P = m v
e riscrivere l'equazione di Newton come
[tex]$ \frac{dP}{dt} = F$[/tex] (1)
(il pregio di quest'ultima è che tiene conto anche di un'eventuale dipendenza dal tempo della massa, immaginati un razzo che perde successivamente gli stadi di cui è composto)
La teoria della relatività ristretta modifica l'equazione (1) introducendo la quantità di moto relativistica, definita da
[tex]$ P_{rel} = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $[/tex]
dove [tex]m_0[/tex] è la massa a riposo, e assumendo che [tex]x(t)[/tex] soddisfi l'equazione
[tex]$ \frac{dP_{rel}}{dt} = F$[/tex] (2)
Se assumiamo che [tex]F[/tex] sia solo una funzione del tempo [tex]F = F(t)[/tex] non è difficile risolvere la (2). Basta integrarla. A primo membro avremo
[tex]$\int \frac{dP_{rel}}{dt} dt = P_{rel}(t)$[/tex]
mentre a secondo
[tex]$ \int F(t) dt $[/tex]
uguagliando
[tex]$ P_{rel}(t) = \frac{m_0 v(t)}{\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}} = \int F(t) dt $[/tex]
se espliciti per [tex]v(t)[/tex] ottieni
[tex]$v(t) = \left[ 1 - \frac{1}{m_0^2 c^4} \left( \int F(t) dt \right)^2 \right]^{-1/2} \cdot \frac{1}{m_0} \int F(t) dt $[/tex]
prova tu a far vedere che se la forza è costante allora otteniamo la formula del post precedente.
Spero di non averti incasinato...
[tex]F = m a[/tex]
(facciamo in una dimensione per semplicità) è in realtà un'equazione differenziale del secondo ordine nelle derivate temporali. Questo perchè se la legge oraria è [tex]x(t)[/tex] allora
[tex]$ v = \frac{dx}{dt} $[/tex]
[tex]$ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2} $[/tex]
Dunque la legge di Newton è da intendersi come
[tex]$m \frac{d^2 x}{dt^2} = F\left( x, \frac{dx}{dt}, t \right)$[/tex]
dove la forza può dipendere dalla posizione (tipo la molla), dalla velocità (tipo l'attrito) e dal tempo. In realtà così scritta non funziona proprio sempre. E' meglio introdurre la quantità di moto
P = m v
e riscrivere l'equazione di Newton come
[tex]$ \frac{dP}{dt} = F$[/tex] (1)
(il pregio di quest'ultima è che tiene conto anche di un'eventuale dipendenza dal tempo della massa, immaginati un razzo che perde successivamente gli stadi di cui è composto)
La teoria della relatività ristretta modifica l'equazione (1) introducendo la quantità di moto relativistica, definita da
[tex]$ P_{rel} = \frac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} $[/tex]
dove [tex]m_0[/tex] è la massa a riposo, e assumendo che [tex]x(t)[/tex] soddisfi l'equazione
[tex]$ \frac{dP_{rel}}{dt} = F$[/tex] (2)
Se assumiamo che [tex]F[/tex] sia solo una funzione del tempo [tex]F = F(t)[/tex] non è difficile risolvere la (2). Basta integrarla. A primo membro avremo
[tex]$\int \frac{dP_{rel}}{dt} dt = P_{rel}(t)$[/tex]
mentre a secondo
[tex]$ \int F(t) dt $[/tex]
uguagliando
[tex]$ P_{rel}(t) = \frac{m_0 v(t)}{\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}} = \int F(t) dt $[/tex]
se espliciti per [tex]v(t)[/tex] ottieni
[tex]$v(t) = \left[ 1 - \frac{1}{m_0^2 c^4} \left( \int F(t) dt \right)^2 \right]^{-1/2} \cdot \frac{1}{m_0} \int F(t) dt $[/tex]
prova tu a far vedere che se la forza è costante allora otteniamo la formula del post precedente.
Spero di non averti incasinato...
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