Legge moto del pendolo

[Legolas87]

ho un peso sferico di massa m appeso a un filo di lunghezza r.
lo sollevo fino a formare un angolo con la verticale.
Usando il pricipio di cons dell'energia, posso calcolarmi il modulo della velocità in funzione di un generico angolo formato con la verticale:
v=sqrt(2gr(cos(-cos))
ora: se io intendo come funzione del tempo, la sua derivata (velocisà angolare) sarà uguale al modulo di v:
d/dt=v

E' giusto? Ho fatto qualche errore nell'impostare l'equazione?
Posso procedere a ricavarmi una legge del moto?
peraltro l'eq, se è giusta, è a variabili sebarabili, quindi mi è andata pure bene

[Sk_Anonymous]

Le tue considerazioni sono esatte tranne per
il fatto che d/dt non e' ugual a v ma a v/r
cioe' alla velocita' angolare.Con questa correzione
la tua equazione diventa:
d/dt=sqrt(2g/r)(cos-cos)
da cui:
dt=sqrt(r/2g)*d/(cos-cos)
Ed integrando tra - e + si avra' il
semiperiodo T/2 da cui il periodo T.
Sfortunatamente l' integrale in questione non e'
esprimibile elementarmente:esso e' riducible ad un
integrale detto "integrale ellittico di prima specie"
ed e' calcolabile mediante sviluppo in serie
dell'integrando.Se ci si limita a valori di
piccoli (entro i 4°complessivi) allora questo sviluppo si
puo' arrestare al primo termine e porta al
alla ben nota formula del periodo :
T=2sqrt(r/g).
Complimenti per la tua brillante deduzione,
certamente notevole per i tuoi 16 anni!
karl.












Modificato da - karl il 13/04/2004 23:15:18

[tony19]

*quote:

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ora: se io intendo come funzione del tempo, la sua derivata (velocisà angolare) sarà uguale al modulo di v:
d/dt=v
E' giusto? Ho fatto qualche errore nell'impostare l'equazione?
Posso procedere ...

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oltre quello che ha ben detto karl, ho un suggerimento, Legolas87:

quando, dopo uno o cento passaggi, arrivi a una formula tipo il tuo
d/dt=v
arrestati (-sei bello?-), e, prima di fare altri passaggi o di trarre conclusioni, controllane le "dimensioni" (cioè, in poche parole il tipo di unità di misura).

nel tuo caso avresti: angolo / tempo = spazio / tempo
e, siccome l'angolo (anche se altri post gli attribuiscono un "aroma speciale", trovali, sono spassosi) ha le dimensioni di un numero, le cose non quadrano.

quindi, deduci che la tua
d/dt=v
non è corretta, cioè che hai cannato qualcosa a monte, e ... vai avanti (o, meglio, indietro) di conseguenza
[ cioè, come faccio io, coda tra le gambe, ragazzi, e si ricomincia dal punto dell'ultimo errore
(se lo troviamo! ) ].

tony


*Edited by - tony on 14/04/2004 03:07:27

[Legolas87]

sì, scusate, ne avevo dimentixato un pezzo. Accidenti, e io che speravo di incontrare una funzione elementare. Beh, ci ho provato. Ciao a tutti e grazie per le risposte!

P.S. stavo pensando di fare una cosa del genere per il moto di un pianeta usando la conservazione del momento angolare