Legge di lenz

[matematicoestinto]

Due guide conduttrici verticali parallele, distanti $b$, sono chiuse ad un estremo da un resistore $R$. Lungo le guide può scivolare verso il basso senza attrito sotto l'azione della forza peso una sbarretta di massa $m$. Il dispositivo è immerso in un campo magnetico $B$ uniforme, costante , ortogonale al piano del circuito e di verso entrante in tale piano.








Calcolare

a)il valore della velocità limite delal sbarretta

b) il valore della corrente limite

c) l'energia dissipata nel circuito per ogni centimetro di percorso dalla sbarretta in queste condizioni


GRAZIE

[.Pupe.1]

Per rispondere considera la condizione in cui la forza esercitata sulla barretta dall'accoppiamento del campo magnetico con la corrente che la percorre è pari alla forza peso. Il calcolo va ovviamente fatto considerando lavariazione di flusso magnetico concatenato con la spira.

P.

[cozzataddeo]

Ho nascosto mediante lo spoiler la soluzione completa dell'esercizio. Prima di darci una sbirciatina pensaci un po' su e cerca di applicare il suggerimento di Pupe.

Che la forza elettromagnetica sia con te!

La legge di Fraday-Neumann (o Faraday-Lenz) si può esprimere come

$DeltaV=-(dPhi)/(dt)$

dove $Phi$ è il flusso del campo magnetico concatenato con il circuito. Fissato un sistema di riferimento con l'origine all'altezza della resistenza e rivolto verso il basso si ha

$Phi=B*Area=Bbx$

e derivando risulta

$DeltaV=-(d(Bbx))/(dt)=-Bb(dx)/(dt)=-Bbv$

dove $v$ è la velocità con cui cade la sbarretta e $DeltaV$ è la tensione che si genera ai capi della sbarretta. La corrente risulta

$I=(DeltaV)/R=-(Bbv)/R$

e la forza (diretta verso l'alto) è

$F=BIb=-(B^2b^2v)/R$

In condizioni di regime la forza peso è esattamente controbilanciata dalla forza di natura elettromagnetica indotta dalla legge di Faraday-Neumann e quindi si ha

$P+F_(em)=0$ da cui $mg-(B^2b^2v)/R = 0$

e quindi la velocità limite è

$v = (mgR)/(b^2B^2)$

La corrente risulta

$I=-(Bbv)/R=-(Bbmg)/(b^2B^2)=-(mg)/(bB)$

L'energia dissipata nel circuito è

$E=PDeltat$

dove la potenza $P$ è

$P=RI^2=R(B^2b^2v^2)/R^2=(B^2b^2v^2)/R$

e il tempo risulta

$Deltat=(Deltax)/v$ (la sbarretta a regime si muove di moto rettilineo uniforme)

perciò

$E=PDeltat=(B^2b^2v^2Deltax)/(vR)=(B^2b^2vDeltax)/R=(B^2b^2Deltax)/R(mgR)/(b^2B^2)=mgDeltax$

Si osserva che l'energia dissipata dal circuito in un tratto di lunghezza $Deltax$ è pari alla variazione di energia potenziale della sbarretta. Ciò è una conseguenza del principio di conservazione dell'energia. Infatti, in condizioni di regime, l'energia cinetica non cambia e tutta la variazione di energia potenziale si trasforma in energia elettrica e poi in calore mediante la dissipazione della resistenza R.

[matematicoestinto]

Davvero non so come ringraziarti...

E' quasi come pensavo di risolverlo io... secondo me il mio errore è stato nel vederlo come un moto uniformennte accelerato, ma mettendo al posto dell'accelerazione una funzione di t.


Grazie ancora

[cozzataddeo]

Di niente.

Buono studio!

[ing.nunziom]

Ho un dubbio. Considero un SDR con l'asse $y$ rivolto verso il basso.
La forza magnetica agente sulla barra mobile dovrebbe essere $\vecF_M=-ibB\hat u_y$, in quanto diretta verso l'alto.
La corrente indotta, che circola in verso antiorario, ottenuta dalla Legge di Faraday è $i=-\frac{Bbv}{R}$.
Sostituendo nella $\vec F_M$ si ottiene $\vecF_M=\frac{B^2b^2v}{R}\hat u_y$, quindi concorde con l'asse $y$.
Facendo l'equilibrio lungo $y$ otterrei: $\vecF_M +\vecF_P=0$.
Dove sbaglio?